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,第三章機械能守恒,與機械運動相關的能量是機械能（動能、勢能）。機械能是物質運動狀態(tài)的客觀反映，是運動狀態(tài)的函數。力對空間的積累效果是功。在質點動力學中，動能和勢能的變化及相互轉化是通過做功來完成的，因此功是質點能量變化的量度。,主要內容：,（1）功和功率；,（2）動能和動能定理；,（3）保守力和勢能；,（4）功能原理和機械能守恒定律。,3-1變力所做的功、功率：,設質點在變力的作用下沿曲線由A運動到B。,1、功：,對微小的位移（元位移），定義：,質點從A運動到B時，力對質點所做的總功為：,國際單位制中，功的單位為：Nm，稱為焦耳（J）。,功是力對空間的積累效應。,2、功率：,功率用來表征力對質點做功的快慢，即單位時間所做的功。,平均功率：,瞬時功率：,由功的定義：,由功率求功：,例題3-2,方向不變的作用力F=6t(SI)，作用在一質量為2kg的物體上，物體從靜止開始運動，求此作用力的瞬時功率和前2s內做的功。,,由題意，物體將從靜止開始作方向不變的直線運動。,此作用力F在前2s內所做的功：,3-2動能、動能定理：,當一個物體具有對其它物體做功的能力時，則稱該物體具有一定的能量。能量是物體運動狀態(tài)的函數。,動能—因物體運動而具有的能量，是速度的函數；,勢能—與物體在力場中位置有關的能量，是位置的函數。,質點在曲線上任意點c時，變力所做的元功：,質點從A運動到B時，變力所做的總功為：,力對質點所做的功等于質點動能的增量。,所以：功是質點能量變化的量度。,質點的動能定理：,質點系的動能定理：,設質點系由n個質點組成。,第i個質點所受外力和內力之和：,由質點的動能定理：,外力和內力對質點系所做的功等于質點系動能的增量。,質點系的動能定理：,質點系的動量定理和動能定理的比較：,內力對質點系所做的功可以改變質點系的動能。,內力對質點系的沖量不改變質點系的動量。,,雖然：,但是一般：,所以：dW內一般不等于零。,例題,質量為m的小球系在長為l的細繩下端，繩的上端固定，先使細繩保持水平靜止，然后使小球自由下落，求細繩與水平方向成θ角時，小球的速率v和細繩所受的張力T。,,因為張力不做功，由動能定理：,重力對小球所做的功：,例題3-3,一物體由斜面底部以初速度v0=10m/s向斜面上方運動，到達最高處后又沿斜面下滑。因物體和斜面的摩擦，滑到底部時速度變?yōu)関f=8m/s。已知斜面傾角為θ=30，求物體所能到達的高度和摩擦因數μ。,,物體向上運動時：,物體向下運動時：,(2)-(1):,(2)+(1):,3-3勢能、保守力：,1、重力的功、重力勢能：,一質點在重力場中沿曲線由A運動到B，則重力做功：,結論：重力做功與路徑無關，只和質點的始、末位置有關。,因此：可定義一個與質點在重力場中位置（高度）有關的物理量，稱為重力勢能。,?重力對質點所做的功等于質點重力勢能增量的負值。,2、彈性力的功、彈性勢能：,設彈簧自然伸長時，質點處在o點。,由胡克定律：,當質點從x0運動到x時，彈性力做功：,結論：彈性力做功與路徑無關，只和質點的始、末位置有關。,定義：彈性勢能,?彈性力對質點所做的功等于質點彈性勢能增量的負值。,3、引力的功、引力勢能：,質量為m的質點在質量為M的質點的萬有引力作用下沿曲線運動。m所受的引力為：,引力勢能的零點通常取在無窮遠處。,而空間某點處的引力勢能定義為：將質點從該點移至無窮遠處（勢能零點）時，萬有引力所做的功。,結論：引力做功與路徑無關，只和質點的始、末位置有關。,,令，則A點的引力勢能為：,?引力對質點所做的功等于質點引力勢能增量的負值。,地球表面的物體所受的重力即為萬有引力，在地面上不太高的h處，引力勢能為：,4、保守力和勢能：,“任意兩點間做功與路徑無關”與“沿任意閉合路徑做功為零”這兩種說法是等效的。,滿足上式的作用力稱為保守力，即：,保守力做功與路徑無關，說明在保守力場中存在一個僅由空間位置決定的物理量，該物理量即為勢能。,由前面討論知：保守力做功等于勢能增量的負值。,不能滿足的力稱為非保守力（如摩擦力等）。,對非保守力場，不能引入“勢能”的概念。,重力勢能屬于質點和地球組成的“重力系統(tǒng)”；,彈性勢能屬于質點和彈簧組成的“彈性系統(tǒng)”；,引力勢能屬于相互作用的兩個質點組成的“引力系統(tǒng)”；,,3-4功能原理、機械能守恒定律：,根據質點系的動能定理：,定義：系統(tǒng)的總動能和總勢能之和稱為系統(tǒng)的機械能。,質點系的功能原理：外力和非保守內力對質點系所做的功等于系統(tǒng)機械能的增量。,當W外=0、W非保內=0時：,機械能守恒定律：當外力和非保守內力做功的代數和為零時，系統(tǒng)內的動能和勢能可以相互轉化，但總的機械能保持不變。,機械能守恒定律是能量轉化和守恒定律在機械運動中的表現形式。,習題3-18,質量分別為m1和m2的兩塊木板用質量可忽略的彈簧相連并置于地上。求對上面的木板必須施以多大的正壓力，才能使該力撤去后上面的木板跳至最高點時，下面的木板剛好能被提離地面。,,取彈簧自然伸長時m1的位置為彈性勢能和重力勢能的零點。,上板受壓時：,上板跳至最高點時，N=0：,由機械能守恒：,將(1)、(2)、兩式代入(3)式并化簡得：,解上式得：,討論：由最后結果看，若交換m1、m2，結果不變。,3-5碰撞：,兩個或多個物體在一極短的時間內以相當大的作用力（沖擊力）相互作用的過程稱為碰撞。碰撞時，除沖擊力外，其它相對較弱的力可忽略不計。,所以，以相互碰撞的物體為系統(tǒng)時，系統(tǒng)的總動量守恒。,設兩球作對心碰撞（正碰撞）—碰撞前后兩球速度在同一直線上。,動量守恒：,牛頓碰撞定律：,稱為分離速度,稱為接近速度,稱為恢復系數，由材料決定，可由實驗測出。,1、非完全彈性碰撞：,0m1，v2=0，則,如：彈性小球對墻、氣體分子對容器壁的碰撞等。,等大球碰撞,小球碰大球,3、完全非彈性碰撞：,由上式或由(3)、(4)、(5)式得：,小球產生的形變完全不能恢復，碰撞后兩小球合在一起以同樣的速度運動，但系統(tǒng)的動量仍守恒。,,在完全非彈性碰撞中，能量（動能）的損失最大。,例題：,粒子A以初速度v0=300m/s與另一靜止的同種粒子B發(fā)生完全彈性碰撞。碰撞后粒子A以θ1=30方向被散射，求兩個粒子碰撞后的速率v1、v2和第二個粒子運動的方向θ2。,,這是一個二維的非對心完全彈性碰撞，動量和動能均守恒。,動量守恒：,動能守恒：,,用沖擊擺測子彈的速度：設擺長l，木塊質量M，子彈質量m。子彈與木塊作完全非彈性碰撞，擺線的最大擺角θ0，求：子彈擊中木塊時的速度v0。,,例題3-5,子彈與木塊間的沖擊力很大，以子彈、木塊為系統(tǒng)時，動量守恒。設子彈射入木塊后兩者的共同速度為v，則：,子彈與木塊一起運動到擺至最高點的過程中，繩的張力不做功，機械能守恒：,討論：,物體間作非彈性碰撞時，機械能的損失最大。,設上題中θ0=60，m=10g，M=1.0kg，l=1.0m。則：,子彈的初動能：,子彈和木塊一起運動時的動能：,即有99%的動能因摩擦力做功而耗散掉了！,