高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修21

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1、 模塊復(fù)習(xí)課 [核心知識(shí)回顧] 一、常用邏輯用語 1.命題及其關(guān)系 (1)原命題:若p,則q.則 逆命題:若q,則p. 否命題:若﹁p,則﹁q. 逆否命題:若﹁q,則﹁p. (2)兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性. 2.充分條件與必要條件 (1)若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件. (2)若p?q,則p是q的充要條件. (3)若p?q,qp,則p是q的充分不必要條件. (4)若pq,q?p,則p是q的必要不充分條件. (5)若pq,qp,則p是q的既不充分也不必要條件. 3.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題p∧q的真假:“全真則真”,“一假

2、則假”. (2)命題p∨q的真假:“一真則真”,“全假則假”. (3)命題﹁p的真假:p與﹁p的真假性相反. 4.全稱命題與特稱命題的否定 (1)全稱命題的否定 p:?x∈M,p(x). ﹁p:?x0∈M,﹁p(x0). (2)特稱命題的否定 p:?x0∈M,p(x0). ﹁p:?x∈M,﹁p(x). 二、圓錐曲線與方程 1.橢圓 (1)橢圓的定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. (2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在x軸上:+=1(a>b>0), 焦點(diǎn)在y軸上:+=1(a>b>0). (3)橢圓的幾何性質(zhì) ①范圍

3、:對(duì)于橢圓+=1(a>b>0),-a≤x≤a,-b≤y≤b. ②對(duì)稱性:橢圓+=1或+=1(a>b>0), 關(guān)于x軸,y軸及原點(diǎn)對(duì)稱. ③頂點(diǎn):橢圓+=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b). ④離心率:e=,離心率的范圍是e∈(0,1). ⑤a,b,c的關(guān)系:a2=b2+c2. 2.雙曲線 (1)雙曲線的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡,叫做雙曲線. (2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在x軸上:-=1(a>0,b>0), 焦點(diǎn)在y軸上:-=1(a>0,b>0); (3)雙曲線的幾

4、何性質(zhì) ①范圍:對(duì)于雙曲線-=1(a>0,b>0),y≥a或y≤-a,x∈R, ②對(duì)稱性:雙曲線-=1或-=1(a>0,b>0)關(guān)于x軸,y軸及原點(diǎn)對(duì)稱. ③頂點(diǎn):雙曲線-=1(a>0,b>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(-a,0),A2(a,0),雙曲線-=1(a>0,b>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1′(0,-a),A2′(0,a), ④漸近線:雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x,雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x. ⑤離心率:e=,雙曲線離心率的取值范圍是e∈(1,+∞), ⑥a,b,c的關(guān)系:c2=a2+b2. 3.拋物線 (1)拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)

5、定點(diǎn)F和一條定直線l(不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線. (2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在x軸上:y2=2px(p>0), 焦點(diǎn)在y軸上:x2=2py(p>0). (3)拋物線的幾何性質(zhì) ①范圍:對(duì)于拋物線x2=2py(p>0), x∈R,y∈[0,+∞) ②對(duì)稱性:拋物線y2=2px(p>0),關(guān)于x軸對(duì)稱, 拋物線x2=2py(p>0),關(guān)于y軸對(duì)稱. ③頂點(diǎn):拋物線y2=2px和x2=2py(p>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0). ④離心率:拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比叫做拋物線的離心率,由拋物線的定義知e=1. 三、空間向量與立體幾何 1.空間

6、向量及其運(yùn)算 (1)共線向量定理:a∥b?a=λb(b≠0) (2)P,A,B三點(diǎn)共線?=x+y(x+y=1) (3)共面向量定理:p與a,b共面?p=xa+yb (4)P,A,B,C四點(diǎn)共面?=x+y+z(x+y+z=1), (5)空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc,把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底. (6)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則 ①ab=(a1b1,a2b2,a3b3), ②λa=(λa1,λa2,λa3), ③ab=a

7、1b1+a2b2+a3b3, ④a∥b?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3, ⑤a⊥b?ab=0?a1b1+a2b2+a3b3=0, ⑥|a|==, ⑦cos〈a,b〉==, ⑧若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),||=. 2.立體幾何中的向量方法 (1)異面直線所成的角 兩條異面直線所成的角為θ,兩條異面直線的方向向量分別為a,b,則cos θ=|cos〈a,b〉|=, (2)直線與平面所成的角 直線與平面所成的角為θ,直線的方向向量為a,平面的法向量為n,則sin θ=|cos〈a,n〉|= (

8、3)二面角 二面角為θ,n1,n2為兩平面的法向量,則|cos θ|=|cos〈n1,n2〉|= [易錯(cuò)易混辨析] 1.一個(gè)命題的逆命題和否命題有相同的真假性.(√) [提示] 一個(gè)命題的逆命題和否命題互為逆否命題,因此具有相同的真假性. 2.使a>b成立的充分不必要條件是a>b-1.() [提示] a>b-1a>b. 3.“p∧q”的否定為“(﹁p)∨(﹁q)”,“p∨q”的否定為“(﹁p)∧(﹁q)”.(√) [提示] “且”的否定為“或”,“或”的否定為“且”. 4.命題p:?x∈(0,+∞),則x2+2x+1>0,則﹁p為:?x0∈(-∞,0],使x+2x0+1

9、≤0.() [提示] ﹁p應(yīng)為?x0∈(0,+∞),使x+2x0+1≤0. 5.命題“若f(x)是奇函數(shù),則f(-x)是奇函數(shù)”的否命題是“若f(x)是偶函數(shù),則f(-x)是偶函數(shù)”.() [提示] 命題“若f(x)是奇函數(shù),則f(-x)是奇函數(shù)”的否命題是“若f(x)不是奇函數(shù),則f(-x)不是奇函數(shù)”. 6.命題“菱形的兩條對(duì)角線相等”是全稱命題且是真命題.() [提示] 此命題是全稱命題,但是是假命題. 7.“x>6”是“x>1”的充分但不必要條件.(√) [提示] x>6?x>1,但x>1x>6. 8.若命題p∧q為假,且﹁p為假,則q假.(√) [提示] 由p為真,

10、p∧q為假知,q為假. 9.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為a+c,最小距離為a-C.(√) [提示] 橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離有最大值或最小值. 10.已知F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),平面內(nèi)到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓.() [提示] |F1F2|=8,故點(diǎn)的軌跡是線段F1F2. 11.橢圓2x2+3y2=12的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,).() [提示] 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1,c2=a2-b2=2,故橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0). 12.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(m>0),焦距為6,則實(shí)數(shù)m的值為4. () [提示] 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),由25-m2=9得m=4,

11、當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),m2-25=9得m=. 13.已知F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=10,則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支.() [提示] 點(diǎn)P的軌跡是一條射線. 14.“0≤k<3”是方程+=1表示雙曲線的充要條件.() [提示] 當(dāng)0≤k<3時(shí),方程+=1表示雙曲線,若方程+=1表示雙曲線,則有(k+1)(k-5)<0,即-1

12、7.到定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.() [提示] 當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)點(diǎn)的軌跡是一條直線. 18.拋物線y=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.() [提示] 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y(tǒng),故焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 19.拋物線y2=2px(p>0)中過焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為2p.(√) [提示] 拋物線中通徑是最短的弦長(zhǎng). 20.拋物線y=ax2(a≠0)的準(zhǔn)線方程為y=2,則實(shí)數(shù)a的值是.() [提示] 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y(tǒng),則-=2,解得a=-. 21.若空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C滿足=+-,則點(diǎn)P與A,B,C共面.(√) [提示] +-1=1,故四點(diǎn)共面. 22.a(chǎn),b為空間向

13、量,則cos〈a,b〉=cos〈b,a〉.(√) [提示] 〈a,b〉=〈b,a〉,則cos〈a,b〉=cos〈b,a〉. 23.兩個(gè)平面垂直,則這兩個(gè)平面的法向量也垂直.(√) [提示] 由平面法向量的定義可知. 24.直線與平面垂直,則直線的方向向量與平面的法向量垂直.() [提示] 直線的方向向量與平面的法向量平行. 25.若向量e1,e2,e3是三個(gè)不共面的向量,且滿足k1e1+k2e2+k3e3=0,則k1=k2=k3=0.(√) [提示] 假設(shè)k1≠0,則e1=-e2-e3,則e1,e2,e3共面. 26.若直線的方向向量與平面的法向量所成的角為150,則直線與平面

14、所成的角為30.() [提示] 直線與平面所成的角為60. 27.若直線與平面所成的角為0,則直線在平面內(nèi).() [提示] 直線與平面也可能平行. 28.兩個(gè)平面的法向量所成的角為120,則兩個(gè)平面所成的二面角也是120.() [提示] 二面角的度數(shù)是120或60. 29.兩條異面直線所成的角為30,則兩條直線的方向向量所成的角可能是150.(√) [提示] 根據(jù)向量所成角的定義知正確. 30.若二面角是30,則在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)與二面角的棱垂直的直線的方向向量所成的角也是30.() [提示] 在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量所成的角是30或150. [高

15、考真題感悟] 1.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為(  ) A.-=1     B.-=1 C.-=1 D.-=1 B [由y=x可得=.① 由橢圓+=1的焦點(diǎn)為(3,0),(-3,0), 可得a2+b2=9.② 由①②可得a2=4,b2=5. 所以C的方程為-=1. 故選B.] 2.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342195】 A. B. C. D. A

16、 [由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0),半徑為a. 又直線bx-ay+2ab=0與圓相切, ∴圓心到直線的距離d==a,解得a=b, ∴=, ∴e=====. 故選A.] 3.若雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為(  ) A.2 B. C. D. A [設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=x, 圓的圓心為(2,0),半徑為2, 由弦長(zhǎng)為2得出圓心到漸近線的距離為=. 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得=,解得b2=3a2. 所以C的離心率e====2. 故選A.] 4.已知直三棱柱ABCA1

17、B1C1中,∠ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(  ) A. B. C. D. C [方法1:將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1,如圖①所示,連接AD1,B1D1,BD. 圖① 由題意知∠ABC=120,AB=2,BC=CC1=1, 所以AD1=BC1=,AB1=,∠DAB=60. 在△ABD中,由余弦定理知BD2=22+12-221cos 60=3,所以BD=,所以B1D1=. 又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角θ, 所以cos θ===. 故選C. 方法2:

18、以B1為坐標(biāo)原點(diǎn),B1C1所在的直線為x軸,垂直于B1C1的直線為y軸,BB1所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖②所示. ② 由已知條件知B1(0,0,0),B(0,0,1),C1(1,0,0),A(-1,,1),則=(1,0,-1),=(1,-,-1). 所以cos〈,〉===. 所以異面直線AB1與BC1所成的角的余弦值為. 故選C.] 5.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為(  ) A.16 B.14 C.12 D.10 A [因?yàn)镕為y

19、2=4x的焦點(diǎn),所以F(1,0). 由題意直線l1,l2的斜率均存在,且不為0,設(shè)l1的斜率為k,則l2的斜率為-,故直線l1,l2的方程分別為y=k(x-1),y=-(x-1). 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=1, 所以|AB|=|x1-x2| = ==. 同理可得|DE|=4(1+k2). 所以|AB|+|DE|=+4(1+k2) =4 =8+4≥8+42=16, 當(dāng)且僅當(dāng)k2=,即k=1時(shí),取得等號(hào). 故選A.] 6.如圖1,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面A

20、BCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90,E是PD的中點(diǎn). 圖1 (1)證明:直線CE∥平面PAB; (2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45,求二面角MABD的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342196】 [解] (1)證明:取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF. 因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EF∥AD,EF=AD. 由∠BAD=∠ABC=90得BC∥AD, 又BC=AD,所以EFBC, 四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF. 又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE∥平面PAB. (2)由已知得BA⊥AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,|

21、|為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0). 設(shè)M(x,y,z)(0

22、 ② 由①②解得(舍去),或 所以M,從而=. 設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則 即 所以可取m=(0,-,2). 于是cos〈m,n〉==. 因此二面角MABD的余弦值為. 7.已知橢圓C:+=1(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. (1)求C的方程. (2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點(diǎn). [解] (1)由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3,P4兩點(diǎn). 又由+>+知,橢圓C不經(jīng)過點(diǎn)P1, 所以

23、點(diǎn)P2在橢圓C上. 因此解得故橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明:設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2. 如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐標(biāo)分別為,,則k1+k2=-=-1,得t=2,不符合題設(shè). 從而可設(shè)l:y=kx+m(m≠1). 將y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由題設(shè)可知Δ=16(4k2-m2+1)>0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=. 而k1+k2=+ =+ =. 由題設(shè)k1+k2=-1, 故(2k+1)x1x2+(m-1

24、)(x1+x2)=0. 即(2k+1)+(m-1)=0,解得k=-. 當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時(shí),Δ>0, 于是l:y=-x+m, 即y+1=-(x-2), 所以l過定點(diǎn)(2,-1). 8.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足=. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且=1.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342197】 [解] (1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0), 則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由=得x0=x,y0=y(tǒng). 因?yàn)镸(x0,y0)在C

25、上,所以+=1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2. (2)由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則=(-3,t),=(-1-m,-n), =3+3m-tn, =(m,n),=(-3-m,t-n). 由=1得-3m-m2+tn-n2=1, 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以=0,即⊥. 又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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