2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 3 第1課時(shí) 平均值不等式學(xué)案 北師大版選修4-5.docx

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第1課時(shí)　平均值不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解并掌握平均值不等式的特征結(jié)構(gòu).2.了解平均值不等式的推廣.3.會用平均值不等式解決相關(guān)問題． 知識點(diǎn)一　二元平均值不等式 思考　回顧a2＋b2≥2ab的證明過程，并說明等號成立的條件． 答案　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab. 梳理　(1)重要不等式 定理1：對任意實(shí)數(shù)a，b，有a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號)． (2)二元平均值不等式 ①定理2：對任意兩個正數(shù)a，b，有≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號)． ②定理2的應(yīng)用：對兩個正實(shí)數(shù)x，y， (ⅰ)如果它們的和S是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，它們的積P取得最大值； (ⅱ)如果它們的積P是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，它們的和S取得最小值． 知識點(diǎn)二　三元平均值不等式 思考　類比二元平均值不等式：≥(a＞0，b＞0)，請寫出a，b，c∈R＋時(shí)，三元平均值不等式． 答案　≥. 梳理　(1)定理3：對任意三個正數(shù)a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號)． (2)定理4：對任意三個正數(shù)a，b，c，有≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號)． (3)平均值不等式的推廣 對于n個正數(shù)a1，a2，…，an(n≥2)，把數(shù)值，分別稱為這n個正數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值，且有≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)取“＝”號. 類型一　平均值不等式成立的條件 例1　給出以下說法：①任意x>0，lgx＋≥2；②任意x∈R，ax＋≥2(a>0且a≠1)；③任意x∈，tanx＋≥2；④任意x∈R，sinx＋≥2.其中正確的是(　　) A．③ B．③④ C．②③ D．①②③④ 答案　C 解析　在①④中，lg x∈R，sin x∈[－1,1]， 不能確定lg x>0，sin x>0，因此①④錯誤； 在②中，ax>0，ax＋≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號，故②正確； 在③中，當(dāng)x∈時(shí)，tan x>0， 有tan x＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號，故③正確．故選C. 反思與感悟　平均值不等式成立的條件 (1)各項(xiàng)均為正數(shù)． (2)當(dāng)且僅當(dāng)各項(xiàng)均相等時(shí)，“＝”才能成立． 跟蹤訓(xùn)練1　設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且ab>0，下列不等式中一定成立的個數(shù)是(　　) ①＋≥2；②a＋b≥2；③＋≥；④＋≥a＋b. A．1B．2C．3D．4 答案　B 解析　∵ab>0，∴＋≥2＝2，①成立； 當(dāng)a，b<0時(shí)，②不成立； ＋≥，③成立； 當(dāng)a＝－1，b＝－2時(shí)，④不成立． 因此，①③成立，故選B. 類型二　用平均值不等式證明不等式 例2　已知a，b，c∈R＋.求證：a3＋b3＋c3＋≥2. 證明　∵a3＋b3＋c3＋≥3abc＋≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號成立． ∴a3＋b3＋c3＋≥2. 引申探究 1．若本例條件不變，求證：＋＋≥3. 證明?。剑? ≥3＋3－3＝6－3＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號． 2．若本例條件不變，求證：(a＋b＋c)≥9. 證明　∵當(dāng)a，b，c∈R＋時(shí)，a＋b＋c≥3， ∴(a＋b＋c)≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號成立． 3．若本例條件不變，求證：(a＋b＋c)≥. 證明　∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3， ＋＋≥3， ∴(a＋b＋c)≥， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號成立． 反思與感悟　證明不等式的方法 (1)首先觀察所要證的式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及題目所給條件，看是否滿足“一正、二定、三相等”的條件．若滿足即可利用平均值不等式證明． (2)若題目不滿足該條件，則可靈活利用已知條件構(gòu)造出能利用三個正數(shù)的基本不等式的式子． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2； (2)設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 證明　(1)a4＋b4≥2a2b2， 同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2， 將以上三個不等式相加，得 a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2， 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號成立． (2)∵當(dāng)a>0，b>0時(shí)，a＋b≥2， ∴＋≥2＝2c. 同理＋≥2＝2b， ＋≥2＝2a. 將以上三不等式相加，得2≥2(a＋b＋c)， ∴＋＋≥a＋b＋c， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號成立． 類型三　證明不等式的技巧——“1”的代換 例3　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋≥9. 證明　方法一　∵a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，等號成立． ∴＋＋≥9. 方法二　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1 ＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號成立． ∴＋＋≥9. 引申探究 1．若本例條件不變，求證：＋＋≥1. 證明　∵a2＋b2≥2ab， ∴≥2a－b. 同理，≥2b－c，≥2c－a. ∴＋＋≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1， ∴＋＋≥1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，等號成立． 2．若本例條件不變，求證：a2＋b2＋c2≥. 證明　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac， ∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2ab＋2bc＋2ac， 即2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac， ∴2(a2＋b2＋c2)＋a2＋b2＋c2≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac ＝(a＋b＋c)2＝1， ∴a2＋b2＋c2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號． 3．若本例條件不變，求證：＋＋≥. 證明　∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又a，b，c∈R＋，∴≥|a＋b|＝(a＋b)． 同理，≥(b＋c)，≥(a＋c)． 三式相加，得＋＋≥(a＋b＋c)＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號． 反思與感悟　用基本不等式證明不等式時(shí)，應(yīng)首先依據(jù)不等式兩邊式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形，使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件，然后合理地選擇基本不等式進(jìn)行證明． 跟蹤訓(xùn)練3　已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求證：≥8. 證明　∵a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝≥. 同理－1≥，－1≥. 由于上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘 得≥＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號. 1．下列不等式中，正確的個數(shù)是(　　) ①若a，b∈R，則≥； ②若x∈R，則x2＋2＋>2； ③若x∈R，則x2＋1＋≥2； ④若a，b∈R＋，則≥. A．0B．1C．2D．3 答案　C 解析　顯然①不正確；③正確；對②雖然x2＋2＝無解，但x2＋2＋＞2成立，故②正確；④不正確，如a＝1，b＝4. 2．下列不等式的證明過程正確的是(　　) A．若a，b∈R，則＋≥2＝2 B．若x＞0，則cosx＋≥2＝2 C．若x＜0，則x＋≤2＝4 D．若a，b∈R，且ab＜0，則＋＝－≤－2＝－2 答案　D 解析　對于A，a，b必須同號；對于B，cos x不一定大于0；對于C，由x＜0， 得x＋＝－≤－2＝－4. 對于D，由ab＜0，得＜0，＜0，所以＋＝－≤－2＝－2. 3．若直線＋＝1(a＞0，b＞0)過點(diǎn)(1,1)，則a＋b的最小值等于(　　) A．2B．3C．4D．5 答案　C 解析　∵＋＝1過點(diǎn)(1,1)， ∴＋＝1. ∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，等號成立． 4．當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)y＝x＋的最小值是________． 答案　3 解析　因?yàn)閤＞1，所以y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝， 且x＞1，即x＝2時(shí)等號成立．故函數(shù)的最小值為3. 5．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求證：a2＋b2≥. 證明　∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1， ∴a2＋b2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號成立． 1．應(yīng)用平均值不等式證明問題時(shí)，如果能熟練掌握一些常見結(jié)論，可使應(yīng)用更加靈活快捷．對于二元平均值不等式有以下結(jié)論． (1)ab≤2≤. (2)≤≤(a，b∈R＋)． (3)＋≥2(a，b同號)． (4)(a＋b)≥4(a，b∈R＋)． (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 2．對于三元平均值不等式有以下結(jié)論． (1)abc≤3. (2)a3＋b3＋c3≥3abc. (3)≤≤≤. 上式中a，b，c均為正數(shù)，等號成立的條件均為a＝b＝c. 一、選擇題 1．設(shè)a＞0，b＞0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則＋的最小值為(　　) A．8B．4C．1D. 答案　B 解析　∵是3a與3b的等比中項(xiàng)， ∴3a3b＝3a＋b＝3，∴a＋b＝1. ∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4. 2．“a＝1”是“對任意正數(shù)x,2x＋≥1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　當(dāng)a＝1時(shí)，2x＋＝2x＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號)，所以a＝1?2x＋≥1(x＞0)．反過來，對任意正數(shù)x，如當(dāng)a＝2時(shí)，2x＋≥1恒成立，所以2x＋≥1?a＝1. 3．設(shè)00，b>0，且a＋b≤4，則有(　　) A.≥ B.≥2 C.＋≥1 D.≤ 答案　C 解析　∵a＋b≥2，∴≤2，B錯誤； ∵00，則下列不等式中恒成立的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 答案　D 解析　當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab， ∴選項(xiàng)A不恒成立； 當(dāng)a<0，b<0時(shí)，B，C不成立； 選項(xiàng)D中，與均大于0， ∴＋≥2，等號成立的條件是a＝b.故選D. 二、填空題 7．若a＞0，b＞0，a＋b＝1，則的最小值是________． 答案　9 解析　因?yàn)椋剑? ＝＝＝1＋. 由a＞0，b＞0，a＋b＝1，得ab≤2＝， 所以≥4，所以≥9， 當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號． 8．已知a>b>c，則與的大小關(guān)系是________． 答案　≤ 解析　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0， ∴(a－b)(b－c)≤2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c時(shí)取等號， ∴≤. 9．M＝，N＝()x+y，P＝，其中0N，又00時(shí)，有不等式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，….受此啟發(fā)，可以推廣為x＋≥n＋1(n∈N＋)，則a＝________. 答案　nn 解析　由題意有x＋＝＋＋…＋＋≥(n＋1)＝n＋1，所以a＝nn. 三、解答題 11．已知x>0，y>0，求證：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 證明　由均值不等式，得 分別當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)2＝1，x2＝y(tǒng)＝1時(shí)，“＝”成立． 因此(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9＝9xy， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，“＝”成立． 12．已知a>1,01,00，－logba＝－>0， ∴(－logab)＋≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝時(shí)取等號， ∴l(xiāng)ogab＋logba≤－2. 13．設(shè)a>0，b>0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8. 證明　∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴2≤a＋b＝1， ∴≤，≥4， ∴＋＋＝(a＋b)＋≥22＋4＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號． 四、探究與拓展 14．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 求證：(1)＋＋≤； (2)＋＋＜6. 證明　(1)∵≥，∴2≤a＋b. 同理2≤a＋c,2≤b＋c，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號同時(shí)成立． ∴(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2 ≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(a＋c)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)＝3， ∴＋＋≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號成立． (2)∵＝≤， 且由于3a＋2≠1， ∴等號不成立，∴＜. 同理＜，＜， ∴＋＋＜[3(a＋b＋c)＋9]＝6. 15．設(shè)單位圓的內(nèi)接三角形的面積為，三邊長分別為a，b，c，且不全相等，求證：＋＋>＋＋. 證明　∵三角形的面積S＝absinC＝，＝2， ∴abc＝1， ∴＋＋＝＋＋＝bc＋ac＋ab＝ ≥c＋a＋b＝(＋＋)＝＋＋， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號． ∵三邊長a，b，c不全相等， ∴＋＋>＋＋.