2020高考數(shù)學大一輪復習 第九章 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 第三節(jié) 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例檢測 理 新人教A版.doc
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第三節(jié) 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例 限時規(guī)范訓練(限時練夯基練提能練) A級 基礎夯實練 1.(2018吉林長春質(zhì)檢)下面四個殘差圖中可以反映出回歸模型擬合精度較高的為( ) A.圖1 B.圖2 C.圖3 D.圖4 解析:選A.根據(jù)殘差圖顯示的分布情況即可看出,圖1顯示的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,所以擬合精度較高,故選A. 2.(2018貴州普通高等學校適應性考試)利用獨立性檢驗來考慮兩個分類變量X和Y是否有關系時,通過查閱下表來確定“X和Y有關系”的可信度.如果K2>3.841,那么有把握認為“X和Y有關系”的百分比為( ) P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.5% B.75% C.99.5% D.95% 解析:選D.由圖表中數(shù)據(jù)可得,當K2>3.841時,有0.05的概率說明這兩個變量之間沒有關系是可信的,即有95%的把握認為變量之間有關系,故選D. 3.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù): x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 1.0 0.5 -2.0 -3.0 得到的回歸方程為=bx+a,則( ) A.a(chǎn)>0,b>0 B.a(chǎn)>0,b<0 C.a(chǎn)<0,b>0 D.a(chǎn)<0,b<0 解析:選B.在平面直角坐標系中描點作出散點圖(圖略),觀察圖象可知,回歸直線=bx+a的斜率b<0,截距a>0.故選B. 4.(2018山東省實驗中學診斷考試)某中學學生會為了調(diào)查愛好游泳運動與性別是否有關,隨機詢問了110名高中生是否愛好游泳運動并得到如下的列聯(lián)表(表1).由K2=,并參照附表(表2),得到的正確結(jié)論是( ) 表1 男 女 總計 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計 60 50 110 表2 P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 A.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為“愛好游泳運動與性別有關” B.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為“愛好游泳運動與性別無關” C.有99.9%的把握認為“愛好游泳運動與性別有關” D.有99.9%的把握認為“愛好游泳運動與性別無關” 解析:選A.由題意得K2=≈7.822. ∵7.822>6.635,∴在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為“愛好游泳運動與性別有關”. 5.(2018湖北宜昌聯(lián)考)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后在生產(chǎn)某產(chǎn)品的過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對應數(shù)據(jù),根據(jù)下表提供的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程為=0.7x+0.35,則下列結(jié)論錯誤的是( ) x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A.回歸直線一定過點(4.5,3.5) B.產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量呈正相關 C.t的值為3.15 D.該產(chǎn)品每多生產(chǎn)1噸,則相應的生產(chǎn)能耗約增加0.7噸 解析:選C.=(3+4+5+6)==4.5,則=0.74.5+0.35=3.5,即回歸直線一定過點(4.5,3.5),故A正確.∵0.7>0,∴產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量呈正相關,故B正確.∵=(2.5+t+4+4.5)=3.5,∴t=3,故C錯誤.該產(chǎn)品每多生產(chǎn)1噸,則相應的生產(chǎn)能耗約增加0.7噸,故D正確. 6.從某地高中男生中隨機抽取100名同學,將他們的體重(單位:kg)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),由直方圖可知 ( ) A.估計體重的眾數(shù)為50或60 B.a(chǎn)=0.03 C.學生體重在[50,60)有35人 D.從這100名男生中隨機抽取一人,體重在[60,80)的概率為 解析:選C.根據(jù)頻率分布直方圖知,最高的小矩形對應的底邊中點為=55,所以估計眾數(shù)為55,A錯誤;根據(jù)頻率和為1,計算(a+0.035+0.030+0.020+0.010)10=1,解得a=0.005,B錯誤;體重在[50,60)內(nèi)的頻率是0.35,估計體重在[50,60)有1000.35=35人,C正確;體重在[60,80)內(nèi)的頻率為0.3+0.2=0.5,用頻率估計概率,知這100名男生中隨機抽取一人,體重在[60,80)的概率為,D錯誤. 7.(2018贛州摸底考試)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6)的散點圖中,若所有樣本點(xi,yi)(i=1,2,…,6)都在曲線y=bx2-附近波動.經(jīng)計算i=11,i=13,=21,則實數(shù)b的值為________. 解析:令t=x2,則曲線的回歸方程變?yōu)榫€性回歸方程,即y=bt-,此時==,==,代入y=bt-,得=b-,解得b=. 答案: 8.有甲、乙兩個班級進行一門課程的考試,按照學生考試成績優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計后,得到如下的列聯(lián)表: 優(yōu)秀 不優(yōu)秀 總計 甲班 10 35 45 乙班 7 38 45 總計 17 73 90 利用列聯(lián)表的獨立性檢驗估計,則成績與班級________.(填“有關”或“無關”) 解析:成績與班級有無關系,就是看隨機變量的值與臨界值2.706的大小關系. 由公式得K2的觀測值K2=≈0.653<2.706,所以成績與班級無關. 答案:無關 9.(2018廣東省六校聯(lián)考)某市調(diào)研考試后,某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學考試成績進行分析,規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計成績后,得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 乙班 30 總計 110 (1)請完成上面的列聯(lián)表; (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),若按99.9%的可靠性要求,能否認為“成績與班級有關系”. 參考公式與臨界值表:K2=. P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解:(1)列聯(lián)表如下: 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 總計 30 80 110 (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得到 K2=≈7.486<10.828. 因此按99.9%的可靠性要求,不能認為“成績與班級有關系”. 10.某品牌2019款汽車即將上市,為了對這款汽車進行合理定價,某公司在某市五家4S店分別進行了兩天試銷售,得到如下數(shù)據(jù): 4S店 甲 乙 丙 丁 戊 單價x/萬元 18.0 18.6 18.2 18.8 18.4 19.0 18.3 18.5 18.5 18.7 銷量y/輛 88 78 85 75 82 66 82 78 80 76 (1)分別以五家4S店的平均單價與平均銷量為散點,求出單價與銷量的回歸直線方程=x+; (2)在大量投入市場后,銷量與單價仍服從(1)中的關系,且該款汽車的成本為12萬元/輛,為使該款汽車獲得最大利潤,則該款汽車的單價約為多少萬元(保留一位小數(shù))? 附:=,=-. 解:(1)∵五家4S店的平均單價和平均銷量分別為(18.3,83)(18.5,80),(18.7,74),(18.4,80),(18.6,78), ∴==18.5, ==79, = ==-20. ∴=-=79-(-20)18.5=79+370=449, ∴=-20x+449. (2)設該款汽車的單價應為x萬元, 則利潤f(x)=(x-12)(-20x+449)=-20x2+689x-5 388, f′(x)=-40x+689,令-40x+689=0,解得x≈17.2, 故當x≈17.2時,f(x)取得最大值. ∴要使該款汽車獲得最大利潤,該款汽車的單價約為17.2萬元. B級 能力提升練 11.某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件,按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位:mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品.從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件,量其內(nèi)徑尺寸,得結(jié)果如下表: (1)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率; (2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表,問是否有99%的把握認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”. 甲廠 乙廠 總計 優(yōu)質(zhì)品 非優(yōu)質(zhì)品 總計 P(K2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 解:(1)甲廠抽查的500件產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品,從而估計甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率為=72%; 乙廠抽查的500件產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品,從而估計乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率為=64%. (2)完成的22列聯(lián)表如下: 甲廠 乙廠 總計 優(yōu)質(zhì)品 360 320 680 非優(yōu)質(zhì)品 140 180 320 總計 500 500 1 000 由表中數(shù)據(jù)計算得K2的觀測值 k=≈7.35>6.635, 所以有99%的把握認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異.” 12.某電視廠家準備在元旦期間舉辦促銷活動,現(xiàn)根據(jù)近七年的廣告費與銷售量的數(shù)據(jù)確定此次廣告費支出.廣告費xi(萬元)和銷售量yi(萬臺)的數(shù)據(jù)如下. 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 廣告費xi 1 2 4 6 11 13 19 銷售量yi 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用線性回歸模型擬合y與x的關系,求出y關于x的線性回歸方程; (2)若用y=c+d模型擬合y與x的關系可得回歸方程=1.63+0.99,經(jīng)計算線性回歸模型及該模型的R2分別為0.75和0.88,請用R2說明選擇哪個回歸模型更好; (3)已知利潤z與x,y的關系為z=200y-x,根據(jù)(2)的結(jié)果,當廣告費x=20時,銷售量及利潤的預報值是多少? 參考公式:=,=- . 參考數(shù)據(jù):≈2.24. 解:(1)∵=8,=4.2,iyi=279.4,=708, ===0.17,=- =4.2-0.178=2.84. ∴y關于x的線性回歸方程為=0.17x+2.84. (2)R2越大反映殘差平方和越小,擬合效果越好, ∵0.75<0.88, ∴選用非線性回歸模型=1.63+0.99更好. (3)由(2)知,當x=20時,銷售量的預報值=1.63+0.99≈6.06(萬臺), 利潤的預報值=200(1.63+0.99)-20≈1 191.48(萬元). 13.微信已成為人們常用的社交軟件,“微信運動”是微信里由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾帳號,手機用戶可以通過關注“微信運動”公眾號查看自己每天行走的步數(shù),同時也可以和好友進行運動量的PK或點贊.現(xiàn)從小明的微信朋友圈內(nèi)隨機選取了40人(男、女各20人),記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下表: 若某人一天的走路步數(shù)超過8 000步被系統(tǒng)評定為“積極型”,否則被系統(tǒng)評定為“懈怠型”. (1)利用樣本估計總體的思想,試估計小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過10 000步的概率; (2)根據(jù)題意完成下面的22列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有90%的把握認為“評定類型”與“性別”有關? 積極型 懈怠型 總計 男 女 總計 附:K2=,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解:(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知,40位好友中走路步數(shù)超過10 000步的有8人, ∴利用樣本估計總體的思想,估計小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過10 000步的概率P==0.2. (2)根據(jù)題意完成22列聯(lián)表如下: 積極型 懈怠型 總計 男 13 7 20 女 8 12 20 總計 21 19 40 ∴K2=≈2.5<2.706, ∴沒有90%的把握認為“評定類型”與“性別”有關. 14.“雙十一網(wǎng)購狂歡節(jié)”源于淘寶商城(天貓)2009年11月11日舉辦的促銷活動,當時參與的商家數(shù)量和促銷力度均有限,但營業(yè)額遠超預想的效果,于是11月11日成為天貓舉辦大規(guī)模促銷活動的固定日期.如今,中國的“雙十一”已經(jīng)從一個節(jié)日變成了全民狂歡的“電商購物日”.某淘寶電商分析近8年“雙十一”期間的宣傳費用x(單位:萬元)和利潤y(單位:十萬元)之間的關系,得到下列數(shù)據(jù): x 2 3 4 5 6 8 9 11 y 1 2 3 3 4 5 6 8 (1)請用相關系數(shù)r說明y與x之間是否存在線性相關關系(當|r|>0.81時,說明y與x之間具有線性相關關系); (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果,建立y與x之間的回歸方程,并預測當x=24時,對應的利潤為多少(,,精確到0.1). 附參考公式:回歸方程中=x+中和最小二乘估計分別為=,=- , 相關系數(shù)r=. 參考數(shù)據(jù): iyi=241,=356,≈8.25,=6. 解:(1)由題意得=6,=4. 又iyi=241, ≈8.25, =6, 所以r=≈≈0.99>0.81, 所以y與x之間存在線性相關關系. (2)因為==≈0.7, =- ≈4-0.76=-0.2, 所以回歸直線方程為=0.7x-0.2. 當x=24時,=0.724-0.2=16.6, 所以預測當x=24時,對應的利潤為16.6.- 配套講稿:
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