高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)6 曲線與方程 新人教A版選修21

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1、 課時(shí)分層作業(yè)(六) 曲線與方程 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”是“曲線C的方程是f(x，y)＝0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 B　[“曲線C的方程是f(x，y)＝0”包括“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上”兩個(gè)方面，所以“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”是“曲線C的方程是f(x，y)＝0”的必要不充分條件，故選B.] 2．方程y＝－表示的曲線是(　　

2、) A．一個(gè)圓　　　　 B．一條射線 C．半個(gè)圓 D．一條直線 C　[方程y＝－可化為x2＋y2＝3(y≤0)，故選C.] 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于－，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A．x2－3y2＝4 B．x2＋3y2＝4 C．x2－3y2＝4(x≠1) D．x2＋3y2＝4(x≠1) D　[由點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－1)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得kAPkBP＝＝－(x≠1)，化簡(jiǎn)得x2＋3y2＝4，且x≠1.故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋3y2＝4(

3、x≠1)．] 4．已知點(diǎn)P是直線x－2y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1，2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則點(diǎn)Q的軌跡方程是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342056】 A．x＋2y＋3＝0　 B．x－2y－5＝0 C．x－2y－7＝0 D．x－2y＋7＝0 D　[設(shè)P(x0，y0)，則x0－2y0＋3＝0　(*)．又設(shè)Q(x，y)，由|PM|＝|MQ|，知點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，則，即(**)．將(**)代入(*)，得(－2－x)－2(4－y)＋3＝0，即x－2y＋7＝0.故選D.] 5．設(shè)點(diǎn)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1

4、，則P點(diǎn)的軌跡方程為(　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 D　[如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0)．連接MA，則MA⊥PA，且|MA|＝1， 又∵|PA|＝1， ∴|PM|＝ ＝. 即|PM|2＝2， ∴(x－1)2＋y2＝2.] 二、填空題 6．方程(x－1)2＋＝0表示的是________． 點(diǎn)(1,2)　[由題意知，，即 所以方程(x－1)2＋＝0表示點(diǎn)(1,2)．] 7．設(shè)命題甲：點(diǎn)P的坐標(biāo)適合方程f(x，y)＝0，命題乙：點(diǎn)P在曲線C上，命題丙：點(diǎn)Q坐標(biāo)不適合f(x，y)＝0，命題丁：點(diǎn)

5、Q不在曲線C上，已知甲是乙的必要條件，但不是充分條件，那么丙是丁的________條件． 充分不必要條件　[由甲是乙的必要不充分條件知，曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線的一部分，則丙?丁，但丁D?/丙，因此丙是丁的充分不必要條件．] 8．已知定點(diǎn)F(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在x軸上，且＝0，延長(zhǎng)MP到點(diǎn)N，使得||＝||，則點(diǎn)N的軌跡方程是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342057】 y2＝4x　[由于||＝||，則P為MN的中點(diǎn)．設(shè)N(x，y)，則M(－x,0)，P，由＝0，得＝0，所以(－x)1＋＝0，則y2＝4x，即點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x.] 三、解答題

6、 9．已知A(0,4)，點(diǎn)B是曲線2x2＋1－y＝0上任意一點(diǎn)，且M是線段AB的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程． [解]　設(shè)B(x1，y1)，M(x，y)，由M是線段AB的中點(diǎn)，得，∴. 又點(diǎn)B在曲線2x2＋1－y＝0上， ∴2x＋1－y1＝0，∴2(2x)2＋1－(2y－4)＝0， 即8x2－2y＋5＝0， ∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是8x2－2y＋5＝0. 10．如圖211，圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2|＝4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點(diǎn))，使得|PM|＝|PN|，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． 圖211 [解]　以O(shè)1O2的中

7、點(diǎn)為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 得O1(－2,0)，O2(2,0)． 連結(jié)PO1，O1M，PO2，O2N. 由已知|PM|＝|PN|，得 |PM|2＝2|PN|2， 又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2， 在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2， 即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 設(shè)P(x，y)，則(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 化簡(jiǎn)得(x－6)2＋y2＝33. 因此所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33. [能力提升練] 1．方程x(x2＋y

8、2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的圖形是(　　) A．前后兩者都是一條直線和一個(gè)圓 B．前后兩者都是兩個(gè)點(diǎn) C．前者是一條直線和一個(gè)圓，后者是兩個(gè)點(diǎn) D．前者是兩點(diǎn)，后者是一條直線和一個(gè)圓 C　[x(x2＋y2－1)＝0?x＝0或x2＋y2＝1，表示直線x＝0和圓x2＋y2＝1.x2＋(x2＋y2－1)2＝0??表示點(diǎn)(0,1)，(0，－1)．] 2．設(shè)過點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若＝2，且＝1，則點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342058】 A．x2＋3y2＝1(x>

9、0，y>0) B．x2－3y2＝1(x>0，y>0) C．3x2－y2＝1(x>0，y>0) D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0) A　[設(shè)A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0.點(diǎn)Q(－x，y)，故由＝1，得(－x，y)(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.將a，b代入ax＋by＝1，得所求的軌跡方程為x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．] 3．已知定長(zhǎng)為6的線段，其端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，線段AB的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的軌跡方程為________． x2＋y2＝9　[作出圖象如圖所示，根據(jù)直角三

10、角形的性質(zhì)可知 |OM|＝|AB|＝3. 所以M的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，以3為半徑的圓， 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2＝9.] 4．已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于________． 4π　[設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)， 依題意|PA|＝2|PB|， ∴＝2， 化簡(jiǎn)得(x－2)2＋y2＝4， 方程表示半徑為2的圓， 因此圖形的面積S＝π22＝4π.] 5．過點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1、l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342059】

11、 [解]　法一：如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)， ∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)， ∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x,0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2y)． ∵l1⊥l2，且l1，l2過點(diǎn)P(2,4)， ∴PA⊥PB，即kPAkPB＝－1， 而kPA＝＝(x≠1)， kPB＝＝， ∴＝－1(x≠1)， 整理得x＋2y－5＝0(x≠1)． ∵當(dāng)x＝1時(shí)，A，B的坐標(biāo)分別為(2,0)，(0,4)， ∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)，它滿足方程x＋2y－5＝0. 綜上所述，點(diǎn)M的軌跡方程是x＋2y－5＝0. 法二：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x,0)，(0,2y)，連接PM(如圖)． ∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|. 而|PM|＝， |AB|＝， ∴2＝， 化簡(jiǎn)得x＋2y－5＝0，即為所求的點(diǎn)M的軌跡方程． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375