行列式與矩陣知識在解析幾何某些問題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文

《行列式與矩陣知識在解析幾何某些問題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《行列式與矩陣知識在解析幾何某些問題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文（16頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 行列式與矩陣知識在解析幾何某些問題中的應(yīng)用 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告 論文（設(shè)計(jì)）題目 行列式與矩陣知識在解析幾何某些問題中的應(yīng)用 畢業(yè)年份 系院 數(shù)學(xué)系 專業(yè)、班級 學(xué)生姓名 學(xué)號 指導(dǎo)教師 1、 擬開展研究的價(jià)值和意義 高等代數(shù)與解析幾何不僅是作為數(shù)學(xué)學(xué)科中三大支柱課程中的一部分,也是數(shù)學(xué)系課程中聯(lián)系最為密切的兩門基礎(chǔ)課程,在代數(shù)與幾何的發(fā)展過程中，高等代數(shù)與解析幾何互相聯(lián)系、互相促進(jìn)的關(guān)系日趨明顯。行列式與矩陣是高等代數(shù)的一部分主要內(nèi)容，討論行列式與矩陣的知識在解析幾何某些問題中的應(yīng)用，對于未來

2、研究解析幾何有著重要的意義。 二、研究的步驟方法 1、查閱書籍學(xué)刊，搜集整理材料，熟悉、分析行列式與矩陣在解析幾何中的部分應(yīng)用。 2、通過分析研究，歸納總結(jié)出行列式與矩陣對于研究解析幾何中有著重要的意思。 三、論文擬定提綱 一 摘要，關(guān)鍵詞，引言 二 正文 1.行列式在解析幾何中的應(yīng)用 1.1兩向量共線問題 1.2三向量共面問題 1.3行列式知識在直線一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化中的應(yīng)用 1.4空間兩直線的相關(guān)位置關(guān)系的判定 1.5行列式的知識在有關(guān)距離計(jì)算中的應(yīng)用 1.6兩直線在同一平面上的判定 2.矩陣知識在解析幾何中的應(yīng)用 2.1矩陣知識在二

3、次曲線的化簡中的作用 2.1.1有心二次曲面方程的化簡 2.1.2無心二次曲面方程的化簡 2.2應(yīng)用不變量化簡二次曲面的方程 2.2.1不變量與半不變量 2.2.2二次曲面五種類型的判別 三 結(jié)語 行列式與矩陣的知識對于我們學(xué)習(xí)研究解析幾何有著很多的幫助。 四、主要參考文獻(xiàn) [1]呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2007. [2]牛興文.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2005. [3]胡國權(quán).幾何與代數(shù)引導(dǎo)[M].北京：科學(xué)出版社，2006. [4]王心介.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：科學(xué)出

4、版社，2002. [5]劉仲奎.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003. [6]孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何[M]北京：科學(xué)出版社，1998. [7]田勇.線性代數(shù)教材輔導(dǎo)[M].北京：科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，2005. [8]楊武茂,李全英.空間解析幾何[M].武漢:武漢大學(xué)出版社, 2004. [9]李漢龍，王金寶，朱寶彥.化簡二次曲面的一種新方法[J].沈陽：建筑大學(xué)學(xué)報(bào)，2007. [10]陳志杰.等代數(shù)與解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2000. [11]王元.華羅庚[M].北京：開明出版社,1994. 指導(dǎo)教師意見及建議 簽字：

5、 年 月 日 系（院）主管主任意見及建議 簽字 （蓋章）： 年 月 日 注：此表前4項(xiàng)由學(xué)生填寫后，交指導(dǎo)教師簽署意見，經(jīng)主管系主任審批后，才能開題 行列式與矩陣知識在解析幾何某些問題中的應(yīng)用 摘要：高等代數(shù)與解析幾何不僅是作為數(shù)學(xué)學(xué)科中三大支柱課程中的一部分,也是數(shù)學(xué)系課程中聯(lián)系最為密切的兩門基礎(chǔ)課程,在代數(shù)與幾何的發(fā)展過程中，高等代數(shù)與解析幾何互相聯(lián)系、互相促進(jìn)的關(guān)系日趨明顯。行列式與矩陣是高等代數(shù)的一部分主要內(nèi)容，本文主要討論行列式與矩陣的知識在解析幾何某些問題中的應(yīng)用，認(rèn)為行列式與矩陣的知識對

6、于解析幾何的研究有著重要的意義。 關(guān)鍵詞：行列式；矩陣；解析幾何；應(yīng)用 The determinant and matrix knowledge in the application of some problems in analytic geometry Abstract: higher algebra and analytic geometry as mathematics is not only part of the three pillar courses in math courses, also is most closely connected, the

7、two basic courses in algebra and geometry of the development process, the higher algebra and analytic geometry connected each other, promote each other relationship has become increasingly evident. The determinant and matrix is higher algebra part of main contents, this article mainly discusses the

8、determinant and matrix knowledge in analytic geometry, and some problems reflect the application for the knowledge with matrix determinant of analytic geometry is of great significance to the study. Keywords: determinant; Matrix; Analytic geometry; application 引言：在解析幾何中，許多問題的解決都需要運(yùn)用高等代數(shù)中行列式與矩陣

9、的知識，行列式與矩陣知識是解決解析幾何問題的重要橋梁。因此，研究行列式與矩陣知識在解析幾何某些問題中的應(yīng)用這個(gè)課題，可以幫助我們更加深入和廣泛的研究解析幾何。 1.行列式在解析幾何中的應(yīng)用 1.1兩向量共線問題 定理：設(shè)為兩不共線的向量，證明向量共線的充要條件是=0 證：由于兩向量共線的充要條件是存在不全為零的數(shù)使 即 因?yàn)闉閮刹还簿€的向量，也就是兩向量線性無關(guān).所以 又因?yàn)椴蝗珵榱?，從而得向量與共線的充要條件為=0 1.2三向量共面問題 1.2.1定理 三向量，，共面的充要條件是＝=0 證：我們來研究三向量的混合積是如

10、何表示的 由于 =++ 根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示法，得 = =++, = 通過研究混合積我們知道三向量的混合積最終可以表示為一個(gè)行列式，要說明三向量共面，我們只需再證明它們的坐標(biāo)構(gòu)成的行列式的值為零. 由于三向量共面的充要條件是存在不全為0的數(shù)使得 =0 由此可得 因?yàn)椴蝗珵榱?，所?

11、 即：三向量共面的充要條件是＝ 1.2.2四點(diǎn)共面問題 定理：四個(gè)點(diǎn)共面的充要條件是 或 證：取平面的方向向量，那么 ， ， 因此平面的向量式參數(shù)方程為（1） 坐標(biāo)式參數(shù)方程為（2） 從（1）與（2）分別消去參數(shù)得 與 =0又可改寫為 1.3行列式知識在直線一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化中的應(yīng)用 設(shè)有兩個(gè)平面與，存在 如果,即方程組的系數(shù)行列式 ,,不全為零 ，那么平面與相交，它們的交線設(shè)為如果我們令為直線上一點(diǎn)，則,,就是直線的方向向量，于是得直線的標(biāo)準(zhǔn)方程

12、為 = 例1 化直線的一般方程 為標(biāo)準(zhǔn)方程 解：因?yàn)橹本€的方向數(shù)為 ：：=-4:8:0=1：（-2）：0 再設(shè)，解得，那么（0,4,1）為直線上的一點(diǎn)，所以直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1.4空間兩直線的相關(guān)位置關(guān)系的判定 1.4.1空間兩直線的位置關(guān)系有異面與共面，而在共面中又有相交、平行、重合的三種情況 設(shè)兩直線, , 這里的直線是由點(diǎn)與向量決定的，是由點(diǎn)與向量決定的。 空間兩直線（1）與（2）的相關(guān)位置有以下幾種情形： 異面： ; 相交： ; 1.5行列式的知識在有關(guān)距離計(jì)算中的應(yīng)用 定理：設(shè), 則它們

13、 之間的距離計(jì)算公式是 證：設(shè)兩異面直線與它們的公垂線的交點(diǎn)分別為,而分別為直線上的任意點(diǎn)，于是公垂線的長 于是為兩異面直線的的距離，即,其中分別為兩異面直線上的已知點(diǎn)，而兩異面的方向向量與的向量積顯然平行于公垂線，所以是公垂線的一個(gè)方向向量，因此有 如果用坐標(biāo)表示就是 例2.求通過點(diǎn)且與兩直線， 都相交的直線的方程。 解： 設(shè)所求直線的方向向量為,那么所求直線的方程可寫成 因?yàn)槎枷嘟?，而且過點(diǎn)，方向向量為，過點(diǎn)，方向向量為。所以有 ,即 ，即 又上兩式的 顯然

14、又有，即 ，即 所以所求直線的方程為 1.6兩直線在同一平面上的判定 定理:直線與 在同一平面上的充要條件是=0 證：因?yàn)橥ㄟ^的任意平面=0 其中是不全為零的任意實(shí)數(shù)，而通過的任一平面為 =0其中是不全為零的任意實(shí)數(shù)。因此兩直線在同一平面上的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)與使得以上兩平面表示一個(gè)相同的平面，那么就存在一個(gè)不為零的數(shù)因子，即 化簡整理得 所以 因?yàn)椴蝗珵榱悖缘? =0 而，因此兩直線共面的充要條件為 =0 即 =0 以上我們看出了高等代數(shù)中的行列式知識在研究向量共線，向量共面，直

15、線的一般方程表示以及判斷兩直線共面中都有非常重要的應(yīng)用. 2. 矩陣知識在解析幾何中的應(yīng)用 2.1矩陣知識在二次曲線的化簡中的作用 2.1.1有心二次曲面方程的化簡 我們把二次曲面分為中心二次曲面，線心二次曲面，面心二次曲面和無心二次曲面四種，我們把前三種二次曲面統(tǒng)稱為有心二次曲面，現(xiàn)討論有心二次曲面標(biāo)準(zhǔn)方程的建立。 設(shè)是有心二次曲面在直角坐標(biāo)系下的方程，則有解，存在一個(gè)正交矩陣，使得.任取的一個(gè)解.設(shè)，可得直角坐標(biāo)系.把到的直角坐標(biāo)變換公式帶入的方程，可得 由，，可得 其中. 即可化為標(biāo)準(zhǔn)方程. 例3.用直角坐標(biāo)變換化二次曲面 為標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出坐標(biāo)變換公式

16、，并說明是什么曲面. 解 設(shè) , , 則方程可記作 由,可知有唯一解，方程表示中心二次曲面. 解方程組，可求出唯一解，進(jìn)而可得 的特征值多項(xiàng)式為 = 的特征值為，分別解方程組,,可求出對應(yīng)的單位特征向量. ，，. 于是原方程在直角坐標(biāo)變換 下化為，進(jìn)而得到的標(biāo)準(zhǔn)方程.曲面為單葉雙曲面 2.1.2無心二次曲面方程的化簡 設(shè)是無心二次曲面在直角坐標(biāo)系下的方程，則無解，存在正交線性替換 把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 由無解，可得,又有，可得. 中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè) （1） 若，可配方得到 其中.當(dāng)時(shí)，可化為 令則方程經(jīng)可化為 當(dāng)時(shí)，可在直角坐標(biāo)變

17、換 的逆變換下化為 （2）若,可配方得到，其中.當(dāng)不全為0時(shí)，方程可在直角坐標(biāo)變換 的逆變換下化為 當(dāng)全為0時(shí)，方程可在直角坐標(biāo)變換 的逆變換下化為 例4.用直角坐標(biāo)變換化二次曲面為標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出坐標(biāo)變換公式，并說明是什么曲面。 解 設(shè) ， ，則原方程可記為 由無解，可知方程表示無心二次曲面 A的特征多項(xiàng)式為 A的特征值為，可求出對應(yīng)的單位特征向量 . 原方程在正交線性替換 下化為 可經(jīng)配方化為 設(shè)可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，表示雙曲拋物面. 所做的直角坐標(biāo)變換 =+ 2.2應(yīng)用不變量化簡二次曲面

18、的方程 2.2.1不變量與半不變量 二次曲面（1） =0 在空間直角坐標(biāo)變換下，有四個(gè)不變量與兩個(gè)半不變量，即 2.2.2二次曲面五種類型的判別 二次曲面（1）通過坐標(biāo)變換總可以化成下面的五個(gè)簡化方程中的一個(gè)： （I）， （II）， （III）， （IV）， （V）， 也就是說任何一個(gè)二次曲面，它一定屬于這五類曲面中的一類，現(xiàn)在我們介紹如何應(yīng)用二次曲面的不變量來判別二次曲面的類型. 1. 當(dāng)二次曲面（1）是第I類曲面時(shí)，那么有

19、 2. 當(dāng)二次曲面（1）是第II類曲面時(shí)，那么有 而 3. 當(dāng)二次曲面（1）是第III類曲面時(shí)，那么有 而 4. 當(dāng)二次曲面（1）是第IV類曲面時(shí)，那么有 而 5. 當(dāng)二次曲面（1）是第V類曲面時(shí)，那么有 以上這些區(qū)別五類二次曲面的必要條件，包括了所有可能而且互相排斥的各種情況，所以它們不僅是必要的而且也是充分的，因此我們得出以下結(jié)論； 如果給出了二次曲 =0 那么用不變量來判別

20、二次曲面為何類型的充要條件是： 第I類曲面：； 第II類曲面：， 第III類曲面：，， 第IV類曲面：，，， 第V類曲面:，，， 結(jié)束語 以上我們足以看出行列式和矩陣在解析幾何中的應(yīng)用是非常廣泛的，其實(shí)這些只是行列式和矩陣的知識在解析幾何中的一部分應(yīng)用而已，在很多領(lǐng)域解析幾何都需要用到行列式和矩陣的知識，所以行列式與矩陣的知識對于我們學(xué)習(xí)研究解析幾何有著很多的幫助。 [參考文獻(xiàn)] [1]呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2007. [2]牛興文.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2005. [3]胡國權(quán).幾何與代數(shù)引導(dǎo)[M].

21、北京：科學(xué)出版社，2006. [4]王心介.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：科學(xué)出版社，2002. [5]劉仲奎.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003. [6]孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何[M]北京：科學(xué)出版社，1998. [7]田勇.線性代數(shù)教材輔導(dǎo)[M].北京：科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，2005. [8]楊武茂,李全英.空間解析幾何[M].武漢:武漢大學(xué)出版社, 2004. [9]李漢龍，王金寶，朱寶彥.化簡二次曲面的一種新方法[J].沈陽：建筑大學(xué)學(xué)報(bào)，2007. [10]陳志杰.等代數(shù)與解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2000. [11]王元.華羅庚[M].北京：開明出版社,1994.