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課時訓練(十五) 二次函數(shù)與一元二次方程及不等式
(限時:30分鐘)
|夯實基礎|
1. [xx無錫梁溪區(qū)初三模擬] 已知m,n(m
4ac
B. ax2+bx+c≥-6
C. 若點(-2,m),(-5,n)在拋物線上,則m>n
D. 關于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的兩根為-5和-1
3. 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象經(jīng)過點(2,0),且其對稱軸為直線x=-1,則使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍是
( )
A. x<-4或x>2 B. -4≤x≤2
C. x≤-4或x≥2 D. -40,點P(a,b)與Q(a+n,b)在(2)中的拋物線上(點P,Q不重合),求代數(shù)式4a2-n2+8n的值.
8. [xx北京] 在平面直角坐標系xOy中,直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A,將點
B向右平移5個單位長度,得到點C.
(1)求點C的坐標;
(2)求拋物線的對稱軸;
(3)若拋物線與線段BC恰有一個公共點,結合函數(shù)圖象,求a的取值范圍.
9. [xx南京] 已知二次函數(shù)y=2(x-1)(x-m-3)(m為常數(shù)).
(1)求證:不論m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點;
(2)當m取什么值時,該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸的上方?
|拓展提升|
10. [xx貴陽] 已知二次函數(shù)y=-x2+x+6及一次函數(shù)y=-x+m,將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方,
圖象的其余部分不變,得到一個新函數(shù)(如圖K15-2所示),當直線y=-x+m與新圖象有4個交點時,m的取值范圍是
( )
圖K15-2
A. -254-(x-b)2+4b+1. 根據(jù)圖象,寫出x的取值范圍.
(3)如圖②,點A坐標為(5,0),點M在△AOB內(nèi),若點C14,y1,D34,y2都在二次函數(shù)圖象上,試比較y1與y2的大小.
圖K15-3
參考答案
1. D
2. C [解析] 點(-2,m)關于對稱軸的對稱點是(-4,m),在對稱軸x=-3左側,圖象從左向右下降,所以點(-5,n)在點(-4,m)的上方,所以n>m,故選C.
3. D [解析] 根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,0),且對稱軸為直線x=-1,可得函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為(-4,0),由于a<0,所以拋物線開口向下,當y>0時,函數(shù)圖象在x軸上方,由圖象可知x的取值范圍是-40,所以拋物線開口向上,在對稱軸的右側y隨x的增大而增大.
故答案為-1 增大.
6. -940. ∴a>-94.
又∵兩個不相等的實數(shù)根都在-1和0之間,
∴當x=-1和x=0時的函數(shù)y=ax2-3x-1的值同號.
∵當x=-1時,y=a+2;當x=0時,y=-1.
∴a+2<0,即a<-2.
綜上所述a的取值范圍為-940時,m=1.
此時拋物線解析式為y=x2-4x-5,
其對稱軸為直線x=2.
由題意知,P,Q關于直線x=2對稱.
∴a+a+n2=2,∴2a=4-n.
∴4a2-n2+8n=(4-n)2-n2+8n=16.
8. 解:(1)∵直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,
∴A(-1,0),B(0,4).
∵將點B向右平移5個單位長度,得到點C,
∴C(0+5,4),即C(5,4).
(2)∵拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A,
∴a-b-3a=0. ∴b=-2a.
∴拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=--2a2a=1,即對稱軸為直線x=1.
(3)易知拋物線過點(-1,0),(3,0).
①若a>0,如圖所示,易知拋物線過點(5,12a),若拋物線與線段BC恰有一個公共點,滿足12a≥4即可,可知a的取值范圍是a≥13.
②若a<0,如圖所示,易知拋物線與y軸交于(0,-3a),要使該拋物線與線段BC只有一個公共點,就必須-3a>4,此時a<-43.
③若拋物線的頂點在線段BC上,此時頂點坐標為(1,4),從而解析式為y=a(x-1)2+4,將A(-1,0)代入,解得a=-1,如圖所示:
綜上,a的取值范圍是a≥13或a<-43或a=-1.
9. 解:(1)證明:當y=0時,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3.
當m+3=1,即m=-2時,方程有兩個相等的實數(shù)根;當m+3≠1,即m≠-2時,方程有兩個不相等的實數(shù)根. 所以,不論m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點.
(2)當x=0時,y=2m+6,即該函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標是2m+6.
當2m+6>0,即m>-3時,該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸的上方.
10. D [解析] 在拋物線y=-x2+x+6中,令y=0時,即-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,即拋物線y=-x2+x+6與x軸交點坐標分別為(-2,0),(3,0). ∵拋物線y=-x2+x+6沿x軸翻折到x軸下方,∴此時新拋物線y=x2-x-6(y<0)與y軸交點坐標為(0,-6). 當直線y=-x+m過(-2,0),(0,-2)時,m=-2. 此時直線y=-x+m與x軸下方圖象只有三個交點. 如圖所示,要使直線y=-x+m與新圖象有4個交點,需y=-x+m與y=x2-x-6有兩個交點,則-x+m=x2-x-6有兩個不同解,整理得x2=m+6,所以m>-6時,直線y=-x+m與拋物線y=x2-x-6有兩個交點,m的取值范圍是-6-(x-b)2+4b+1時,x的取值范圍為x<0或x>5.
(3)如圖②,設直線y=4x+1與直線AB交于點E,與y軸交于點F,而直線AB表達式為y=-x+5,
解方程組y=4x+1,y=-x+5,得x=45,y=215,
∴點E45,215,
又∵F(0,1).
點M在△AOB內(nèi),
∴0y2;
②當b=12時,y1=y2;
③當12
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第三章
函數(shù)
課時訓練十五二次函數(shù)與一元二次方程及不等式練習
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