任意角三角函數(shù)的概念

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1、任意角三角函數(shù)的概念任意角三角函數(shù)的概念任意角三角函數(shù)涉及內(nèi)容分類解讀任意角三角函數(shù)涉及內(nèi)容分類解讀任意角三角函數(shù)的概念是本章的基礎(chǔ)，主要包括兩個方面：任意角三角函數(shù)的概念是本章的基礎(chǔ)，主要包括兩個方面：(1)(1)任意角和弧度制任意角和弧度制. .理解任意角的概念及弧度的意義，能正理解任意角的概念及弧度的意義，能正確進(jìn)行弧度與角度的換算確進(jìn)行弧度與角度的換算. .(2)(2)任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù). .掌握任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)掌握任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義及三角函數(shù)線，能夠判斷三角函數(shù)值在各象限的符號的定義及三角函數(shù)線，能夠判斷三角函數(shù)值在各象限的符號. .【例例1

2、 1】已知角已知角的終邊與單位圓交于點的終邊與單位圓交于點P P( () )，則，則sin(+k)(kZ)sin(+k)(kZ)的值是多少？的值是多少？【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】結(jié)合三角函數(shù)的定義，利用誘導(dǎo)公式，對結(jié)合三角函數(shù)的定義，利用誘導(dǎo)公式，對k k進(jìn)行進(jìn)行分類討論，求得結(jié)果分類討論，求得結(jié)果. .13,22【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)當(dāng)當(dāng)k k為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，（2 2）當(dāng)）當(dāng)k k為偶數(shù)時為偶數(shù)時33sinksin();22 3sinksin2 ，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式聯(lián)袂解題三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式聯(lián)袂解題(1)

3、(1)誘導(dǎo)公式屬異角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式，它與同角三角誘導(dǎo)公式屬異角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式，它與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式協(xié)同作戰(zhàn)，能量無窮，近幾年的高考命題函數(shù)的基本關(guān)系式協(xié)同作戰(zhàn)，能量無窮，近幾年的高考命題中，主要考查利用公式進(jìn)行恒等變形的技能以及基本運算能中，主要考查利用公式進(jìn)行恒等變形的技能以及基本運算能力，特別突出推理、計算的考查力，特別突出推理、計算的考查. .(2)(2)在解決本類具體問題時常用到數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思在解決本類具體問題時常用到數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)與方程的思想想、轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)與方程的思想. .【例例2 2】(2011(2011鄭州高一

4、檢測鄭州高一檢測) )已知已知tan=2tan=2，sin+cos0.sin+cos0tan=20，為第一象限角或第三象限角為第一象限角或第三象限角. .又又sin+cos0sin+cos0,0)(A0,0)的解析的解析式時，常用的解題方法是待定系數(shù)法式時，常用的解題方法是待定系數(shù)法. .3, ,2 .22，【例例3 3】如圖如圖, ,是函數(shù)是函數(shù)y=Asin(x+y=Asin(x+ ) )+k(A+k(A0,0,0)0)的一段圖象的一段圖象. .（1 1）求此函數(shù)解析式）求此函數(shù)解析式. .（2 2）分析一下該函數(shù)是如何通過）分析一下該函數(shù)是如何通過y=sinxy=sinx變換得來的變換得來

5、的? ?【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】本題關(guān)鍵是觀察圖象，由圖象得出本題關(guān)鍵是觀察圖象，由圖象得出A A、k k、 的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式，對于第（的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式，對于第（2 2）問可借助平移的知問可借助平移的知識解決識解決. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】（1 1）由圖象知）由圖象知當(dāng)當(dāng) 時時, , 所求函數(shù)解析式為所求函數(shù)解析式為13()122A,22 13()222k1,T2 (),236 212.ysin 2x1.T2 x62,.626 1ysin(2x) 1.26（2 2）把）把y=sinxy=sinx向左平移向左平移 個單位，得到個單位，得到然后縱坐標(biāo)保持不變、橫坐標(biāo)縮短為原來的然后縱坐

6、標(biāo)保持不變、橫坐標(biāo)縮短為原來的 ，得到，得到 再橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼脑贆M坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?得到得到最后把函數(shù)最后把函數(shù) 的圖象向下平移的圖象向下平移1 1個單位，得到個單位，得到 的圖象的圖象. .6ysin(x),612ysin(2x)6，121ysin(2x),261ysin(2x)261ysin(2x) 126三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)性質(zhì)地位解讀三角函數(shù)性質(zhì)地位解讀三角函數(shù)作為中學(xué)階段學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)之一，其性質(zhì)是三角函數(shù)作為中學(xué)階段學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)之一，其性質(zhì)是高考的必考內(nèi)容之一，在考查時，往往和后面的三角函數(shù)知高考的必考內(nèi)容之一，在考查時，往

7、往和后面的三角函數(shù)知識相聯(lián)系，著重考查三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、單識相聯(lián)系，著重考查三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等有關(guān)性質(zhì)調(diào)性、奇偶性、對稱性等有關(guān)性質(zhì). .【例例4 4】(2011(2011臺州高一檢測臺州高一檢測) )函數(shù)函數(shù)的圖象的圖象為為C C，則如下結(jié)論中正確的序號是，則如下結(jié)論中正確的序號是_. .圖象圖象C C關(guān)于直線關(guān)于直線 對稱；對稱； 圖象圖象C C關(guān)于點關(guān)于點( ( ) )對稱；對稱； 函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間( ( ) )內(nèi)是增函數(shù)；內(nèi)是增函數(shù)； 由由y=3sin2xy=3sin2x的圖象向右平移的圖象向右平移 個單位長度可以

8、得到圖象個單位長度可以得到圖象C.C. f x3sin(2x)311x12203，512 12，3【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】此類問題綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì)，由圖象研此類問題綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì)，由圖象研究函數(shù)性質(zhì)是解決此類問題的常用方法究函數(shù)性質(zhì)是解決此類問題的常用方法. .解題中要注意數(shù)形結(jié)解題中要注意數(shù)形結(jié)合的思想和整體代換的思想合的思想和整體代換的思想. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】直線直線 為函數(shù)圖象的對稱軸，故正確；為函數(shù)圖象的對稱軸，故正確；由于由于故圖象故圖象C C關(guān)于點關(guān)于點( ( ) )對稱，故正確；對稱，故正確；1111f()3sin()126333sin32 ，11x1222f()

9、3sin(2)3sin0333 ，2,03由由 由于正弦函數(shù)在由于正弦函數(shù)在( ( ) )內(nèi)單調(diào)遞增，內(nèi)單調(diào)遞增，故函數(shù)故函數(shù)f(x)f(x)在在( ( ) )內(nèi)單調(diào)遞增，故正確；內(nèi)單調(diào)遞增，故正確； 由由y=3sin2xy=3sin2x的圖象向右平移的圖象向右平移 個單位個單位長度得到函數(shù)長度得到函數(shù) 得不到圖象得不到圖象C C，故錯誤，故錯誤. .答案答案: :5x2x1212232 ，,2 2 5,12 12 f x3sin2(x)6，3 f x3sin2(x)3，1.1.點點P P（tantan，coscos）位于第二象限，則角）位于第二象限，則角所在象限是所在象限是( )( )（A

10、A）第一象限）第一象限 （B B）第二象限）第二象限 （C C）第三象限）第三象限 （D D）第四象限）第四象限【解析解析】選選C.C.由題意可知，由題意可知，tan0tan0cos0，角角是第四象限角是第四象限角. .2.(20112.(2011嘉興高一檢測嘉興高一檢測) )下列關(guān)于函數(shù)下列關(guān)于函數(shù)y=4cosxy=4cosx，xx-，的單調(diào)性的敘述正確的是的單調(diào)性的敘述正確的是( )( )(A)(A)在在 上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在 及及 ，上是上是減函數(shù)減函數(shù)(B)(B)在在-，0 0上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在0,0,上是減函數(shù)上是減函數(shù)(C)(C)在在0 0，上是增函數(shù)，在上是增函

11、數(shù)，在-,0-,0上是減函數(shù)上是減函數(shù)(D)(D)在在 及及 上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在 上是上是減函數(shù)減函數(shù)2 2 ,2 ,2 ,22 2 ,2【解析解析】選選B.B.由函數(shù)由函數(shù)y=4cosxy=4cosx的圖象可知，此函數(shù)在的圖象可知，此函數(shù)在-，0 0上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在0 0，上是減函數(shù)上是減函數(shù). .3.3.若若cos+2sin=cos+2sin= 則則tan=( )tan=( )【解析解析】選選B.B.將將 兩邊平方，兩邊平方，得得coscos2 2+4sincos+4sin+4sincos+4sin2 2=5=5，即有即有從而從而tan=2.tan=2.5, 11AB

12、 2CD222cos2sin5 2222cos4sin cos4sin5sincos，2214tan4tan5tan1，4.4.函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的值域為上的值域為( )( )(A)(A)1-1- ,1+,1+ (B) (B) 1-1- ，3 3(C)(C)-1-1，3 3 (D)(D)-1-1，1+1+ 【解析解析】選選B. B. y2cos(2x)134 4 ,33335x2x44636，132cos(2x)13.3 5.5.函數(shù)函數(shù) 的定義域是的定義域是_. .【解析解析】結(jié)合三角函數(shù)圖象或單位圓中的三角函數(shù)線，結(jié)合三角函數(shù)圖象或單位圓中的三角函數(shù)線，由由 得得2kx2k+2kx

13、2k+ ，kZ.kZ.答案答案: :2k2k，2k+2k+ ，(kZ)(kZ)1ysinxcosx2sinx01cosx02336.(20116.(2011紅河高一檢測紅河高一檢測) )化簡化簡【解析解析】原式原式= =222cos4cossin3sin4sin 5cos () 222cos cossincos .sin sin cos 7.(20117.(2011日照高一檢測日照高一檢測) )求函數(shù)求函數(shù) 的定義域和單調(diào)的定義域和單調(diào)區(qū)間區(qū)間. .【解析解析】由由 得得所以函數(shù)的定義域是所以函數(shù)的定義域是x|x2k+x|x2k+ ，kZkZ由由得得所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

14、xytan()23xk232 5x2k3，53xkk2232 52kx2k33 5(2k2k )kZ.33，8.(20118.(2011牡丹江高一檢測牡丹江高一檢測) )已知函數(shù)已知函數(shù)（1 1）用）用“五點法五點法”畫出長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；畫出長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；（2 2）寫出函數(shù)的振幅和最小正周期及單調(diào)區(qū)間）寫出函數(shù)的振幅和最小正周期及單調(diào)區(qū)間. . y2sin(2x)4，【解析解析】（1 1）列表，描點，連線如下：）列表，描點，連線如下： （2 2）振幅是）振幅是2 2，最小正周期為，最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是其中其中k

15、Z.kZ.3k,k88，37kk88，9.9.已知函數(shù)已知函數(shù)（1 1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間; ;（2 2）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=cosxy=cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？到？ f x12cos(2x).4 【解析解析】(1)(1)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的最小正周期為的最小正周期為.函數(shù)函數(shù) 單調(diào)區(qū)間與函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)相同，相同，即即 所求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是所求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 f x12cos(2x)4 f x2cos(2x)42k2x2kkZ4 ，3kxkkZ88 ，3kkkZ .88，（）(2)(2)將將y=cosxy=cosx的圖象先向右平移的圖象先向右平移 個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的短為原來的 （縱坐標(biāo)不變），然后縱坐標(biāo)伸長為原來的（縱坐標(biāo)不變），然后縱坐標(biāo)伸長為原來的 倍倍（橫坐標(biāo)不變），最后向上平移（橫坐標(biāo)不變），最后向上平移1 1個單位長度，可得個單位長度，可得 的圖象的圖象. . 4122 f x12cos(2x)4