高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 第1課時(shí) 兩角和與差的正弦、余弦公式學(xué)案 新人教A版必修4

第1課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式.2.會(huì)用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、計(jì)算等.3.熟悉兩角和與差的正弦、余弦公式的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1兩角和與差的余弦公式名稱(chēng)簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角差的余弦公式C()cos()cos_cos_sin_sin_，R兩角和的余弦公式C()cos()cos_cos_sin_sin_，R2兩角和與差的正弦公式名稱(chēng)簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的正弦S()sin()sin_cos_cos_sin_，R兩角差的正弦S()sin()sin_cos_cos_sin_，R3重要結(jié)論輔助角公式y(tǒng)asin xbcos xsin(x)(a，b不同時(shí)為0)，其中cos ，sin .基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立()(3)對(duì)于任意，R，sin()sin sin 都不成立()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()解析(1)正確根據(jù)公式的推導(dǎo)過(guò)程可得(2)正確當(dāng)45，0時(shí)，sin()sin sin .(3)錯(cuò)誤當(dāng)30，30時(shí)，sin()sin sin 成立(4)正確因?yàn)閟in 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正確答案(1)(2)(3)(4)2cos 57cos 3sin 57sin 3的值為()A0BCDcos 54B原式cos(573)cos 60.3若cos ，是第三象限的角，則sin_.cos ，是第三象限的角，sin ，sinsin cos . 合 作 探 究攻 重 難給角求值問(wèn)題(1)cos 70sin 50cos 200sin 40的值為()A BC D(2)若是第二象限角且sin ，則cos(60)_.(3)求值：(tan 10). (1)D(2)(1)cos 200cos(18020)cos 20sin 70，sin 40cos 50，原式cos 70sin 50(sin 70)cos 50sin(5070)sin 120.(2)是第二象限角且sin ，cos ，cos(60)cos sin .(3)原式(tan 10tan 60)2.規(guī)律方法解決給角求值問(wèn)題的策略(1)對(duì)于非特殊角的三角函數(shù)式求值問(wèn)題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形.(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值，化分子、分母形式進(jìn)行約分，解題時(shí)要逆用或變用公式.提醒：在逆用兩角的和與差的正弦和余弦公式時(shí)，首先要注意結(jié)構(gòu)是否符合公式特點(diǎn)，其次注意角是否滿(mǎn)足要求.跟蹤訓(xùn)練1化簡(jiǎn)求值：(1)；(2)sin(75)cos(45)cos(15)解(1)原式sin 30.(2)設(shè)15，則原式sin(60)cos(30)cos cos 0.給值求值、求角問(wèn)題(1)已知P，Q是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的單位圓上的兩點(diǎn)，且分別位于第一象限和第四象限，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，則cosPOQ_.(2)已知cos ，sin()，且，.求：cos(2)的值；的值. 思路探究(1)先由任意角三角函數(shù)的定義求xOP和xOQ的正弦、余弦值，再依據(jù)POQxOPxOQ及兩角和的余弦公式求值(2)先求sin ，cos()，依據(jù)2()求cos(2)依據(jù)()求cos 再求.(1)(1)由題意可得，cosxOP，所以sinxOP.再根據(jù)cosxOQ，可得sinxOQ，所以cosPOQcos(xOPxOQ)cosxOPcosxOQsinxOPsinxOQ.(2)因?yàn)?，所以，又sin()0，所以0，所以sin ，cos()，cos(2)cos()cos cos()sin sin().cos cos()cos cos()sin sin()，又因?yàn)?，所?規(guī)律方法給值求值問(wèn)題的解題策略在解決此類(lèi)題目時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆角、拼角技巧，同時(shí)分析角之間的關(guān)系，利用角的代換化異角為同角，具體做法是：(1)當(dāng)條件中有兩角時(shí)，一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差.(2)當(dāng)已知角有一個(gè)時(shí)，可利用誘導(dǎo)公式把所求角轉(zhuǎn)化為已知角.跟蹤訓(xùn)練2已知銳角，滿(mǎn)足cos ，sin()，求sin 的值解因?yàn)?，是銳角，即0，0，所以，因?yàn)閟in()0，所以cos()，因?yàn)閏os ，所以sin ，所以sin sin()sin cos()cos sin().輔助角公式的應(yīng)用探究問(wèn)題1能否將函數(shù)ysin xcos x(xR)化為yAsin(x)的形式？提示：能ysin xcos xsin.2如何推導(dǎo)asin xbcos xsin(x)公式提示：asin xbcos x，令cos ，sin ，則asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符號(hào)確定，角的值由tan 確定，或由sin 和cos 共同確定)(1)sincos_.(2)已知a(，1)，b(sin x，cos x)，xR，f(x)ab，求函數(shù)f(x)的周期，值域，單調(diào)遞增區(qū)間. 思路探究解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)建公式C()、C()、S()、S()的右側(cè)，逆用公式化成一個(gè)角的一種三角函數(shù)值(1)(1)原式2.法一：(化正弦)原式222sin2sin.法二：(化余弦)原式222cos2cos.(2)f(x)sin xcos x222sin，T2，值域2,2由2kx2k，得遞增區(qū)間，kZ.母題探究：1.若將例3(2)中a(，1)改為a(1，)，其他條件不變?nèi)绾谓獯?？解f(x)sin xcos x22cos，T2，值域?yàn)?,2，由2kx2k，得遞增區(qū)間，kZ.2若將例3(2)中a(，1)改為a(m，m)其中m0，其他條件不變，應(yīng)如何解答？解f(x)msin xmcos xmsin，T2，值域?yàn)閙，m，由2kx2k，得遞增區(qū)間，kZ.規(guī)律方法輔助角公式及其運(yùn)用(1)公式形式：公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()將形如asin bcos (a，b不同時(shí)為零)的三角函數(shù)式收縮為同一個(gè)角的一種三角函數(shù)式.(2)形式選擇：化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形后角的系數(shù)為正，這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì).提醒：在使用輔助角公式時(shí)常因把輔助角求錯(cuò)而致誤. 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1sin 245sin 125sin 155sin 35的值是()ABC DBsin 245sin(15590)cos 155，sin 125sin(9035)cos 35，原式cos 155cos 35sin 155sin 35cos(15535)cos 120.2化簡(jiǎn)cos xsin x等于() A2sin B2cosC2sinD2cosDcos xsin x222cos.3cos cos()sin sin()_.cos cos cos()sin sin()cos()cos .4(2018全國(guó)卷)已知sin cos 1，cos sin 0，則sin()_.解析sin cos 1，cos sin 0，sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0，兩式相加可得sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1，sin().答案5已知，均為銳角，sin ，cos ，求. 解，均為銳角，sin ，cos ，sin ，cos .sin <sin ，<，<<0，sin()sin cos cos sin ，.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375