實二次型與實對稱矩陣的定性分析數學專業(yè)畢業(yè)論文

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1、實二次型與實對稱矩陣的定性分析 摘 要： 本文以矩陣理論在二次型理論中的應用為基礎,重點討論了正定矩陣、負定矩 陣、半正定矩陣、半負定矩陣的若干等價命題,并給出詳細的證明,得到了一些有一定價值的 結論. 關鍵詞： 實二次型； 實對稱矩陣； 正定矩陣 1 引言 數域上一個元實二次齊次多項式:可表示成矩陣形式:其中是由的系數構成的實對稱矩陣.反之,若是數域上階實對稱矩陣,則可得上的一個元實二次型.所以,數域上元實二次型與數域上階實對稱矩陣一一對應.因此要研究實二次型,只要研究該實二次型的矩陣即可.事實上, 實二次型的等價分類問題與矩陣的合同分類問題本質上是同一個問題. 設

2、實二次型,是實對稱矩陣,若對于任意的實非零列向量有,則稱和是正定的;若對于任意的實非零列向量有,就稱和是負定的;若對于任意的實非零列向量有,就稱和是半正定的;若對于任意的實非零列向量有,就稱和是半負定的;若存在兩個實向量和,使和則稱是不定實二次型,便是不定的. 2 實二次型性質的簡單分析 2.1 線性替換 實二次型經過非退化線性替換 化為標準形 實二次型的上述過程相當于在實二次型的矩陣表示式中,對于實對稱矩陣通過尋找一個可逆矩陣,使 . 2.2 正定實二次型的有關結論 （1） 正定實二次型經過實滿秩線性替換后仍為正定實二次型. （2） 實二次型是正定的充分必要條件是

3、 (3) 元實二次型正定的充分必要條件是 的正慣性指數為. 2. 3 負定實二次型的有關結論 (1) 負定實二次型經過實滿秩線性代換后仍為負定實二次型. (2) 實二次型是負定的充分必要條件是 (3) 元實二次型負定的充分必要條件是的 負慣性指數為. 2. 4 半正定實二次型的有關結論 的正慣性指數等于實二次型的秩. 2. 5 半負定實二次型的有關結論 的負慣性指數等于實二次型的秩. 3 實對稱矩陣的等價條件和證明 3.1 正定矩陣 設是實對稱矩陣,則以下命題等價 (1) 是正定的; (2) 的正慣性指數等于矩陣的階數; (3) 合同于單位矩陣

4、; (4) 存在可逆矩陣,使; (5) 的所有順序主子式全大于0,特別地的行列式大于0. 證明 : 由于是正定矩陣,所以二次型正定.設元實二次型經過非退化線性替換變成. 正定當且僅當正定,而我們知道實二次型是正定的當且僅當.即正慣性指數為,且矩陣的秩為. : 設元實二次型所對應的系數矩陣為,的正慣性指數為,則經過非退化線性替換變?yōu)橐?guī)范形式,所以與單位矩陣合同. : 與單位矩陣合同,則存在可逆矩陣,使. : 因為,其中是可逆矩陣,所以是正定矩陣,則所對應的實二次型是正定二次型.對于每一個令,我們來證明是元的正定二次型對于任意一組不全為零的實數,有 . 因此是正定的,有上面的推論

5、的矩陣的行列式 .這就證明了矩陣的順序主子式全大于零. : 對作數學歸納,設,其中 當時,,由條件知,所以,是正定二次型,矩陣對應是正定矩陣. 假設上述論斷對于元實二次型已經成立. 現在來證元的情形,令,于是矩陣可以分塊寫成,既然的順序主子式全大于零,當然的順序主子式也全大于零.由歸納假設,是正定矩陣.換句話說,有可逆的級矩陣,使,這里代表級單位矩陣. 令 于是 再令 , 于是令 就有,再兩邊同時取行列式條件,因此,顯然 這就是說,矩陣與單位矩陣合同,因此是正定矩陣. 3.2 負定矩陣 根據定義: 設負定, 任給,且.有于是,同時也為實對稱矩陣,因此

6、得（－）是正定矩陣. 設是實對稱矩陣,則以下命題等價 (1) 是負定的; (2) 的負慣性指數等于矩陣的階數;（（－）的正慣性指數即為的負慣性指數） (3) 合同于（－）;（由,即得） (4) 存在可逆矩陣,使; (5) 的所有順序主子式滿足:,特別地.（（－）的階主子式即為） 證明 : 由于是負定矩陣,所以二次型負定.設元實二次型經過非退化線性替換變成 負定當且僅當負定,而我們知道二次型是負定的當且僅當.即負慣性指數為,且矩陣的秩為. : 設元實二次型所對應的系數矩陣為,的負慣性指數為,則經過非退化線性替換變?yōu)橐?guī)范形式,所以與負單位矩陣合同. : 與負單位矩陣合同,則存在

7、可逆矩陣,使. : 因為,其中是可逆矩陣,因此是正定矩陣,故的一切順序主子式全大于零,從而,即且有. : 對作數學歸納,設,其中. 當時,,由條件知,所以當時, ,因此 是負定二次型, 對應矩陣 是負定矩陣. 假設上述論斷對于元二次型已經成立. 現在來證元的情形,令, 于是矩陣可以分塊寫成,既然的順序主子式全大于零,當然的順序主子式也全大于零.由歸納假設,是負定矩陣.換句話說,有可逆的級矩陣,使,這里代表級單位矩陣.令于是 再令, 令 就有其中 再兩邊同時取行列式由條件,因此,即,所以且有 這就是說,矩陣與負單位矩陣合同,因此是負定矩陣,或者說是負定的.

8、 3.3 半正定矩陣 設是實對稱矩陣, (1) 是半正定的; (2) 正慣性指數等于秩; (3) 存在可逆矩陣使得; (4) 存在實矩陣,使得; (5) 的所有主子式都大于或等于0. 證明 : 實對稱矩陣一定合同于對角矩陣 （其中r為A的秩,p為A的正慣 性指數）即,,若,令,其中則一定有,也就是:,且. 這與為半正定矩陣矛盾,于是得.即得證. : 由上面的證明得,, , 且,即得證. : 由, 只要令,即得,且易見為階實矩陣. : 若存在,使得,則任取,有,設,由的任意性可知,矩陣是半正定矩陣. : 令 取,令.由矩陣的半正定性知:,也即,記且 是任意的

9、,于是得是半正定的,則據結論3有: ,.兩邊取行列式得:,因此,而正是矩陣的任意階主子式.至此得證. : 考察矩陣的階順序主子式 ,任給. 而,為的全部階主子式和.由結論（5） ,又,所以,且是任意的,于是的所有順序主 子式大于0,從而是正定的.再者,為任意大于0的數,即得:任給一實非 零列向量,必有成立.（否則,若存在實非零列向量,使得 ,那么只要取使之滿足,就有 成立,與是正定的矛盾）由此可知, 是半正定矩陣. 3.4 半負定矩陣 由定義,任給,有 從而,即（）為半正定矩陣.比較可得如下等價判別條件: 設是實對稱矩陣, (1) 是半負定的; (2) 的負慣性指數

10、等于秩;（）的正慣性指數即為的負慣性指數（是的正慣性指數）; (3) 存在可逆矩陣使得,. 也即為 ,; (4) 存在實矩陣 ,使得; (5) 的所有主子式都大于或等于0. 證明 : 由于實對稱矩陣一定合同于對角矩陣 ,（其中為的秩,為的負慣性指數.）即,,若,則,令,, .則一定有,也就是:,且這與為半負定矩陣矛盾,于是得.即得證. : 由上面的證明得,即 則,,且,即證. : 由,得 . 只要令,即得,且易見為階實矩陣. : 若存在,使得,則任取,有 ,設,由的任意性可知,矩陣是半負定矩陣. : 設半負定,則應是半正定矩陣,由半正定矩陣的性質知的所

11、有主子式都大于或等于零. : 考察矩陣的階順序主子式,對于 ,有,為的全部階主子式的和.由條件（5）知,又,所以,且是任意的,于是的所有順序主子式大于0,從而是正定的.再者,為任意大于0的數,即得任給一實非零列向量,必有成立.（否則,若存在實非零列向量,使得 ,那么只要取使之滿足,就有 成立,與是正定矛盾）由此可知, 是半正定矩陣,故是半負定矩陣. 4 應用 例1 實二次型是_____二次型. 解 方法1: 任找兩點(1,0,0)和(1,0,-2)代入,得, ,所以是不定二次型. 方法2: 設二次型的系數矩陣是,則,由,而中有二階主子式,可得是不定二次型. 例2 為何值時才

12、能使二次型為正定的. 解 二次型的矩陣為由于有一個二階主子式 故知無論為何值,二次型都不能是正定的. 例3 判斷二次型是否為正定二次型. 解 該二次型的矩陣 , 的 階順序主子式 , 該二次型是正定二次型. 例4 證明設是實對稱矩陣,證明 （1）當正實數充分大時,是正定矩陣; （2）當正實數充分小時,是正定矩陣; 證明 (1)首先,由于是實對稱矩陣,故對任意的實數,顯然也是實對稱矩陣.其次,令,,為的順序主子式,它們都是首項系數為1的實系數多項式,于是由分析學知,對充分大的正實數,可使.因此對充分大的正實數,可使為正定矩陣. (2)由于對任何正實數,都

13、有.而當充分小時,為充分大的正數,因此由(1)知為正定矩陣,從而為正定矩陣. 例5 證明若實對稱矩陣的特征根均在閉區(qū)間[]上,則當時, 是負定矩陣; 則當時, 是正定矩陣. 證明 設階實對稱矩陣的全部特征值為,設的全部特征值為,則, 由知, 當時,則有,.所以為負定的.當時,則有,.所以為正定矩陣. 參考文獻： [1]楊子胥. 高等代數習題集[M]. 濟南：山東科技出版社,2003,390~507. [2]錢吉林. 高等代數解題精粹[M]. 北京：中央民族出版社,2002,.224,227,255. [3]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編. 高等代數[M]. 高等教育

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15、[10]RogerA.Horn.Topics inMatrix Analysis[M]. 北京民郵電大學出版社,2005. Analysis for Properties of Real Quadratic Forms and Real Symmetric Matrixes Abstract: On the basis of applications of matrix theory to quadratic form theory, this paper mainly discusses and proves in detail some propositions equivalent each other on positive definite matrixes, negative definite matrixes, semi-positive matrixes and semi-negative matrixes, and obtain some valuable results. Key words: Real quadratic form; Real symmetric matrix; Positive definite matrix 13