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1、目錄
中文摘要………………………………………………………………………………………i
英文摘要………………………………………………………………………………………ii
1. 引言………………………………………………………………………………………1
2. 預(yù)備知識…………………………………………………………………………………1
3. 正項(xiàng)級數(shù)的兩種常用判別法的強(qiáng)弱性比較……………………………………………1
4. 任意項(xiàng)級數(shù)的三種常用判別法的強(qiáng)弱性比較…………………………………………4
致謝……………………………………………………………………………………………7
參考文獻(xiàn)……………
2、…………………………………………………………………………8
常用數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性比較
摘 要: 本文比較五種數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性, 并給出相應(yīng)的證明和反例, 其中五種數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法為: 柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法、阿貝爾判別法、狄立克萊判別法和萊布尼茲判別法.
關(guān)鍵詞: 數(shù)項(xiàng)級數(shù); 斂散性; 判別法; 強(qiáng)弱性比較
3、
The Comparison of strength and weakness about Discriminance of Convergence and Divergence of Universal Number Series
Abstract：In this paper, we compare the strength of five discriminance of convergence and divergence about number series, and give the corresponding proof and counter-
4、examples, where five discriminance of convergence and divergence about number series are: Cauchy Discriminance, DAlembert Discriminance, Abel Discriminance, Dirichlet Discriminance and Leibniz Discriminance.
Key words：Number series; Convergence and Divergence; Discriminance; Comparison of strength
5、and weakness
ii
1引 言
數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法是研究數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的一個重要而有趣的領(lǐng)域，是判斷數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的有效方法, 有廣泛的應(yīng)用, 見[1-7]. 關(guān)于數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法有很多種，我們可以選擇不同的判別法來確定數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性. 在[2]中, 給出幾種常用的數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法, 其中有：比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法、狄立克萊判別法、阿貝爾判別法、萊布尼茲判別法等. 對于一個給定的數(shù)項(xiàng)級數(shù)可用某些判別法確定之，而
6、不能用另外一些判別法確定之，這就出現(xiàn)了數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性. 本文就是比較這些判別法之間的斂散性的強(qiáng)弱性. 以便于運(yùn)用判別法的有效選擇.
對于數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的正項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法的強(qiáng)弱性問題，常用的主要有比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法. 其中比較判別法是最強(qiáng)的, 因?yàn)榭挛髋袆e法、達(dá)朗貝爾判別法的證明就是依據(jù)比較判別法來證明的. 因此，本文只對柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法的強(qiáng)弱性進(jìn)行比較.
對于任意項(xiàng)級數(shù)，主要有阿貝爾判別法、狄立克萊判別法和萊布尼茲判別法.它們都是多條件判別法，雖然各個條件分別各有其強(qiáng)弱性，但從狄立克萊判別法可以推導(dǎo)出阿貝爾判別法，從狄立克萊判別
7、法也可以得到萊布尼茲判別法. 所以它們之間也有強(qiáng)弱性，本文給出強(qiáng)弱性結(jié)果和相應(yīng)的證明與反例.
2預(yù)備知識
正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法 若兩個正項(xiàng)級數(shù)和之間成立著關(guān)系：存在常數(shù)>0, 使(1, 2, 3, ……)或者自某項(xiàng)以后(即, 當(dāng)時(shí))成立以上關(guān)系, 那么:
(i)當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)，級數(shù)亦收斂;
(ii)當(dāng)級數(shù)發(fā)散時(shí)，級數(shù)亦發(fā)散．
(證明略, 參見[2]）
3正項(xiàng)級數(shù)的兩種常用判別法的強(qiáng)弱性比較
I.柯西(Cauchy)判別法 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù), 若從某一項(xiàng)起(即, 當(dāng)時(shí))成立著(為某確定的常數(shù)), 則級數(shù)收斂; 若從某一項(xiàng)起成立著, 則級數(shù)發(fā)散.
證明 若當(dāng)時(shí), 成立, 則有. 由于
8、級數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較判別法得級數(shù)收斂.
若當(dāng)時(shí), , 則有. 從而級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0, 故級數(shù)發(fā)散.
這個判別法也可以寫成極限形式： 對于正項(xiàng)級數(shù), 設(shè), 那么當(dāng)時(shí), 此級數(shù)必為收斂級數(shù); 當(dāng), 此級數(shù)必為發(fā)散級數(shù); 當(dāng)時(shí), 此級數(shù)的斂散性須進(jìn)一步判定. (參見[2])
II.達(dá)朗貝爾(D’Alembert)判別法 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù), 若從某一項(xiàng)起 (即, 當(dāng)時(shí))成立著(為某一確定的常數(shù)), 則級數(shù)收斂, 若從某一項(xiàng)起, , 則級數(shù)發(fā)散.
證明 若當(dāng)時(shí), 成立, 則有. 故
.
由于級數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較判別法有級數(shù)收斂.
若當(dāng)時(shí), 成立, 即, 則
.
又因
9、, 則. 故不趨于0. 所以級數(shù)發(fā)散.
這個判別法也可以寫成極限形式：對于正項(xiàng)級數(shù), 當(dāng)時(shí), 級數(shù)收斂; 當(dāng)時(shí), 級數(shù)發(fā)散; 而當(dāng)或者時(shí), 級數(shù)的斂散性須進(jìn)一步判定. (參見[2])
定理1柯西判別法強(qiáng)于達(dá)朗貝爾判別法. 即對于正項(xiàng)級數(shù), 能用達(dá)朗貝爾判別法確定其斂散性, 則必可用柯西判別法確定之.
證明 這里只須證明:
.
而這里只證明第一個不等式, 第二個不等式恒成立, 第三個不等式類似于第一個不等式的證明.
令, 任取, 使得, 則存在, 當(dāng)時(shí), 有, 即, 故
.
所以, 即. 所以
10、 .
由于此式對一切均成立. 故
.
定理得證.
注1 對于給定的正項(xiàng)級數(shù), 能用柯西判別法確定其斂散性, 未必能用達(dá)朗貝爾判別法確定之. 下舉一例子說明.
例1 設(shè)級數(shù), 分別用柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法判斷該級數(shù)的斂散性.
解: 先用柯西判別法判別其斂散性.
由于, 又因. 故
.
即
.
由柯西判別法得, 級數(shù)收斂. 但
.
所以, , 故不能用達(dá)朗貝爾判別法判斷其斂散性.
4 任意項(xiàng)級數(shù)的三種常用判別法的強(qiáng)弱性比較
III.阿貝爾(Abel)判別法 如果：
(i)級數(shù)收斂;
(ii
11、)數(shù)列單調(diào)有界， (1, 2, 3, ……).
則級數(shù)收斂.（證明略，參見[2]）
IV.狄立克萊(Dirichlet)判別法 如果：
(i)級數(shù)的部分和有界， (1, 2, 3, ……)；
(ii)數(shù)列單調(diào)趨于零.
則級數(shù)收斂.（證明略, 參見[2]）
V.萊布尼茲(Leibniz)判別法 如果一個交錯級數(shù)的項(xiàng)滿足以下兩個條件:
(i)單調(diào)減少 (1, 2, 3, ……);
(ii).
則級數(shù)收斂. （證明略, 參見[2]）
定理2 狄立克萊判別法強(qiáng)于阿貝爾判別法. 即凡能用阿貝爾判別法確定其斂散性的數(shù)項(xiàng)級數(shù), 必可用狄立克萊判別法確定之.
證明：由阿貝爾判別法的假
12、設(shè)條件（ii）可知, 數(shù)列的極限存在，設(shè)此極限為，則
.
由阿貝爾判別法的條件（i）可知, 級數(shù)收斂. 所以級數(shù)部分和有界，即存在, 使(1, 2, 3, ……). 因單調(diào)趨于0. 由狄立克萊判別法知, 級數(shù)收斂. 又因級數(shù)收斂, 所以級數(shù)
收斂. 定理得證.
注2 對于給定的數(shù)項(xiàng)級數(shù), 能用狄立克萊判別法確定其斂散性. 該數(shù)項(xiàng)級數(shù)未必能用阿貝爾判別法確定之. 下舉一例子說明.
例2 設(shè)級數(shù), 分別用狄立克萊判別法和阿貝爾判別法判斷其斂散性.
解：因 (2, 3, 4, ……)
由積化和差公式: , 得
.
所以(2, 3, 4, ……). 又
13、因時(shí), 單調(diào)趨于0，故由狄立克萊判別法知級數(shù)收斂. 但由于不收斂于0. 由收斂級數(shù)的項(xiàng)必定趨于0, 可以得到級數(shù)不收斂. 所以不能用阿貝爾判別法判斷級數(shù)的斂散性.
定理3 狄立克萊判別法強(qiáng)于萊布尼茲判別法, 即凡能用萊布尼茲判別法確定其斂散性的數(shù)項(xiàng)級數(shù), 必可用狄立克萊判別法確定之.
證明 對于數(shù)項(xiàng)級數(shù)滿足萊布尼茲判別法的兩個條件, 可根據(jù)狄立克萊判別法證明其收斂. 如下:
令, (1, 2, 3, ……). 因?yàn)?(1, 2, 3, ……)且. 所以數(shù)列單調(diào)趨于0. 又因, 令, 則, 有界. 所以, 由狄立克萊判別法知級數(shù)收斂. 即級數(shù)收斂. 定理得證.
注3 對于給定的任意
14、項(xiàng)級數(shù), 能用狄立克萊判別法確定其斂散性. 該級數(shù)未必能用萊布尼茲判別法確定之. 例如: 例2中級數(shù)能用狄立克萊判別法確定其斂散性, 但由于該級數(shù)不是交錯級數(shù), 顯然不能用萊布尼茲判別法確定之. 其實(shí), 萊布尼茲判別法可以作為狄立克萊判別法的一個特殊情況. 因?yàn)? 對于狄立克萊判別法中的級數(shù), 令, , 由數(shù)列單調(diào)趨于零, 可得到: (i)單調(diào)減少(充分大時(shí)); (ii). 就是萊布尼茲判別法了.
參考文獻(xiàn)
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常用數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性比較本科生畢業(yè)論文
