2019高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題8 解析幾何 第2講 綜合大題部分增分強化練 文.doc

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第2講　綜合大題部分 1．已知在平面直角坐標系中，動點P(x，y)(x≥0)到點N(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1. (1)求動點P的軌跡C的方程； (2)若過點M(2,0)的直線與軌跡C相交于A，B兩點，設(shè)點Q在直線x＋y－1＝0上，且滿足＋＝t(O為坐標原點)，求實數(shù)t的最小值． 解析：(1)因為點P(x，y)(x≥0)到點N(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，所以|PN|－1＝|x|，將點P坐標代入，并整理得y2＝4x. 故點P的軌跡C的方程是y2＝4x. (2)由題意知直線AB的斜率存在且與拋物線y2＝4x有兩個交點，設(shè)直線AB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，由 得k2x2－4(k2＋1)x＋4k2＝0(k≠0)． Δ＝16(2k2＋1)>0恒成立， 所以x1＋x2＝，x1x2＝4， 因為＋＝t， 所以(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)， 即x＝＝，y＝ ＝＝＝， 又點Q在x＋y－1＝0上，所以＋－1＝0. 所以t＝4(＋＋1)＝4(＋)2＋3≥3. 故實數(shù)t的最小值為3. 2．已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的長軸長為4，離心率為. (1)求橢圓C的標準方程； (2)過右焦點F作一條不與坐標軸平行的直線l，若l交橢圓C于A、B兩點，點A關(guān)于原點O的對稱點為D，求△ABD的面積的取值范圍． 解析：(1)∵橢圓C：＋＝1(a>b>0)的長軸長為4，離心率為，∴2a＝4，e＝＝，又a2－b2＝c2， ∴a＝2，b＝， 則橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)∵D是點A關(guān)于原點的對稱點，∴原點O是線段AD的中點， 則S△ABD＝2S△ABO＝2|AB|dO＝|AB|dO(dO為點O到直線l的距離)， 由直線l過右焦點F，且不與坐標軸平行，可設(shè)直線l：x＝my＋1，m≠0， 聯(lián)立方程得 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 得|AB|＝|y1－y2| ＝＝. 又dO＝， 則S△ABD＝＝＝ ＝， 令t＝∈(1，＋∞)， 則y＝3t＋在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 則3t＋∈(4，＋∞)， 則S△ABD＝∈(0,3)， 即△ABD的面積的取值范圍為(0,3)． 3．(2018高考浙江卷)如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y2＝4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上． (1)設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸； (2)若P是半橢圓x2＋＝1(x<0)上的動點，求△PAB面積的取值范圍． 解析：(1)證明：設(shè)P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2)． 因為PA，PB的中點在拋物線上，所以y1，y2為方程()2＝4 即y2－2y0y＋8x0－y＝0的兩個不同的實根． 所以y1＋y2＝2y0， 因此，PM垂直于y軸． (2)由(1)可知 所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y(tǒng)－3x0， |y1－y2|＝2. 因此，△PAB的面積S△PAB＝|PM||y1－y2|＝(y－4x0). 因為x＋＝1(x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]， 因此，△PAB面積的取值范圍是[6，]． 4．(2018高考天津卷)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的右頂點為A，上頂點為B，已知橢圓的離心率為，|AB|＝. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)直線l：y＝kx(k<0)與橢圓交于P，Q兩點，l與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值． 解析：(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有＝， 又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b. 由|AB|＝＝，從而a＝3，b＝2. 所以，橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)點P的坐標為(x1，y1)，點M的坐標為(x2，y2)， 由題意知，x2>x1>0，點Q的坐標為(－x1，－y1)． 由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，從而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1. 易知直線AB的方程為2x＋3y＝6，由方程組消去y，可得x2＝.由方程組消去y，可得x1＝.由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，兩邊平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－，或k＝－.當k＝－時，x2＝－9<0，不合題意，舍去；當k＝－時，x2＝12，x1＝，符合題意． 所以，k的值為－.