2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（二）導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修

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1、 2.5　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(二) 課時(shí)目標(biāo) 1．熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的有關(guān)性質(zhì)解題． 2．能用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際問(wèn)題． 1．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)公比q≠1時(shí)，Sn＝＝；當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1. 2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)： (1)連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍構(gòu)成等比數(shù)列．(注意：q≠－1或m為奇數(shù)) (2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q為數(shù)列{an}的公比)． (3)若{an}是項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)、公比為q的等比數(shù)列，則＝q. 3．解決等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是在實(shí)際問(wèn)題中建立等比數(shù)列模型．

2、一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，前3項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5等于(　　) A．33 B．72 C．84 D．189 答案　C 解析　由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q＋q2－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22S3＝84. 2．某廠去年產(chǎn)值為a，計(jì)劃在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長(zhǎng)10%，從今年起5年內(nèi)，該廠的總產(chǎn)值為(　　) A．1.14a B．1.15a C．10a(1.15－1)

3、 D．11a(1.15－1) 答案　D 解析　注意去年產(chǎn)值為a，今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. ∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)． 3．已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為(　　) A.或5 B.或5 C. D. 答案　C 解析　若q＝1，則由9S3＝S6得93a1＝6a1， 則a1＝0，不滿足題意，故q≠1. 由9S3＝S6得9＝， 解得q＝

4、2. 故an＝a1qn－1＝2n－1， ＝()n－1. 1 / 7 所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，其前5項(xiàng)和為 S5＝＝. 4．一彈性球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來(lái)高度的一半再落下，則第10次著地時(shí)所經(jīng)過(guò)的路程和是(結(jié)果保留到個(gè)位)(　　) A．300米 B．299米 C．199米 D．166米 答案　A 解析　小球10次著地共經(jīng)過(guò)的路程為100＋100＋50＋…＋1008＝299≈300(米)． 5．在等比數(shù)列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，則S20等于(　　) A．90 B．70 C．40

5、 D．30 答案　C 解析　q≠1 (否則S30＝3S10)， 由，∴， ∴，∴q20＋q10－12＝0. ∴q10＝3，∴S20＝＝S10(1＋q10) ＝10(1＋3)＝40. 6．某企業(yè)在今年年初貸款a萬(wàn)元，年利率為γ，從今年年末開(kāi)始每年償還一定金額，預(yù)計(jì)五年內(nèi)還清，則每年應(yīng)償還(　　) A.萬(wàn)元 B.萬(wàn)元 C.萬(wàn)元 D.萬(wàn)元 答案　B 解析　設(shè)每年償還x萬(wàn)元，則：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5， ∴x＝. 二、填空題 7．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1,2S2,3S3成

6、等差數(shù)列，則{an}的公比為_(kāi)_______． 答案　 解析　由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)． ∴a2＝3a3， ∴{an}的公比q＝＝. 8．在等比數(shù)列{an}中，已知S4＝48，S8＝60，則S12＝ ________________________________________________________________________. 答案　63 解析　方法一　∵S8≠2S4，∴q≠1， 由已知得 由②①得 1＋q4＝，∴q4＝　　　　　　　　　　③ 將③代入①得＝64， ∴S12＝＝64(1－)＝

7、63. 方法二　因?yàn)閧an}為等比數(shù)列， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列， 所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以S3n＝＋S2n， 所以S12＝＋S8＝＋60＝63. 9．一個(gè)蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了2個(gè)伙伴；第2天，3只蜜蜂飛出去，各自找回了2個(gè)伙伴……如果這個(gè)找伙伴的過(guò)程繼續(xù)下去，第6天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂． 答案　729 解析　每天蜜蜂歸巢后的數(shù)目組成一個(gè)等比數(shù)列，a1＝3，q＝3，∴第6天所有蜜蜂歸巢后，蜜蜂總數(shù)為a6＝36＝729(只)． 10．某工廠月生產(chǎn)總值的平均增長(zhǎng)率為q，

8、則該工廠的年平均增長(zhǎng)率為_(kāi)_______． 答案　(1＋q)12－1 解析　設(shè)第一年第1個(gè)月的生產(chǎn)總值為1，公比為(1＋q)，該廠第一年的生產(chǎn)總值為S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11. 則第2年第1個(gè)月的生產(chǎn)總值為(1＋q)12， 第2年全年生產(chǎn)總值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1， ∴該廠生產(chǎn)總值的平均增長(zhǎng)率為＝－1＝(1＋q)12－1. 三、解答題 11．為保護(hù)我國(guó)的稀土資源，國(guó)家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過(guò)80噸，該礦區(qū)計(jì)劃從2010年開(kāi)始出口，當(dāng)年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少10%. (1)以20

9、10年為第一年，設(shè)第n年出口量為an噸，試求an的表達(dá)式； (2)因稀土資源不能再生，國(guó)家計(jì)劃10年后終止該礦區(qū)的出口，問(wèn)2010年最多出口多少噸？(保留一位小數(shù)) 參考數(shù)據(jù)：0.910≈0.35. 解　(1)由題意知每年的出口量構(gòu)成等比數(shù)列，且首項(xiàng)a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a0.9n－1 (n≥1)． (2)10年的出口總量S10＝＝10a(1－0.910)． ∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80， 即a≤，∴a≤12.3. 故2010年最多出口12.3噸． 12．某市2008年共有1萬(wàn)輛燃油型公交車(chē)，有關(guān)部門(mén)計(jì)劃于2009年投入128輛電力型

10、公交車(chē)，隨后電力型公交車(chē)每年的投入比上一年增加50%，試問(wèn)： (1)該市在2015年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車(chē)？ (2)到哪一年底，電力型公交車(chē)的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48) 解　(1)該市逐年投入的電力型公交車(chē)的數(shù)量組成等比數(shù)列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，則在2015年應(yīng)該投入的電力型公交車(chē)為a7＝a1q6＝1281.56＝1 458(輛)． (2)記Sn＝a1＋a2＋…＋an， 依據(jù)題意，得>， 于是Sn＝>5 000(輛)，即1.5n>. 兩邊取常用對(duì)數(shù)，則nlg 1.5>lg ， 即

11、n>≈7.3，又n∈N＋，因此n≥8. 所以到2016年底，電力型公交車(chē)的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的. 能力提升 13．有純酒精a L(a>1)，從中取出1 L，再用水加滿，然后再取出1 L，再用水加滿，如此反復(fù)進(jìn)行，則第九次和第十次共倒出純酒精________L. 答案　8 解析　用{an}表示每次取出的純酒精，a1＝1，加水后濃度為＝1－，a2＝1－，加水后濃度為＝2，a3＝2， 依次類(lèi)推：a9＝8，a10＝9. ∴8＋9＝8. 14．現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款

12、1萬(wàn)元，第一年可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加5千元，兩方案使用期都是10年，到期后一次性歸還本息，若銀行貸款利息均按本息10%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案誰(shuí)獲利更多？(精確到千元，數(shù)據(jù)1.110≈2.594,1.310≈13.79) 解　甲方案10年中每年獲利數(shù)組成首項(xiàng)為1，公比為1＋30%的等比數(shù)列，其和為 1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.63(萬(wàn)元)， 到期時(shí)銀行貸款的本息為 10(1＋0.1)10≈102.594＝25.94(萬(wàn)元)， ∴甲方案扣除貸款本息后，凈獲利約為 42．63－25.94≈16.7(萬(wàn)元)． 乙方案10年中逐年獲利

13、數(shù)組成等差數(shù)列， 1＋1.5＋…＋(1＋90.5) ＝ ＝32.50(萬(wàn)元)， 而貸款本利和為 1．1[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9] ＝1.1 ≈17.53(萬(wàn)元)． ∴乙方案扣除貸款本息后，凈獲利約為 32．50－17.53≈15.0(萬(wàn)元)， 比較得，甲方案凈獲利多于乙方案凈獲利． 1．準(zhǔn)確理解等比數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導(dǎo)過(guò)程是記憶的關(guān)鍵．用好其性質(zhì)也會(huì)降低解題的運(yùn)算量，從而減少錯(cuò)誤． 2．利用等比數(shù)列解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)建等比數(shù)列模型．要確定a1與項(xiàng)數(shù)n的實(shí)際含義，同時(shí)要搞清是求 an還是求Sn的問(wèn)題． 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！