《2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 2.4等比數(shù)列（一）導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 2.4等比數(shù)列（一）導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.4 等比數(shù)列(一)
課時(shí)目標(biāo)
1．理解等比數(shù)列的定義，能夠利用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列．
2．掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．
3．掌握等比中項(xiàng)的定義，能夠應(yīng)用等比中項(xiàng)的定義解決有關(guān)問題．
1．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.
3．等比中項(xiàng)的定義
如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，且G＝.
一、選擇題
1．在等比數(shù)列{an}中，an
2、>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，則a4＋a5的值為( )
A．16 B．27 C．36 D．81
答案 B
解析 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
2．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于( )
A．64 B．81 C．128 D．243
答案 A
解析 ∵{an}為等比數(shù)列，
∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝126＝64.
3．已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，
3、且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則等于( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
答案 C
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
∵a1，a3,2a2成等差數(shù)列，
∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，
∴q＝1.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
4．如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
4、 D．b＝－3，ac＝－9
答案 B
1 / 6
解析 ∵b2＝(－1)(－9)＝9且b與首項(xiàng)－1同號(hào)，
∴b＝－3，且a，c必同號(hào)．
∴ac＝b2＝9.
5．一個(gè)數(shù)分別加上20,50,100后得到的三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其公比為( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則(50＋x)2＝(20＋x)(100＋x)，
解得x＝25，
∴這三個(gè)數(shù)45,75,125，公比q為＝.
6．若正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差數(shù)列，則等于( )
A.
5、 B.
C. D．不確定
答案 A
解析 a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，
∴q3－2q2＋1＝0，∴(q－1)(q2－q－1)＝0 (q≠1)，
∴q2－q－1＝0，∴q＝ (q＝<0舍)
∴＝＝.
二、填空題
7．已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________.
答案 4()n－1
解析 由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
得a＝5，則a1＝4，q＝＝，
∴an＝4()n－1.
8．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0
6、的兩根，則
a6＋a7＝________.
答案 18
解析 由題意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(＋)32＝18.
9．首項(xiàng)為3的等比數(shù)列的第n項(xiàng)是48，第2n－3項(xiàng)是192，則n＝________.
答案 5
解析 設(shè)公比為q，
則??q2＝4，
得q＝2.由(2)n－1＝16，得n＝5.
10．一個(gè)直角三角形的三邊成等比數(shù)列，則較小銳角的正弦值是________．
答案
解析 設(shè)三邊為a，aq，aq2 (q>1)，
則(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.
較小銳角記為θ，則sin θ＝＝.
三、解答題
1
7、1．已知{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通項(xiàng)公式．
解 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.
解得q1＝，q2＝3.
當(dāng)q＝時(shí)，a1＝18，
∴an＝18n－1＝233－n.
當(dāng)q＝3時(shí)，a1＝，
∴an＝3n－1＝23n－3.
綜上，當(dāng)q＝時(shí)，an＝233－n；
當(dāng)q＝3時(shí)，an＝23n－3.
12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝(an－1) (n∈N*)．
(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
(1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－
8、.又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)證明 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1
＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又＝－，
所以{an}是首項(xiàng)為－，公比為－的等比數(shù)列．
能力提升
13．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.
答案 －9
解析 由題意知等比數(shù)列{an}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比數(shù)列的定義知，
四項(xiàng)是兩個(gè)正數(shù)、兩個(gè)負(fù)數(shù)，故－24,36，－54,81
9、，符合題意，則q＝－，∴6q＝－9.
14．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；
(2)求an的表達(dá)式．
(1)證明 ∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2.
∴{an＋1}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2.
(2)解 由(1)知{an＋1}是等比數(shù)列．
公比為2，首項(xiàng)a1＋1＝2.
∴an＋1＝(a1＋1)2n－1＝2n.
∴an＝2n－1.
1．等比數(shù)列的判斷或證明
(1)利用定義：＝q (與n無關(guān)的常數(shù))．
(2)利用等比中項(xiàng)：a＝anan＋2 (n∈N*)．
2．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1共涉及an，a1，q，n四個(gè)量．已知其中三個(gè)量可求得第四個(gè)．
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