用傅里葉變換解偏微分方程.ppt
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用傅里葉變換解偏微分方程,一、傅里葉變換二、偏微分方程三、方程的求解,一、傅里葉變換,1.傅里葉級數(shù)2.積分變換3.傅里葉變換4.離散傅里葉變換5.快速傅里葉變換(FFT),傅里葉級數(shù),傅里葉級數(shù)形式,an和bn稱為f(x)的傅里葉系數(shù),傅里葉級數(shù),一般意義下:假設f(x)是定義在(-∞,+∞)內(nèi)的實函數(shù),它在任一有限區(qū)間[?l,+l]內(nèi)是分段光滑的,則f(x)可以展開為傅里葉級數(shù):,積分變換,對于一般的積分變換,我們有如下定義:令I為一實數(shù)集,K(s,w)是定義在I[a,b]上的函數(shù),如果函數(shù)f(w)滿足:(1)在[a,b]上有定義;(2)對每個s∈I,K(s,w)f(w)作為w∈[a,b]的函數(shù)是可積的。則帶有參變量的積分就定義了一個“從f(w)到F(s)”的變換。這種通過積分運算把一個函數(shù)變?yōu)榱硪粋€函數(shù)的方法稱為積分變換。,積分變換,每給定一個函數(shù)K(s,w)就確定了一個積分變換,因此積分變換是由函數(shù)K(s,w)生成的。通常稱K(s,w)為(積分變換的)核函數(shù),稱參與變換的f(w)為初始函數(shù)或者原象函數(shù),把變換成的F(s)稱為變換函數(shù)或者象函數(shù)。積分變換是作用是把初始函數(shù)變成另一類比較容易求解的象函數(shù),因此用積分變換求解偏微分方程的方法與我們采用對數(shù)來計算數(shù)的乘、除、乘方和開方的技巧是完全類似的。,傅里葉變換,傅里葉變換,傅里葉逆變換,由傅里葉級數(shù)推導出傅里葉積分,再推導出傅里葉變換,過程如下,傅里葉變換,將上兩式代入前式,并利用三角恒等式:,可以得到,傅里葉變換,,現(xiàn)在假定f(x)在(?∞,+∞)內(nèi)絕對可積,那么當l→+∞時,就有:,上述積分的極限為:,令,以及,當時,,我們把上述積分表達式稱之為傅里葉積分。,傅里葉變換,傅里葉積分的兩種形式:一種是另一種是,傅里葉變換,引進新函數(shù):,便可以得出:,傅里葉變換,(1)線性性質(zhì)。假定a、b為任意兩個實數(shù),函數(shù)f1(x)、f2(x)滿足傅里葉變換條件,則有:,(2)卷積性質(zhì)。假定函數(shù)f1(x)、f2(x)滿足傅里葉變換條件,則稱函數(shù),稱為f1(x)和f2(x)卷積,如果f1(x)、f2(x)和f1*f2均滿足傅里葉變換條件,那么就有:,傅里葉變換,(3)微商性質(zhì)。如果和均滿足傅里葉變換條件,而且當|x|→+∞時f(x)→0,那么:進一步,如果滿足傅里葉變換條件,就有:,二、偏微分方程,1.什么是偏微分方程2.定解條件與定解問題3.二階線性偏微分,偏微分方程的概念,偏微分方程是指含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些偏導數(shù)的等式。偏微分方程的一般形式:,偏微分方程的分類,如果一個偏微分方程對未知函數(shù)及它的所有偏導數(shù)都是線性的,且它們的系數(shù)都是僅依賴于自變量的已知函數(shù),則這樣的偏微分方程稱為線性偏微分方程。對于一個非線性偏微分方程,如果它關于未知函數(shù)的最高階偏導數(shù)是線性的,則稱它是擬線性偏微分方程。,偏微分方程的例子,定解條件,常見的定解條件,可分為初始條件與邊界條件。,定解條件,定解條件,定解條件,定解問題,一個偏微分方程與定解條件一起構成對于具體問題的完整描述,稱為定解問題。,二階線性偏微分,表達式為:其中A,B,C為參數(shù)并且取決于x,y。如果在xy平面上有,該偏微分方程在該平面上為二階偏微分方程??勺冃螢椋涸摱A偏微分方程可分類為:拋物線方程,雙曲線方程和橢圓方程,起分類方式為::橢圓方程;:拋物線方程;:雙曲線方程。,三、傅里葉變換解偏微分,1.熱傳導問題2.波動問題3.基本步驟,熱傳導問題,一維的齊次熱傳導方程柯西問題,熱傳導問題,(一)將t視為參數(shù),對(1)(2)兩式兩端進行對于x的傅里葉變換:記,則有,熱傳導問題,(微分性質(zhì)),熱傳導問題,(二)解(3)(4)式合并后帶有參數(shù)w的的常微分方程的初值問題,得,熱傳導問題,(三)利用對w的傅里葉逆變換,來求原函數(shù)(5)式的左端:右端:,熱傳導問題,考慮(5)的右端:由于故只考慮,而,熱傳導問題,卷積性質(zhì),所以解為,波動問題,由于時間問題,此問題是從網(wǎng)上照抄下來的,沒有自己打。,基本步驟,一般化用傅里葉變換求解偏微分方程的4個基本步驟:(1)選用偏微分方程中某個適當?shù)淖宰兞孔鞣e分變量,對方程作傅里葉變換,將方程中的自變量消去一個,化原方程為帶參數(shù)的常微分方程(2)對定解條件作傅里葉變換,導出常微分方程的初始條件;(3)解此常微分方程的定解問題,得到原未知函數(shù)的傅里葉變換式;(4)對該式進行逆傅里葉變換,最后求得原問題的解。,- 配套講稿:
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- 傅里葉變換 微分方程
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