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1、
1.1.1 正弦定理(二)
課時目標(biāo)
1．熟記正弦定理的有關(guān)變形公式；
2．能夠運用正弦定理進(jìn)行簡單的推理與證明．
1．正弦定理：＝＝＝2R的常見變形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(2)＝＝＝＝2R；
(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
2．三角形面積公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
一、選擇題
1．在△ABC中，sin A＝sin B，則△ABC是( )
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．
2、鈍角三角形 D．等腰三角形
答案 D
2．在△ABC中，若＝＝，則△ABC是( )
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 由正弦定理知：＝＝，
∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.
3．在△ABC中，sin A＝，a＝10，則邊長c的取值范圍是( )
A. B．(10，＋∞)
C．(0,10) D.
答案 D
解析 ∵＝＝，∴c＝sin C.
∴0
3、C中，a＝2bcos C，則這個三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
答案 A
解析 由a＝2bcos C得，sin A＝2sin Bcos C，
1 / 6
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．6∶5∶4
4、 B．7∶5∶3
C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
答案 B
解析 ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴＝＝.
令＝＝＝k (k>0)，
則，解得.
∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
6．已知三角形面積為，外接圓面積為π，則這個三角形的三邊之積為( )
A．1 B．2
C. D．4
答案 A
解析 設(shè)三角形外接圓半徑為R，則由πR2＝π，
得R＝1，由S△＝absin C＝＝＝，∴abc＝1.
二、填空
5、題
7．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，則b＝________.
答案 2
解析 ∵cos C＝，∴sin C＝，
∴absin C＝4，∴b＝2.
8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝60，a＝，b＝1，則c＝________.
答案 2
解析 由正弦定理＝，得＝，
∴sin B＝，故B＝30或150.由a>b，
得A>B，∴B＝30，故C＝90，
由勾股定理得c＝2.
9．在單位圓上有三點A，B，C，設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c，則＋＋＝________.
答案 7
解析 ∵△ABC的外接圓直徑為2R＝2，
6、∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
10．在△ABC中，A＝60，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，則＝________，c＝________.
答案 12 6
解析?。剑剑?2.
∵S△ABC＝absin C＝612sin C＝18，
∴sin C＝，∴＝＝12，∴c＝6.
三、解答題
11．在△ABC中，求證：＝.
證明 因為在△ABC中，＝＝＝2R，
所以左邊＝
＝＝＝＝右邊．
所以等式成立，即＝.
12．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，試判斷△ABC的形狀．
解 設(shè)三角形外接圓半徑為R，則a2tan B＝b2tan A
7、
?＝
?＝
?sin Acos A＝sin Bcos B
?sin 2A＝sin 2B
?2A＝2B或2A＋2B＝π
?A＝B或A＋B＝.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．
能力提升
13．在△ABC中，B＝60，最大邊與最小邊之比為(＋1)∶2，則最大角為( )
A．45 B．60 C．75 D．90
答案 C
解析 設(shè)C為最大角，則A為最小角，則A＋C＝120，
∴＝
＝
＝＋＝＝＋，
∴tan A＝1，A＝45，C＝75.
14．在△ABC中，a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若a＝2，C＝，
cos ＝，
8、求△ABC的面積S.
解 cos B＝2cos2 －1＝，
故B為銳角，sin B＝.
所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin＝.
由正弦定理得c＝＝，
所以S△ABC＝acsin B＝2＝.
1．在△ABC中，有以下結(jié)論：
(1)A＋B＋C＝π；
(2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；
(3)＋＝；
(4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝.
2．借助正弦定理可以進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系的互化，從而進(jìn)行三角形形狀的判斷、三角恒等式的證明．
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