2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點14 空間幾何體的內(nèi)切球、外接球庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點14 空間幾何體的內(nèi)切球、外接球 近年來在高考中經(jīng)常有多面體與球的切與接的問題，充分體現(xiàn)了對學(xué)生空間想象能力，運算求解能力和轉(zhuǎn)化思想的考查，題目難度為中等或偏難．為了便于學(xué)習(xí)和掌握此類問題的求解方法,下面結(jié)合高考題進(jìn)行了以下歸納： 類型一 求多面體與內(nèi)切球或外接球的表面積和體積 類型二 多面體的內(nèi)切球或外接球的最值問題 【例】一個正方體內(nèi)接于球，過球心作一截面，如圖所示，則截面可能的圖形是( ) A．（1） （3） B．(2）(4） C．（1） （2） （3） D．（2） （3） （4） 【答案】C 【思路歸納】解決此類問題，必須多觀察幾何體，提高空間想象力． 1．一個正方體的體積是8，則這個正方體的內(nèi)切球的表面積是( ) A．8π B．6π C．4π D．π 【答案】C 【解析】設(shè)正方體的棱長為a，則a3＝8，即a＝2．故該正方體的內(nèi)切球的半徑r＝1，所以該正方體的內(nèi)切球的表面積S＝4πr2＝4π． 【解題技巧】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，可作出合適的截面圖． 2．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為 a． 【規(guī)律方法】已知幾何體的結(jié)構(gòu)特征求其內(nèi)切球或外接球的表面積與體積，關(guān)鍵是正確分析已知幾何體的各項數(shù)據(jù)，從中推導(dǎo)出其內(nèi)切球或外接球的半徑再代入公式即可． 3．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱的高為2，這個球的表面積為6π，則這個正四棱柱的體積為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】S表＝4πR2＝6π，所以R＝．設(shè)正四棱柱底面邊長為x，則2＋1＝R2，所以x＝1．所以V正四棱柱＝2．故選B． 4．已知一個表面積為24的正方體，設(shè)有一個與每條棱都相切的球，則此球的體積為( ) A． B．4π C． D． 【答案】D 5．已知三棱錐S—ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=，則球的體積與三棱錐體積之比是( ) A．π B．2π C．3π D．4π 【答案】D 【解析】由題意得SO=r為三棱錐的高，△ABC是等腰直角三角形，所以其面積是2rr=r2,所以三棱錐體積是，又球的體積為，則球的體積與三棱錐體積之比是4π． 6．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為( ） A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【答案】A 【解析】設(shè)球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，則，解得R=5，∴球的體積為=，故選A． 【解題技巧】分清球被正方體上面所截得的圓的半徑為R，然后再求出這個圓的圓心到球的對應(yīng)頂點的距離，最后在球心、圓心、球的頂點所構(gòu)成的直角三角形中運用勾股定理求球體的半徑． 7．已知正方體的棱長為a，分別求出它的內(nèi)切球、外接球及與各棱都相切的球半徑． (2R)2＝(a)2＋a2?R＝a． （3）與正方體的各棱均相切的球與正方體相連結(jié)的點是正方體各棱的中點，應(yīng)作出經(jīng)過正方體一組平行棱中點的截面，則球的軸截面是其正方形截面的外接圓，如圖（3）所示，易求得球的半徑為a． 1．表面積為16π的球的內(nèi)接正方體的體積為( ) A．8 B．24 C． D．16 【答案】C 【解析】設(shè)表面積為16π的球的半徑為r,則4πr2=16π,解得r=2．設(shè)內(nèi)接正方體的棱長為a，則a=2r，所以a=．所以內(nèi)接正方體的體積V=a3=． 2．在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是( ) A．4π B． C．6π D． 【答案】B 【解析】由題意知，底面三角形的內(nèi)切圓直徑為4．三棱柱的高為3，所以球的最大直徑為3，V的最大值為． 3．面積為的正六邊形的六個頂點都在球的球面上，球心到正六邊形所在平面的距離為 ，記球的體積為，球的表面積為，則的值是（ ） A． B． C． D． 4．某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的表面積為( ) A． B． C． D． 【答案】A 黃海明珠 煙臺黃海游樂城中的海水中一個巨大的球形建筑，高30米，直徑21．8米，由不銹鋼網(wǎng)架結(jié)構(gòu)筑成，叫做“黃海明珠”，球內(nèi)共分六層，主要以游客餐飲娛樂為主 ．