2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線的簡單性質(zhì)（第1課時）拋物線的簡單性質(zhì)學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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第1課時　拋物線的簡單性質(zhì) 學習目標　1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準線等簡單性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題． 知識點一　拋物線的簡單性質(zhì) 標準方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 對稱軸 x軸 y軸 頂點 (0,0) 離心率 e＝1 開口方向 向右 向左 向上 向下 通徑 過焦點垂直于對稱軸的直線與拋物線交于兩點A，B，線段AB叫拋物線的通徑，長度|AB|＝2p 知識點二　焦點弦 設(shè)過拋物線焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y2＝2px(p>0) |AB|＝x1＋x2＋p y2＝－2px(p>0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p>0) |AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p x2＝－2py(p>0) |AB|＝p－(y1＋y2) 1．拋物線有一個頂點，一個焦點，一條對稱軸，一條準線，一條通徑．(　√　) 2．當拋物線的頂點在坐標原點時，其方程是標準方程．(　　) 3．拋物線的離心率均為1，所以拋物線形狀都相同．(　　) 4．焦準距p決定拋物線的張口大小，即決定拋物線的形狀．(　√　) 題型一　拋物線的簡單性質(zhì) 例1　已知拋物線y2＝8x. (1)求出該拋物線的頂點、焦點、準線方程、對稱軸、變量x的范圍； (2)以坐標原點O為頂點，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點F是△OAB的重心，求△OAB的周長． 考點　拋物線的簡單性質(zhì) 題點　焦點、準線、對稱性的簡單應(yīng)用 解　(1)拋物線y2＝8x的頂點、焦點、準線方程、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x＝－2，x軸，x≥0. (2)如圖所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點M， 又焦點F是△OAB的重心， 則|OF|＝|OM|. 因為F(2,0)， 所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3,0)． 故設(shè)A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24； 所以m＝2或m＝－2， 所以A(3,2)，B(3，－2)， 所以|OA|＝|OB|＝， 所以△OAB的周長為2＋4. 反思感悟　把握三個要點確定拋物線的簡單性質(zhì) (1)開口：由拋物線標準方程看圖像開口，關(guān)鍵是看準二次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負． (2)關(guān)系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸． (3)定值：焦點到準線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1. 跟蹤訓練1　等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△AOB的面積是(　　) A．8p2B．4p2C．2p2D．p2 考點　拋物線的簡單性質(zhì) 題點　焦點、準線、對稱性的簡單應(yīng)用 答案　B 解析　因為拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45. 由方程組得或 不妨設(shè)A，B兩點的坐標分別為(2p,2p)和(2p，－2p)． 所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝4p2p＝4p2. 題型二　拋物線的焦點弦問題 例2　已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點．若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值． 考點　拋物線的焦點弦問題 題點　求拋物線的焦點弦長 解　因為直線l的傾斜角為60， 所以其斜率k＝tan60＝. 又F， 所以直線l的方程為y＝. 聯(lián)立 消去y，得x2－5x＋＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋ ＝x1＋x2＋p＝5＋3＝8. 反思感悟　1.解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用，通過定義將焦點弦長度轉(zhuǎn)化為端點的坐標問題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進行求解． 2．設(shè)直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨討論． 跟蹤訓練2　已知拋物線方程為y2＝2px(p>0)，過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AB|＝p，求AB所在直線的方程． 考點　拋物線的焦點弦問題 題點　知拋物線焦點弦長求方程 解　由題意可知，焦點F.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 若AB⊥x軸，則|AB|＝2p≠p，不合題意， 故直線AB的斜率存在，設(shè)為k， 則直線AB的方程為y＝k. 聯(lián)立消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0， 則y1＋y2＝，y1y2＝－p2. ∴|AB|＝ ＝ ＝2p＝p， 解得k＝2， ∴AB所在直線方程為y＝2或y＝－2. 題型三　與拋物線有關(guān)的最值問題 例3　設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點． (1)求點P到點A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值； (2)若點B的坐標為(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 考點　拋物線的定義 題點　由拋物線的定義求最值 解　(1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線方程是x＝－1.由拋物線的定義知，點P到直線x＝－1的距離等于點P到焦點F的距離． 于是問題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點P，使點P到點A(－1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小．顯然，連接AF，AF與拋物線的交點即為點P，故最小值為＝，即點P到點A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值為. (2)如圖，把點B的橫坐標代入y2＝4x中，得y＝2. 因為2>2，所以點B在拋物線內(nèi)部．過點B作BQ垂直于準線，垂足為點Q，交拋物線于點P1，連接P1F.此時，由拋物線的定義知，|P1Q|＝|P1F|.所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值為4. 反思感悟　拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離進行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識的應(yīng)用，如兩點之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點與直線上點的連線垂線段最短等． 跟蹤訓練3　已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點A(0,2)的距離與點P到該拋物線的準線的距離之和的最小值為(　　) A.B．2C.D. 考點　拋物線的定義 題點　由拋物線的定義求最值 答案　A 解析　如圖，由拋物線的定義知 |PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|， 則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求|PA|＋|PF|的最小值， 則當A，P，F(xiàn)三點共線時，|PA|＋|PF|取得最小值． 又A(0,2)，F(xiàn)， ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|＝＝. 1．以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 考點　拋物線的標準方程 題點　求拋物線方程 答案　C 解析　設(shè)拋物線的方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)， 由題意將x＝或x＝－分別代入y2＝2px和y2＝－2px，得|y|＝p， ∴2|y|＝2p＝8，p＝4. 即拋物線方程為y2＝8x. 2．設(shè)A，B是拋物線x2＝4y上兩點，O為原點，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面積為16，則∠AOB等于(　　) A．30B．45C．60D．90 考點　拋物線的簡單性質(zhì) 題點　焦點、準線、對稱性的簡單應(yīng)用 答案　D 解析　由|OA|＝|OB|，知拋物線上點A，B關(guān)于y軸對稱，設(shè)A，B，a>0.S△AOB＝2a＝16，解得a＝4，∴△AOB為等腰直角三角形，∠AOB＝90. 3．已知拋物線y＝ax2的準線方程是y＝－2，則此拋物線上的點到準線距離的最小值為(　　) A．1B．2C．3D．4 考點　拋物線的定義 題點　由拋物線定義求距離 答案　B 解析　由題意知拋物線頂點到準線的距離最短，故最小值為2. 4．過拋物線y2＝8x的焦點作傾斜角為45的直線，則被拋物線截得的弦長為________． 考點　拋物線的焦點弦問題 題點　求拋物線的焦點弦長 答案　16 解析　由y2＝8x得焦點坐標為(2,0)， 由此直線方程為y＝x－2， 由聯(lián)立得x2－12x＋4＝0， 設(shè)交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程知x1＋x2＝12， ∴弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16. 5．已知正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2＝2px(p>0)上，求這個正三角形的邊長． 考點　拋物線的簡單性質(zhì) 題點　拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用 解　如圖△OAB為正三角形， 設(shè)|AB|＝a，則OD＝a， 將A代入y2＝2px， 即＝2pa， 解得a＝4p. ∴正三角形的邊長為4p. 1．討論拋物線的簡單性質(zhì)，一定要利用拋物線的標準方程；利用簡單性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程． 2．拋物線中的最值問題：注意拋物線上的點到焦點的距離與點到準線的距離的轉(zhuǎn)化，其次是平面幾何知識的應(yīng)用． 一、選擇題 1．設(shè)拋物線的焦點到頂點的距離為3，則拋物線上的點到準線的距離的取值范圍是(　　) A．(6，＋∞) B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 考點　拋物線的簡單性質(zhì) 題點　焦點、準線、對稱性的簡單應(yīng)用 答案　D 解析　∵拋物線的焦點到頂點的距離為3， ∴＝3，即p＝6. 又拋物線上的點到準線距離的最小值為， ∴拋物線上的點到準線距離的取值范圍是[3，＋∞)． 2．若拋物線y2＝x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為(　　) A. B. C. D. 考點　拋物線的定義 題點　由拋物線的定義求點坐標 答案　B 解析　由題意知，點P到焦點F的距離等于它到頂點O的距離，因此點P在線段OF的垂直平分線上，而F，所以點P的橫坐標為，代入拋物線方程得y＝，故點P的坐標為，故選B. 3．已知拋物線y＝2px2(p>0)的焦點為F，點P在拋物線上，過點P作PQ垂直于拋物線的準線，垂足為點Q，若拋物線的準線與對稱軸相交于點M，則四邊形PQMF的面積為(　　) A.B.C.D. 考點　拋物線的標準方程 題點　拋物線方程的應(yīng)用 答案　C 解析　由P在拋物線上，得p＝，故拋物線的標準方程為x2＝4y，焦點為F(0,1)，準線為y＝－1， ∴|FM|＝2，|PQ|＝1＋＝，|MQ|＝1， 則四邊形PQMF的面積為1＝. 4．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A．2B．3C.D. 考點　拋物線的定義 題點　由拋物線定義求最值 答案　A 解析　如圖所示，動點P到l2：x＝－1的距離可轉(zhuǎn)化為PF的距離，由圖可知，距離和的最小值即F到直線l1的距離d＝＝2. 5．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點作直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PQ中點的橫坐標為3，|PQ|＝10，則拋物線方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝2x C．y2＝6x D．y2＝4x 考點　拋物線的焦點弦問題 題點　知拋物線焦點弦長求方程 答案　A 解析　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則＝3，即x1＋x2＝6. 又|PQ|＝x1＋x2＋p＝10， 即p＝4，∴拋物線方程為y2＝8x. 6．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為(　　) A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝－2 考點　拋物線的焦點弦問題 題點　與焦點弦有關(guān)的其他問題 答案　A 解析　拋物線的焦點為F，所以過焦點且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋.代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得＝p＝2(y1，y2分別為點A，B的縱坐標)，所以拋物線方程為y2＝4x，準線方程為x＝－1. 7．已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|＝12，P為C的準線上的一點，則△ABP的面積為(　　) A．18B．24C．36D．48 考點　拋物線的簡單性質(zhì) 題點　拋物線性質(zhì)的綜合問題 答案　C 解析　不妨設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)， 依題意，l⊥x軸，且焦點F， ∵當x＝時，|y|＝p， ∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6， 又點P到直線AB的距離為＋＝p＝6， 故S△ABP＝|AB|p＝126＝36. 8．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為(　　) A.B.C.D. 考點　拋物線的焦點弦問題 題點　拋物線焦點弦的其他問題 答案　D 解析　由已知得焦點坐標為F， 因此直線AB的方程為y＝. 即4x－4y－3＝0. 聯(lián)立直線和拋物線方程，并化簡得x2－x＋＝0， 故xA＋xB＝. 根據(jù)拋物線的定義有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12， 同時原點到直線AB的距離為h＝＝， 因此S△OAB＝|AB|h＝. 二、填空題 9．拋物線y2＝4x的焦點為F，過F的直線交拋物線于A，B兩點，|AF|＝3，則|BF|＝________. 考點　拋物線的焦點弦問題 題點　與焦點弦有關(guān)的其他問題 答案　 解析　由題意知F(1,0)，且AB與x軸不垂直， 則由|AF|＝3，知xA＝2. 設(shè)lAB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x， 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 所以xAxB＝1，故xB＝， 故|BF|＝xB＋1＝. 10．已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長等于2，則這條拋物線的方程為________． 考點　拋物線的標準方程 題點　求拋物線方程 答案　y2＝3x 解析　由題意設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)， 當a>0時，弦的端點坐標為(1，)，代入拋物線方程得y2＝3x， 同理，當a<0時，弦的端點坐標為(－1，)，代入拋物線方程得y2＝－3x. 11．已知正三角形的一個頂點位于拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，另外兩個頂點在拋物線上，那么滿足條件的正三角形的個數(shù)為________． 考點　 題點　 答案　2 解析　根據(jù)拋物線的對稱性，正三角形的兩個頂點一定關(guān)于x軸對稱，且過焦點的兩條直線傾斜角分別為30和150，這時過焦點的直線與拋物線只有兩個交點，所以正三角形的個數(shù)為2. 三、解答題 12．若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|＝，|AF|＝3，求此拋物線的標準方程． 考點　拋物線的標準方程 題點　求拋物線方程 解　設(shè)所求拋物線的標準方程為x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，由題知M. ∵|AF|＝3，∴y0＋＝3. ∵|AM|＝，∴x＋2＝17， ∴x＝8，代入方程x＝2py0，得 8＝2p，解得p＝2或p＝4. ∴所求拋物線的標準方程為x2＝4y或x2＝8y. 13．已知拋物線C的頂點為O(0,0)，焦點為F(0,1)． (1)求拋物線C的標準方程； (2)過點F的直線l：y＝x＋1交拋物線C于A，B兩點，求△AOB的面積． 考點　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點　弦長與中點弦的問題 解　(1)∵拋物線C的頂點為O(0,0)，焦點為F(0,1)， ∴拋物線C的標準方程為x2＝4y. (2)聯(lián)立得x2－4x－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2), 則x1＋x2＝4，x1x2＝－4， ∴|AB|＝＝8. 又O(0,0)到直線y＝x＋1的距離d＝＝， ∴△AOB的面積為S＝|AB|d ＝8＝2. 14.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|且|AF|＝3，則此拋物線的方程為(　　) A．y2＝3x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝x 考點　拋物線的標準方程 題點　求拋物線方程 答案　A 解析　作AM，BN分別垂直準線于點M，N， 則|BN|＝|BF|，|AM|＝|AF|. 又|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BN|， ∴∠NCB＝30，∴|AC|＝2|AM|＝2|AF|＝6. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|＝x， 則2x＋x＋3＝6，得x＝1，而x1＋＝3，x2＋＝1， 且x1x2＝， ∴＝，∴p＝， 得拋物線方程為y2＝3x. 15．已知拋物線y2＝2x. (1)設(shè)點A的坐標為，求拋物線上距離點A最近的點P的坐標及相應(yīng)的距離|PA|； (2)在拋物線上求一點P，使P到直線x－y＋3＝0的距離最短，并求出距離的最小值． 考點　拋物線的定義 題點　由拋物線的定義求最值 解　(1)設(shè)拋物線上任一點P的坐標為(x，y)， 則|PA|2＝2＋y2 ＝2＋2x ＝2＋. ∵x∈[0，＋∞)，且在此區(qū)間上函數(shù)是增加的， 故當x＝0時，|PA|min＝， 故距離點A最近的點的坐標為(0,0)． (2)設(shè)點P(x0，y0)是y2＝2x上任一點， 則P到直線x－y＋3＝0的距離為 d＝＝ ＝， 當y0＝1時，dmin＝＝， ∴點P的坐標為.