《2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 2.5等比數(shù)列的前n項和（一）導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 2.5等比數(shù)列的前n項和（一）導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.5 等比數(shù)列的前n項和(一)
課時目標(biāo)
1．掌握等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法．
2．會用等比數(shù)列前n項和公式解決一些簡單問題．
1．等比數(shù)列前n項和公式：
(1)公式：Sn＝.
(2)注意：應(yīng)用該公式時，一定不要忽略q＝1的情況．
2．若{an}是等比數(shù)列，且公比q≠1，則前n項和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中
A＝.
3．推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和的方法叫錯位相減法．一般適用于求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項積的前n項和．
一、選擇題
1．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2＋a5＝0，則等于( )
2、
A．11 B．5
C．－8 D．－11
答案 D
解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
∴q＝－2，則＝＝－11.
2．記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝2，S6＝18，則等于( )
A．－3 B．5
C．－31 D．33
答案 D
解析 由題意知公比q≠1，＝
＝1＋q3＝9，
∴q＝2，＝＝1＋q5
＝1＋25＝33.
3．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項和為
3、Sn，則等于( )
A．2 B．4
C. D.
答案 C
解析 方法一 由等比數(shù)列的定義，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，
1 / 5
得＝＋1＋q＋q2＝.
方法二 S4＝，a2＝a1q，
∴＝＝.
4．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a4＝1
4、，
∴設(shè){an}的公比為q，則q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，
∴a1＝＝4.
∴S5＝＝8(1－)＝.
5．在數(shù)列{an}中，an＋1＝can(c為非零常數(shù))，且前n項和為Sn＝3n＋k，則實數(shù)k的值為( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案 C
解析 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3＋k，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)
＝3n－3n－1＝23n－1.
由題意知{an}為等比數(shù)列，所以a1＝3＋k＝2，
5、∴k＝－1.
6．在等比數(shù)列{an}中，公比q是整數(shù)，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，則此數(shù)列的前8項和為( )
A．514 B．513 C．512 D．510
答案 D
解析 由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，
得方程組，解得或.
∵q為整數(shù)，∴q＝2，a1＝2，S8＝＝29－2＝510.
二、填空題
7．若{an}是等比數(shù)列，且前n項和為Sn＝3n－1＋t，則t＝________.
答案?。?
解析 顯然q≠1，此時應(yīng)有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝3n＋t，∴t＝－.
8．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，S6
6、＝4S3，則a4＝________.
答案 3
解析 S6＝4S3?＝?q3＝3(q3＝1不合題意，舍去)．
∴a4＝a1q3＝13＝3.
9．若等比數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n項和為Sn＝－341，則n的值是________．
答案 10
解析 Sn＝，∴－341＝，
∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，
∴n＝10.
10．如果數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an－1，則此數(shù)列的通項公式an＝________.
答案 2n－1
解析 當(dāng)n＝1時，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
當(dāng)n≥2時，an＝
7、Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)
∴an＝2an－1，∴{an}是等比數(shù)列，
∴an＝2n－1，n∈N*.
三、解答題
11．在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.
解 ∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程組
得①
或②
將①代入Sn＝，可得q＝，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.
將②代入Sn＝，可得q＝2，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.
12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．
解 分x＝1和x≠1兩種情況．
(1)當(dāng)x＝1時，Sn
8、＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(2)當(dāng)x≠1時，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.
∴Sn＝－.
綜上可得Sn＝
.
能力提升
13．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝54，S2n＝60，求S3n.
解 方法一 由題意Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，
∴62＝54(S3n－60)，∴S3n＝.
方法二 由題意得a≠1，∴Sn＝＝54 ①
S2n＝＝60
9、 ②
由②①得1＋qn＝，
∴qn＝，∴＝，
∴S3n＝＝(1－)＝.
14．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋2－4.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝anlog2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解 (1)由題意，Sn＝2n＋2－4，
n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝23－4＝4，也適合上式，
∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋1，n∈N*.
(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)2n＋1，
∴Tn＝222＋323＋424＋…＋n2n＋(n＋1)2n＋1，
10、 ①
2Tn＝223＋324＋425＋…＋n2n＋1＋(n＋1)2n＋2. ②
②－①得，
Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)2n＋2
＝－23－＋(n＋1)2n＋2
＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)2n＋2
＝(n＋1)2n＋2－232n－1
＝(n＋1)2n＋2－2n＋2＝n2n＋2.
1．在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”．
2．前n項和公式的應(yīng)用中，注意前n項和公式要分類討論，即q≠1和q＝1時是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情況．
3．一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列{anbn}的前n項和時，可采用錯位相減的方法求和．
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