矩陣的廣義逆及其應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文

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1、 矩陣的廣義逆及其應(yīng)用 目 錄 摘要 1 Abstract…………………………………………………………………………………………… 1 1引言………………………………………………………………………………………………2 2矩陣的廣義逆定義及其推導(dǎo) 2 2.1定義 3 2.2方程的理論推導(dǎo) 4 3矩陣廣義逆的定理 5 4 廣義逆的應(yīng)用 10 4.1 10 4.2 11 4.3廣義逆的計(jì)算 13 結(jié)論 16 參考文獻(xiàn) 17 致謝 18 矩陣的廣義逆及其應(yīng)用 摘要：矩陣的廣義逆，即Moore-Pe

2、nrose逆在眾多理論與應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域，例如微分方程、數(shù)值代數(shù)、線性統(tǒng)計(jì)推斷、最優(yōu)化、電網(wǎng)絡(luò)分析、系統(tǒng)理論、測(cè)量學(xué)等，都扮演著不可或缺的重要角色。 本文首先介紹了廣義逆的定義以及廣義逆的性質(zhì)，主要內(nèi)容是矩陣廣義逆的應(yīng)用，包括廣義逆在分塊矩陣?yán)碚撝械母鞣N應(yīng)用，廣義逆的Cramer法則和廣義逆的計(jì)算，并對(duì)部分理論給出簡(jiǎn)單的解釋，同時(shí)加以舉例說(shuō)明。 關(guān)鍵詞：分塊矩陣；廣義逆；Moore—Penrose逆；Cramer法則 The Generalized Inverse Matrix and Its Application Abstract: The generalized invers

3、e is the inverse of Moore-Penrose in many theories and the fields of applied sciences. Differential equation, numerical algebra, linear statistical inference, optimization, the analysis of electrical network, system theory and surveying, etc play an indispensible role. The thesis introduces the def

4、inition and the property of the generalized inverse for the first place, and the primary content is the application of generalized inverse matrix, including its all kinds of applications in the block matrix theory, its Cramer rule and its calculation. Besides brief explanations are given to some the

5、ories with illustrations. Keywords: block matrix; generalized inverse; inverse of Moore-Penroce; Cramer rule. 1引言 矩陣的廣義逆概念是由美國(guó)學(xué)者E.H.Moore首先提出的，但在此后的30多年里，矩陣的廣義逆很少被人們所注意，直到1955年英國(guó)學(xué)者R.Penrose利用四個(gè)矩陣方程給出了廣義逆矩陣的簡(jiǎn)潔實(shí)用的新定義之后，廣義逆矩陣的理論與應(yīng)用才進(jìn)入了迅速發(fā)展的時(shí)期。半個(gè)世紀(jì)以來(lái)，在眾多理論與應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域都扮演著不可或缺的重要角色。 陳永林，

6、張?jiān)菩ⅲ瑮蠲?，劉先?徐美進(jìn)等在文獻(xiàn)[1],[2], [12] , [14]中給出了矩陣廣義逆的定義，還對(duì)部分定義進(jìn)行了舉例證明。羅自炎，修乃華，楊明等又在文獻(xiàn)[8],[14]中給出了矩陣廣義逆的各種定理；而陳明剛，燕列雅，李桃生，姜興武，王秀玉，吳世，杜紅霞，劉桂香等又分別在文獻(xiàn)[4],[6],[9],[13]，[16]中對(duì)矩陣廣義逆進(jìn)行了推廣，介紹了分塊矩陣的廣義逆以及循環(huán)矩陣的廣義逆。張靜，徐美進(jìn)，徐長(zhǎng)青，杜先能,蔡秀珊, 崔雪芳等又在文獻(xiàn)[3],[12],[15]，[17],[18]中給出了矩陣廣義逆的計(jì)算方法，并加以舉例說(shuō)明。同時(shí)還提出了廣義逆的Cramer法則及其應(yīng)用。潘芳芳，梁少

7、輝，趙彬等又在文獻(xiàn)[5],[11]中介紹了Quantale矩陣的廣義逆及其正定性。魯立剛，何永濟(jì)，王自風(fēng)，趙梁紅等則在文獻(xiàn)[7],[10]介紹了Fuzzy矩陣廣義逆的性質(zhì)和應(yīng)用。 本文在上述工作的基礎(chǔ)上，總結(jié)了廣義逆的定義以及廣義逆的性質(zhì)，給出矩陣廣義逆在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，包括廣義逆在分塊矩陣?yán)碚撝械母鞣N應(yīng)用，廣義逆的Cramer法則和廣義逆的計(jì)算，并對(duì)部分理論給出簡(jiǎn)單的解釋，對(duì)一些重要的結(jié)論給出典型例題加以說(shuō)明。 2.矩陣廣義逆的定義及其推導(dǎo) 2.1定義 定義1.對(duì)于任意復(fù)數(shù)矩陣，如果存在，滿足Moore—Penrose方程 （1） （2） （3） （4） 則稱為的一個(gè)Moo

8、re—Penroce廣義逆，或簡(jiǎn)稱加號(hào)逆，記作。如果某個(gè)只滿足其中某幾條，則稱它為的某幾條廣義逆。如若有某個(gè)滿足（1）式，則稱為的{1}廣義逆，或簡(jiǎn)稱減號(hào)逆，記作。如果Y滿足（1）和（2）式，則稱為的廣義逆，記作。 例1.設(shè)當(dāng)時(shí)，可逆,且;當(dāng)時(shí)，不可逆,且不難驗(yàn)證。 注意到,這說(shuō)明的元素并非是關(guān)于的元素的連續(xù)函數(shù)。一般地，把的元素的變化引起其秩的變化時(shí)，這種非連續(xù)性將會(huì)發(fā)生。 例2.設(shè)矩陣為矩陣。若，定義；當(dāng)時(shí)，（）。 定義2.設(shè)為行列矩陣，若其中，的級(jí)數(shù)相同，則。 （1-1） 其中為行列式中元素的代數(shù)余子式，則稱為的廣義伴隨矩陣。 定義3.設(shè)為行列矩陣，若,則稱

9、為一廣義非奇異矩陣；若，則稱為一廣義奇異矩陣。 2.2方程的理論推導(dǎo) 命題1. 。 證明：設(shè),則 因此滿足矩陣方陣；反之，設(shè)為矩陣方程的一個(gè)解， 那么 于是 ; 所以 {1,3}，從而{1，3}={為=的解}。證畢。 類似地，可得 命題2. 。 由命題1和命題2立即可得 命題3.。 命題4. 如果,分別為矩陣方程的一個(gè)解，那么， 證明：根據(jù)命題1和命題2可得 ; ; ; 由的唯一性可知，,又 所以，證畢。 3.矩陣廣義逆的定理 定理1.的廣義逆具有下列性質(zhì)： ； ； ； ； ； ； ；

10、 例3.設(shè)矩陣,不難檢驗(yàn)，,因此有,而,,故 。 例4.設(shè)矩陣滿足為矩陣，且，則直接驗(yàn)證可得 因?yàn)? ， 從而有 證畢。 定理2. 設(shè)l ，則 （1） （2） 證明：（1）先證第一個(gè)等價(jià)性，必要性是顯然的。 下證充分性。若且，則，且 所以，將等式右消，可得,故。 注意到等價(jià)于，用第一個(gè)等價(jià)性，可得 此即第2個(gè)等價(jià)性。 （2） 若,則反之，若,則可直接驗(yàn)明 定理3 .下列命題是等價(jià)的： ①（1）,(2) ,(3) ； ② (1) ,(2) ,(3) ； ③ (1) ，(2) , (3) . 定理4.如果矩陣的行（列）

11、式,那么是的廣義逆。 證明:設(shè)， 因?yàn)? 所有,故是的廣義逆。 證畢。 下面給出求矩陣廣義逆的初等變換法： 本文只對(duì)的情況進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，利用列式相應(yīng)的性質(zhì)可得相應(yīng)的結(jié)論，用 表示矩陣的位于1，2，，行；，，，列的元素構(gòu)成的的階子式 定理5.設(shè)矩陣, ,如果的行列式不為零，則 是的廣義逆，其中是階零矩陣, 這里是列交換初等矩陣。 證明: 因?yàn)? 其中是一個(gè)矩陣，所以 從而 是的廣義逆。證畢。 一般地，如果矩陣是滿秩的，且的階子式 的行列式不等于零，則當(dāng)時(shí)， 是的一個(gè)廣義逆，其中P滿足 當(dāng)時(shí)，設(shè)，則 是 的廣義逆

12、。 當(dāng)時(shí)，兩種方法求得矩陣的廣義逆是相同的，都是矩陣的逆。如果，則兩種方法求得矩陣的廣義逆也有可能不同，并且由定理1、定理2的條件可知，定理2的應(yīng)用范圍更廣。因?yàn)橛煽芍菨M秩的，但反之不成立。 例5.設(shè)，因?yàn)?，所以用伴隨矩陣法求得的廣義逆 又因?yàn)榈亩A子式 , , 所以，可用初等變換法求得的廣義逆 ①， ,； ②， ； ③，. 例如,若 ，則是滿秩的。故該矩陣有廣義逆，可用初等矩陣法求得，但由于，故不能用廣義伴隨矩陣法求的廣義逆。 定理6.當(dāng)且僅當(dāng)下面的兩個(gè)等式成立 , 例6.考慮三角矩陣，顯然其特征值為，由定義式直接解方程可得 的特征值顯然為0，，但。進(jìn)一

13、步，可檢驗(yàn)的對(duì)應(yīng)特征值為0,2的特征向量分別為， 而的對(duì)應(yīng)特征值0, 的特征向量分別為， 顯然的特征向量均非的特征向量，但的特征向量一定是的特征向量。 定理7.階方陣為一個(gè)EP-矩陣當(dāng)且僅當(dāng) 例7.仍考慮矩陣，由上例可得，,說(shuō)明矩陣非EP-矩陣。 定理8.階方陣為一個(gè)EP-矩陣當(dāng)且僅當(dāng) 這里均為矩陣。 4.廣義逆的應(yīng)用 4.1 ①兩分塊矩陣的MP逆 （?。?964年，R.E.Cline獲得了分塊矩陣的MP逆的顯式 （4.1） 其中 , 。 （ⅱ）1971年，L.Mihalyffy得到了的較簡(jiǎn)公式

14、 （4.2） 其中, ②四分塊矩陣的MP逆 1965年，R.E.Cline利用他自己的公式（4.1）給出了矩陣之和的MP逆的兩個(gè)公式： （4.3） 若,則有 （4.4） （ⅱ）1975年，Ching-hsing Hung與T.L.Markham寫之后， 利用公式（4.4），導(dǎo)出了的一個(gè)很復(fù)雜的表達(dá)式 (4.5) 其中,,, ,, , 。 如果利用L.Mihalyffy的較簡(jiǎn)公式（4.2），則相關(guān)結(jié)果可稍稍簡(jiǎn)化。

15、 （1）,其中 （2）若,則其中 , （3）, 其中均如公式（4.5）中所定義的，而與定義為 注：對(duì)于一般的四分塊矩陣，其MP逆的表達(dá)式總是非常復(fù)雜的；只有在其子塊具有若干特殊的性質(zhì)與關(guān)系時(shí)，其MP逆的顯式才可能簡(jiǎn)單些。 4.2 定理1.設(shè),與分別是與的子空間，，另設(shè)， ,這里與均列滿秩，記,，則有如下表示： （1a）, (1b) ; （2a）, (2b) 定理2.設(shè)存在，并設(shè), ,,均列滿秩，則有下列表示： （1a） （2a） 定理3.設(shè)，存在，并設(shè), ,此中, , 均列滿秩，置，則可以表示為: (1a) ,其中為m維

16、標(biāo)準(zhǔn)單位向量， （1b），其中為n維標(biāo)準(zhǔn)單位向量。 （2a），其中， 為的第j列， （2b）,其中, , 為的第i行。 （3a），其中與同， （3b），其中與同。 （4a）,其中表示的第列， （4b），其中表示的第行。 定理4.（I）設(shè)，則： （1）MP逆 （2）加權(quán)MP逆. （3）T-約束MP逆,其中 （4）加權(quán)Drazin逆，其中 , , (5)Elden逆 其中 ,,,,,. (II)設(shè)，則： (6)Drazin逆,其中. （7）群逆,其中. （8）逆,這里與滿足 （9）廣義逆，其中為.陣， (10)為雙側(cè)-約束逆（雙側(cè)

17、約束逆）,其中為陣 , 注：凡屬于廣義逆所獲得的結(jié)論與公式，自然均適用于上述常用廣義逆。但是，對(duì)特定的廣義逆而言，因?yàn)橛衅涮厥獾男再|(zhì)，所有還可能有更簡(jiǎn)單的行列式公式。 4.3矩陣廣義逆的計(jì)算 當(dāng)目前為止，我們還沒(méi)有找到像計(jì)算矩陣的一般逆的行之有效的方法來(lái)計(jì)算矩陣的廣義逆,但在矩陣維數(shù)較小的前提下利用廣義逆的定義式 來(lái)求廣義逆不失為上策。下面就給出利用這一方法計(jì)算廣義逆的基本步驟： 首先，設(shè)矩陣: ， ,則存在矩陣 : , : , , 使得 對(duì)矩陣的上述分解稱為的滿秩分解。由于矩陣,分別為滿列、滿行秩，由 , 直接驗(yàn)證得 其中 。 特別，當(dāng)矩陣本身為

18、行向量（或列向量）時(shí)，，上式表現(xiàn)為 . 下面來(lái)求矩陣的滿秩分解。 我們知道，滿秩分解可以通過(guò)矩陣的初等行變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。為了求得矩陣，我們通過(guò)初等行變換化為階梯形：，其中滿足以下條件： (ⅰ)對(duì)于的每一行,存在，使得，且; （ⅱ）對(duì)于的第列,存在唯一的非零元，即, 。 例8.考慮矩陣，不難發(fā)現(xiàn)，,通過(guò)適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q，例如（其中，表示將的第行乘上a加到第行上） 可將矩陣化為 于是由上述步驟，取, 。為了求得,的廣義逆，我們可以對(duì)，進(jìn)行初等行變換。 另一計(jì)算的基本方法是利用矩陣的奇異值分解： 其中矩陣均為酉矩陣?？傻? 當(dāng)時(shí)，，從而； 當(dāng)時(shí)， 從而

19、例9.考慮矩陣 的奇異值分解為 因此，。從而 將它代入，解得 當(dāng)然，由于本題中，故用方法1來(lái)計(jì)算更為方便。 我們將要介紹的第三種方法涉及到矩陣分塊。記 則 (4.6) 其中 ， （4.7） (4.8) 若矩陣已經(jīng)給定，則我們可以利用（4.6）、（4.7）和（4.8），通過(guò)依次計(jì)算可得的廣義逆。 結(jié)論 本文的研究是建立在線性代數(shù)的基礎(chǔ)上的，在第二章我們首先介紹了廣義逆矩陣的定義，對(duì)廣義逆有了一個(gè)初

20、步的認(rèn)識(shí)；第三章介紹了廣義逆矩陣的一些重要性質(zhì)，讓我們對(duì)廣義逆矩陣有了更深層的認(rèn)識(shí)；第四章對(duì)廣義逆的應(yīng)用進(jìn)行了擴(kuò)展介紹，給出矩陣廣義逆矩陣的計(jì)算方法。本文還針對(duì)部分性質(zhì)加入一些例證，對(duì)廣義逆的定義，定理以及應(yīng)用給出了更直觀的說(shuō)明。 盡管如此，本文對(duì)廣義逆矩陣的介紹還是相當(dāng)有限的，廣義逆矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用是非常廣泛的?？傮w來(lái)說(shuō)，關(guān)鍵的是要掌握其中的思想方法，以便能夠做到舉一反三，更進(jìn)一步地去學(xué)習(xí)研究廣義逆矩陣的性質(zhì)。 參考文獻(xiàn) [1]陳永林.廣義逆矩陣的理論與方法[M].南京：南京師范大學(xué)，2005（12）：20-226. [2]張?jiān)菩?廣

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