《高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何專題強(qiáng)化訓(xùn)練 新人教A版選修21》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何專題強(qiáng)化訓(xùn)練 新人教A版選修21(7頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第三章 空間向量與立體幾何
專題強(qiáng)化訓(xùn)練(三)
(建議用時(shí):45分鐘)
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]
一、選擇題
1.如圖38,在空間四邊形ABCD中,連接AC,BD,E,F(xiàn),G,H分別為AB,BC,CD,DA邊上的中點(diǎn),則下列各式中成立的是( )
圖38
A.+++=0
B.+++=0
C.+++=0
D.-++=0
B [+=+=,+=,易證四邊形EFGH為平行四邊形,故+=0,故選B.]
2.已知a=(1,2,3),b=(2,1,2),c=(1,1,2),且向量p∥c,則當(dāng)(p-a)(p-b)取得最小值時(shí),向量p的坐標(biāo)為( )
A. B.
C. D.
2、C [設(shè)p=λc,則p-a=λc-a=(λ-1,λ-2,2λ-3),p-b=λc-b=(λ-2,λ-1,2λ-2),所以(p-a)(p-b)=2(3λ2-8λ+5)=2,所以當(dāng)λ=時(shí),(p-a)(p-b)取得最小值,此時(shí)p=λc=,故選C.]
3.已知平面α,β是兩個(gè)不重合的平面,其法向量分別為n1,n2,給出下列結(jié)論:
①若n1∥n2,則α∥β;
②若n1∥n2,則α⊥β;
③若n1n2=0,則α⊥β;
④若n1n2=0,則α∥β.
其中正確的是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
A [由平面的法向量的定義知,①③正確.]
4.已知平面α的一個(gè)法向量為n=(
3、1,-1,0),則y軸與平面α所成的角的大小為( )
A. B. C. D.
B [y軸的一個(gè)方向向量s=(0,1,0),cos〈n,s〉==-,即y軸與平面α所成角的正弦值是,故其所成的角的大小是.]
5.如圖39,已知E是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC的中點(diǎn),設(shè)α為二面角D1AED的平面角,則cos α=( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342186】
圖39
A. B. C. D.
A [以A為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),令正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,則A(0,0,0),E(2,1,0)
4、,D1(0,2,2),A1(0,0,2),所以=(2,1,0),=(0,2,2),設(shè)平面AED1的法向量為m=(x,y,z),則由,得,令x=1,則y=-2,z=2,故m=(1,-2,2).又=(0,0,2)為平面AED的一個(gè)法向量,α為二面角D1AED的平面角,所以cos α==,故選A.]
二、填空題
6.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,則x+y=________.
1或-3 [由a=(2,4,x)且|a|=6,得6=,x=4,由a⊥b,得4+4y+2x=0,得或,則x+y=1或-3.]
7.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知A(1,-2,0)
5、,B(2,1,),則向量與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為________.
[設(shè)平面xOz的法向量為n=(0,t,0)(t≠0),=(1,3, ),所以cos〈n,〉==,因?yàn)椤磏,〉∈[0,π],所以sin〈n,〉==.]
8.已知空間三點(diǎn)O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直線OA上的一點(diǎn)H滿足BH⊥OA,則點(diǎn)H的坐標(biāo)為________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342187】
[設(shè)H(x,y,z),則=(x,y,z),=(x,y-1,z-1),=(-1,1,0).因?yàn)锽H⊥OA,所以=0,即-x+y-1=0 ①,又點(diǎn)H在直線OA上,所以=λ,即?、?,聯(lián)立①②
6、解得
所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為.]
三、解答題
9.如圖310,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱DD1的中點(diǎn).在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F,使B1F∥平面A1BE?證明你的結(jié)論.
圖310
[解] 在棱C1D1上存在點(diǎn)F,當(dāng)F為C1D1的中點(diǎn)時(shí),B1F∥平面A1BE.證明如下:
以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)正方體的棱長為2,則B(2,0,0),E(0,2,1),A1(0,0,2),B1(2,0,2),∴=(-2,2,1),=(-2,0,2).
設(shè)平面A1BE的法向量為m=(x,y,z),
則m=-2x+2y+z=0,且m=-2x+2z=0,取x
7、=1,則z=1,y=,
∴m=是平面A1BE的一個(gè)法向量.
假設(shè)在棱C1D1上存在一點(diǎn)F,使B1F∥平面A1BE,
設(shè)F(x0,2,2)(0≤x0≤2),則=(x0-2,2,0),
則m=x0-2+2+10=0,解得x0=1,
∴當(dāng)F為C1D1的中點(diǎn)時(shí),B1F∥平面A1BE.
10.如圖311,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點(diǎn).
圖311
(1)求證:AB1⊥平面A1BD;
(2)求二面角AA1DB的余弦值的大小.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342188】
[解] (1)取BC的中點(diǎn)O,連接AO.
∵△ABC為正三角形,∴AO⊥BC.
∵在正三棱
8、柱ABCA1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中點(diǎn)O1,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).
∴=(1,2,-),=(-2,1,0),=(-1,2,).
∵=-2+2+0=0,=-1+4-3=0,
∴⊥,⊥,∴AB1⊥平面A1BD.
(2)設(shè)平面A1AD的法向量為n=(x,y,z),
∵=(-1,1,-),=(0,2,0),
∴,即,
令z=1,得n=(-,0
9、,1)為平面A1AD的一個(gè)法向量.
由(1)知AB1⊥平面A1BD,∴為平面A1BD的一個(gè)法向量.
cos〈n,〉===-,
∴二面角AA1DB的余弦值為.
[能力提升練]
1.在空間四邊形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),點(diǎn)E,F(xiàn)分別為線段BC,AD的中點(diǎn),則的坐標(biāo)為( )
A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)
B [取AC中點(diǎn)M,連接ME,MF(圖略),則==,==, 所以=-=(-2,-3,-3),故選B.]
2.如圖312,正四棱錐SABCD中,O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影,P為側(cè)棱
10、SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC的夾角是( )
圖312
A.30 B.45
C.60 D.75
A [如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,則=(2a,0,0),=,=(a,a,0),設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為n,可取n=(0,1,1),則cos〈,n〉===,所以〈,n〉=60,所以直線BC與平面PAC的夾角為90-60=30.]
3.已知向量e1,e2,e3是三個(gè)不共面的非零向量,且a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=11e
11、1+5e2+λe3,若向量a,b,c共面,則λ=________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342189】
1 [因?yàn)閍,b,c共面,所以存在實(shí)數(shù)m,n,使得c=ma+nb,則11e1+5e2+λe3=(2m-n)e1+(-m+4n)e2+(m-2n)e3,則,解得.]
4.已知平面α經(jīng)過點(diǎn)A(0,0,2),且平面α的一個(gè)法向量為n=(1,-1,-1),則x軸與平面α的交點(diǎn)坐標(biāo)是________.
(-2,0,0) [設(shè)交點(diǎn)為M(x,0,0), 則=(x,0,-2),平面α的一個(gè)法向量n=(1,-1,-1),則n=0,解得x=-2,故x軸與平面α的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,0,0).]
5.如圖31
12、3,在三棱錐ABCD中,側(cè)面ABD,ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=,BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面ABC是等邊三角形.
圖313
(1)求證:AD⊥BC.
(2)在線段AC上是否存在一點(diǎn)E,使直線ED與平面BCD的夾角為30?若存在,確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請說明理由.
[解] (1)作AH⊥平面BCD于點(diǎn)H,連接BH,CH,DH,則四邊形BHCD是正方形,且AH=1.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DB所在直線為x軸,DC所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.
則D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1),
∴=(-1,1,0),=(
13、1,1,1),
∴=0,則AD⊥BC.
(2)存在滿足條件的點(diǎn)E,點(diǎn)E到點(diǎn)C的距離為1.
設(shè)E(x,y,z),則x=z>0,y=1.
又平面BCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),=(x,1,x),若ED與平面BCD的夾角為30,則與n的夾角為60,
∴cos〈,n〉===cos 60=,
則2x=,解得x=或x=-(舍去),即E.
又||=1,故線段AC上存在滿足條件的點(diǎn)E,點(diǎn)E到點(diǎn)C的距離為1.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375