計(jì)算二重積分的幾種方法數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)論文

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1、 計(jì)算二重積分的幾種方法 摘要 二重積分的計(jì)算是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要的內(nèi)容，其計(jì)算方法多樣、靈活，本文總結(jié)了二重積分的一般計(jì)算方法和特殊計(jì)算方法.其中，一般計(jì)算方法包括化二重積分為累次積分和換元法，特殊計(jì)算方法包括應(yīng)用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、奇偶性求二重積分以及分部積分法. 關(guān)鍵詞 二重積分 累次積分法 對(duì)稱(chēng)性 分部積分法 1 引言 本人在家里的職業(yè)教育高中實(shí)習(xí)，發(fā)現(xiàn)這里有些專(zhuān)業(yè)的的學(xué)生要計(jì)算很多面積或者體積問(wèn)題，已經(jīng)略微涉及到大學(xué)的積分問(wèn)題，如曲頂柱體的體積，他們用最普遍的求面積/體積的方法求解，而用二重積分進(jìn)行計(jì)算求解就會(huì)更容易理解，方法和步驟也帶給學(xué)生一個(gè)新的認(rèn)

2、知領(lǐng)域。職業(yè)教育的學(xué)生在大學(xué)知識(shí)中解決實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用積分的方法更頻繁。在解決一些幾何、物理等的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們常常需要各種不同的多元實(shí)值函數(shù)的積分，而二重積分又是基本的、常見(jiàn)的多元函數(shù)積分，我針對(duì)自己在《數(shù)學(xué)分析》這門(mén)課程中的學(xué)習(xí)，總結(jié)了累次積分、根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性積分、元素法、分部積分法、極坐標(biāo)下的積分等內(nèi)容，以下是我對(duì)二重積分方法的總結(jié)。 2 積分的計(jì)算方法 2.1化二重積分為兩次定積分或累次積分法 定理1 若函數(shù)在閉矩形域可積，且，定積分存在，則累次積分也存在，且 證明 設(shè)區(qū)間與的分點(diǎn)分別是 這個(gè)分法記為.于是，分法將閉矩形域分成個(gè)小閉矩形，小閉矩形記為

3、設(shè)，有.已知一元函數(shù)在可積，有.將此不等式對(duì)相加，有，其中，即.再將此不等式乘以，然后對(duì)相加，有.此不等式的左右兩端分別是分法的小和與大和，即 . (1) 已知函數(shù)在可積，根據(jù)定理有 又不等式（1），有，即類(lèi)似地，若在閉矩形域可積，且定積分存在，則累次積分，也存在，且. 也可將累次積分與分別記為和. 定義1 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)；函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則區(qū)域和分別稱(chēng)為型區(qū)域和型區(qū)域.如下圖（1）和（2）所示 . 定理2 設(shè)有界閉區(qū)域是型區(qū)域，若函數(shù)在可積，且，定積分存在，則累次積分也存在，且. 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分公式： 例1 計(jì)算二重積

4、分，其中 解 被積函數(shù)在R連續(xù)，則有 = = = = 例2 計(jì)算二重積分，其中是由直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)所圍成，既是型區(qū)域又是型區(qū)域，如圖（3）所示. 解 先對(duì)積分，后對(duì)積分.將投影在軸上，得閉區(qū)間.,關(guān)于積分，在內(nèi)的積分限是到，然后在投影區(qū)間上關(guān)于積分，即 . 先對(duì)積分，后對(duì)積分.因?yàn)榈淖髠?cè)邊界不是由一個(gè)解析式給出，而是由兩個(gè)解析式和給出的，所以必須將圖（3）所示的區(qū)

5、域分成兩個(gè)區(qū)域與，分別在其上求二重積分，然后再相加，即 . 例3 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，并設(shè)求 解 因?yàn)? 所以 所以. 2.2 換元法 求二重積分，由于某些積分區(qū)域的邊界曲線(xiàn)比較復(fù)雜，僅僅將二重積分化為累次積分并不能得到計(jì)算結(jié)果.如果經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)膿Q元或變換可將給定的積分區(qū)域變?yōu)楹?jiǎn)單的區(qū)域，從而簡(jiǎn)化了重積分的計(jì)算. 定理3若函數(shù)在有界閉區(qū)域連續(xù)，函數(shù)組 （2） 將平面上區(qū)域變換為平面上區(qū)域.且函數(shù)組(2)在上對(duì)與對(duì)存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，, 有則 （3） 證明 用任意分法T將區(qū)域分成n個(gè)小區(qū)域：.設(shè)其面積分別

6、是.于是，在上有對(duì)應(yīng)的分法,它將對(duì)應(yīng)地分成n個(gè)小區(qū)域.設(shè)其面積分別是.根據(jù)定理可得，有 ，在對(duì)應(yīng)唯一一點(diǎn)，而. 于是， (4) 因?yàn)楹瘮?shù)組（2）在有界閉區(qū)域上存在反函數(shù)組，并且此函數(shù)組在一致連續(xù)，所以當(dāng)時(shí)，也有.對(duì)（4）取極限，有 . 例4 計(jì)算兩條拋物線(xiàn)與和兩條直線(xiàn)與所圍成區(qū)域的面積，如圖（4）所示. 解 已知區(qū)域R的面積. 設(shè)這個(gè)函數(shù)將平面上的區(qū)域R變換為平面上的區(qū)域，是由直線(xiàn)和所圍成的矩形域. 由定理3可知, 本題是典型的運(yùn)用換元法解決二重積分求面積的問(wèn)題。 2.3 極坐標(biāo)下的換元法 例5

7、計(jì)算二重積分，其中如圖（5）所示. 解 由于區(qū)域由圓的一部分組成，所以可以用極坐標(biāo)變換來(lái)求解. 設(shè)，則在極坐標(biāo)下，被積函數(shù)為，積分區(qū)域?yàn)樾蛥^(qū)域.則有于是有 此題是應(yīng)用極坐標(biāo)換元法求解的. 2.4 應(yīng)用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求二重積分 定理4 如果積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，是的位于軸右側(cè)的部分，則有 如果積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，是的位于軸上側(cè)的部分，則有 證明 由于關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)y軸將區(qū)域分為和，則由二重積分對(duì)區(qū)域的可加性，得 （5） 對(duì)積分作換元，即令，則面的區(qū)域?qū)?yīng)面上的區(qū)域，如圖（6）所示

8、 又因?yàn)槭顷P(guān)于的偶函數(shù)，于是可得 ， 將上式帶入（5）式得 用完全類(lèi)似的方法可證明定理的第二部分. 定理5 如果積分區(qū)域關(guān)于軸、軸都對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)關(guān)于、都是偶函數(shù)，是中第一象限的部分，則 證明 由于關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)為的位于軸右側(cè)部分，又因?yàn)槭顷P(guān)于的偶函數(shù)，由定理4得 （6） 由條件知又關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，若是的位于軸上側(cè)的部分，且因被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，由定理4的第二部分得： （7） 由上面（6）（7）式可得 . 定理6 如果積分區(qū)域關(guān)于軸（或軸）對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)是關(guān)于 (或)的奇函

9、數(shù)，則 證明 由定理4的證明過(guò)程得 . 將上式代入（5）式得 . 例6 求圓錐截圓柱面所得有界部分立體的體積. 解 立體在平面上的投影為根據(jù)積分區(qū)域是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)并且被積函數(shù)是的偶函數(shù)，那么所得立體體積為 ，令， 則變?yōu)?，所以? . 例7 計(jì)算二重積分，其中是平面以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，是在第一象限的部分如圖（7）所示. 解 如圖（7）所示，作輔助線(xiàn)OB，則 . 因區(qū)域BOC關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且為關(guān)于的奇函數(shù)，故 又因?yàn)?而區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，為關(guān)于的奇函數(shù)，故為關(guān)于的偶函數(shù)，故.

10、 因此 2.5 用分部積分法求二重積分 分部積分公式由兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式得到，主要用于被奇函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)乘積時(shí)的積分求法，通常根據(jù)被積函數(shù)類(lèi)型按次序“反對(duì)冪指三” 作為，其他的湊成，實(shí)現(xiàn)積分的轉(zhuǎn)移。 當(dāng)被積函數(shù)僅一類(lèi)函數(shù)，且被積函數(shù)的原函數(shù)不易找到，一般也用此方法。 定理7 設(shè)是在上的連續(xù)可微函數(shù)，為定義在上的可微函數(shù).如果在區(qū)域上有連續(xù)可微函數(shù)滿(mǎn)足 （8） 則 證明 因?yàn)樵趨^(qū)域上連續(xù)可微，為定義在上的可微函數(shù)，由含參變量累次積分的連續(xù)性、可微性可得，又由定積分的分部積分法、含參變量積分的連續(xù)性和可微性、含參變量累次積分的連續(xù)性和可微

11、性得 而，因此有 即 推論1 設(shè)，與其偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，為定義在上的可微函數(shù)，且，則 證明由定理7知，令即則有： 推論2 設(shè)，與其偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，為定義在上的可微函數(shù)，且，則 例10 計(jì)算二重積分，其中區(qū)域是由與所圍成第一象限的圖形. 解 如果先對(duì)積分，后對(duì)積分， 由分部積分法可得 所以于是. 例11 計(jì)算二重積分是由直線(xiàn)及拋物線(xiàn)圍成的區(qū)域. 解 對(duì)于型區(qū)域得顯然，由上式易求出 .對(duì)于型區(qū)域得若用一般方法，想要求解非常困難，若用分部積分法，則易得結(jié)果.所

12、以用分部積分法可得 3.結(jié)論 以上是對(duì)二重積分的常用計(jì)算方法的總結(jié)，通過(guò)以上總結(jié)使我們對(duì)二重積分的計(jì)算有了更深入的了解.在以后的計(jì)算過(guò)程中，我們可以通過(guò)函數(shù)的不同特點(diǎn)來(lái)選擇不同的計(jì)算方法，以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.更多的計(jì)算方法與技巧有待于我們今后做進(jìn)一步的研究與探索. 【參考文獻(xiàn)】 [1]劉玉漣.數(shù)學(xué)分析講義[M].高等教育出版社.2010年.第五版 [2]李玲.對(duì)稱(chēng)性在二重積分中的應(yīng)用[J].黃山學(xué)院學(xué)報(bào).2006年.第8卷.第3期 [3]熊明.用元素法把二重積分直接化為單積分[J].高等數(shù)學(xué)研究.2010年.第13卷.第4期

13、 [4]韓紅偉.分部積分法在二重積分中的應(yīng)用[J].時(shí)代教育.2008年.第1期 [5]孫幸榮.二重積分的分部積分法[J].綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào).2009年.第28卷.第11期 Several methods for calculating the double integral School of mathematics and statistics, Chifeng University, Chifeng 024000 Abstract: Calculation of double integral is an important content of mathematical

14、analysis, the calculation method of diversity, flexibility, this paper summarizes the general methods of calculating the double integral and special calculation method. Among them, the general calculation methods including double integral for the iterated integral and substitution method, symmetry, parity and double integral and integral method special calculation methods including application functions. Key words: The double integral integral symmetry of subsection integral method - 12 -