江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何 第2講 立體幾何的綜合問(wèn)題學(xué)案.doc
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第2講 立體幾何的綜合問(wèn)題 [考情考向分析] 江蘇高考對(duì)空間幾何體體積的計(jì)算是高頻考點(diǎn),一般考查幾何體的體積或體積之間的關(guān)系.對(duì)翻折問(wèn)題和探索性問(wèn)題考查較少,但是復(fù)習(xí)時(shí)仍要關(guān)注. 熱點(diǎn)一 空間幾何體的計(jì)算 例1 (1)(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,D為BC的中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為________. 答案 1 解析 如圖,=AD =2=1. (2)已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為的扇形,那么這個(gè)圓錐的高為________. 答案 2 解析 設(shè)圓錐底面半徑為r, 則2πr=3, ∴r=1, ∴圓錐的高為=2. 思維升華 (1)涉及柱、錐及其簡(jiǎn)單組合的計(jì)算問(wèn)題,要在正確理解概念的基礎(chǔ)上,畫出符合題意的圖形或輔助線(面),再分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征,從而進(jìn)行解題. (2)求三棱錐的體積,等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)換原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上. 跟蹤演練1 (1)(2018江蘇鹽城中學(xué)模擬)已知圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)與底面的直徑相等,則該圓柱的表面積為________. 答案 6π 解析 S圓柱=2π12+2π12=6π. (2)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,則三棱錐A-B1D1D的體積為________ cm3. 答案 3 解析 方法一 長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中的底面ABCD是正方形. 連結(jié)AC交BD于O, 則AC⊥BD, 又D1D⊥AC,BD∩D1D=D,BD,D1D?平面B1D1D, 所以AC⊥平面B1D1D, AO為A到平面B1D1D的垂線段, AO=AC=. 又=D1DD1B1=23=3, 所以所求的體積V=3=3 cm3. 方法二 =A1B1 =332=3 cm3. 熱點(diǎn)二 空間圖形的翻折問(wèn)題 例2 (2018江蘇泰州中學(xué)調(diào)研)一副直角三角板按下面左圖拼接,將△BCD折起,得到三棱錐A-BCD(下面右圖). (1)若E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn),求證:EF∥平面ACD; (2)若平面ABC⊥平面BCD,求證:平面ABD⊥平面ACD. 證明 (1)∵E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn), ∴EF∥AC, 又∵EF?平面ACD,AC?平面ACD, ∴EF∥平面ACD. (2)∵平面ABC⊥平面BCD,BC⊥DC, 平面ABC∩平面BCD=BC,CD?平面BCD, ∴DC⊥平面ABC, 又∵AB?平面ABC,∴DC⊥AB, 又∵AB⊥AC,AC∩CD=C,AC?平面ACD,CD?平面ACD, ∴AB⊥平面ACD, 又∵AB?平面ABD,∴平面ABD⊥平面ACD. 思維升華 平面圖形經(jīng)過(guò)翻折成為空間圖形后,原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒(méi)有發(fā)生變化,這些發(fā)生變化和沒(méi)有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.一般地,在翻折后還在一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化,解決這類問(wèn)題就是要根據(jù)這些變與不變,去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值,這是化解翻折問(wèn)題的主要方法. 跟蹤演練2 如圖1,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),AD=AE,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G.將△ABF沿AF折起,得到如圖2所示的三棱錐A-BCF,其中BC=. (1)證明:DE∥平面BCF; (2)證明:CF⊥平面ABF. 證明 (1)如圖1,在等邊三角形ABC中,AB=AC. 因?yàn)锳D=AE,所以=,所以DE∥BC, 所以DG∥BF.如圖2,DG?平面BCF,BF?平面BCF,所以DG∥平面BCF. 同理可證GE∥平面BCF. 因?yàn)镈G∩GE=G,DG,GE?平面DEG, 所以平面DEG∥平面BCF, 又因?yàn)镈E?平面DEG,所以DE∥平面BCF. (2)證明 如圖1,在等邊三角形ABC中,F(xiàn)是BC的中點(diǎn), 所以AF⊥FC,所以BF=FC=BC=. 在圖2中,因?yàn)锽C=, 所以BC2=BF2+FC2,所以∠BFC=90, 所以FC⊥BF,又AF⊥FC, 因?yàn)锽F∩AF=F,BF,AF?平面ABF, 所以CF⊥平面ABF. 熱點(diǎn)三 探索性問(wèn)題 例3 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點(diǎn). (1)證明:平面ADC1B1⊥平面A1BE; (2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F,使B1F∥平面A1BE?證明你的結(jié)論. (1)證明 因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體, 所以B1C1⊥平面ABB1A1. 因?yàn)锳1B?平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1B. 又因?yàn)锳1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,AB1,B1C1?平面ADC1B1,所以A1B⊥平面ADC1B1. 因?yàn)锳1B?平面A1BE,所以平面ADC1B1⊥平面A1BE. (2)解 當(dāng)點(diǎn)F為C1D1的中點(diǎn)時(shí),可使B1F∥平面A1BE. 證明如下: 設(shè)A1B∩AB1=O, 連結(jié)EO,EF,B1F. 易知EF∥C1D,且EF=C1D, B1O∥C1D且B1O=C1D, 所以EF∥B1O且EF=B1O, 所以四邊形B1OEF為平行四邊形. 所以B1F∥OE. 又因?yàn)锽1F?平面A1BE,OE?平面A1BE. 所以B1F∥平面A1BE. 思維升華 探索性問(wèn)題,一般把要探索的結(jié)論作為條件,然后根據(jù)條件和假設(shè)進(jìn)行推理論證. 跟蹤演練3 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D為棱BC上一點(diǎn). (1)若AB=AC,D為棱BC的中點(diǎn),求證:平面ADC1⊥平面BCC1B1; (2)若A1B∥平面ADC1,求的值. (1)證明 因?yàn)锳B=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn), 所以AD⊥BC. 因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,所以BB1⊥平面ABC. 因?yàn)锳D?平面ABC,所以BB1⊥AD. 因?yàn)锽C∩BB1=B,BC?平面BCC1B1,BB1?平面BCC1B1, 所以AD⊥平面BCC1B1. 因?yàn)锳D?平面ADC1,所以平面ADC1⊥平面BCC1B1. (2)解 連結(jié)A1C,交AC1于點(diǎn)O,連結(jié)OD, 所以O(shè)為A1C的中點(diǎn). 因?yàn)锳1B∥平面ADC1,A1B?平面A1BC,平面ADC1∩平面A1BC=OD,所以A1B∥OD. 因?yàn)镺為A1C的中點(diǎn),所以D為BC的中點(diǎn), 所以=1. 1.(2018江蘇)如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________. 答案 解析 由題意知所給的幾何體是棱長(zhǎng)均為的八面體,它是由兩個(gè)有公共底面的正四棱錐組合而成的,正四棱錐的高為1,所以這個(gè)八面體的體積為2V正四棱錐=2()21=. 2.(2017江蘇)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是________. 答案 解析 設(shè)球半徑為R,則圓柱底面圓半徑為R,母線長(zhǎng)為2R, 又V1=πR22R=2πR3,V2=πR3, 所以==. 3.(2018江蘇南京師大附中模擬)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2,D為棱B1C1上任意一點(diǎn),則三棱錐D-A1BC的體積是________. 答案 解析 ===. 4.(2018全國(guó)Ⅰ)如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90.以AC為折痕將△ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且AB⊥DA. (1)證明:平面ACD⊥平面ABC; (2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=DA,求三棱錐Q-ABP的體積. (1)證明 由已知可得,∠BAC=90,即BA⊥AC. 又BA⊥AD,AC∩AD=A,AD,AC?平面ACD, 所以AB⊥平面ACD. 又AB?平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC. (2)解 由已知可得, DC=CM=AB=3,DA=3. 又BP=DQ=DA,所以BP=2. 如圖,過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC,垂足為E, 則QE∥DC且QE=DC. 由(1)知平面ACD⊥平面ABC,又平面ACD∩平面ABC=AC,CD⊥AC,CD?平面ACD,所以DC⊥平面ABC, 所以QE⊥平面ABC,QE=1. 因此,三棱錐Q-ABP的體積VQ-ABP=S△ABPQE=32sin 451=1. 5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知AD=4,BD=4,AB=2CD=8. (1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn), 證明:平面MBD⊥平面PAD; (2)當(dāng)M點(diǎn)位于線段PC什么位置時(shí),PA∥平面MBD? (1)證明 在△ABD中, ∵AD=4,BD=4,AB=8, ∴AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD,∴BD⊥平面PAD. 又BD?平面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD. (2)解 當(dāng)CM=CP時(shí),PA∥平面MBD. 證明如下: 連結(jié)AC,交BD于點(diǎn)N,連結(jié)MN. ∵AB∥DC,AB≠CD, ∴四邊形ABCD是梯形. ∵AB=2CD,∴CN∶NA=1∶2. 又∵CM∶MP=1∶2, ∴CN∶NA=CM∶MP,∴PA∥MN. ∵M(jìn)N?平面MBD,∴PA∥平面MBD. A組 專題通關(guān) 1.已知一個(gè)圓錐的底面積為2π,側(cè)面積為4π,則該圓錐的體積為________. 答案 π 解析 設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l, 則πr2=2π,πrl=4π, 解得r=,l=2,故高h(yuǎn)=, 所以V=πr2h=π2=π. 2.(2018江蘇興化一中模擬)在三棱錐S-ABC中,直線SA⊥平面ABC,SA=1,△ABC的面積為3,若點(diǎn)G為△ABC的重心,則三棱錐S-AGB的體積為________. 答案 解析 VS-AGB=VS-ABC=31=. 3.已知圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為4 cm,母線與軸的夾角為30,上底面半徑是下底面半徑的,則這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積是________ cm2. 答案 24π 解析 如圖是將圓臺(tái)還原為圓錐后的軸截面, 由題意知AC=4 cm,∠ASO=30, O1C=OA, 設(shè)O1C=r,則OA=2r, 又==sin 30,∴SC=2r,SA=4r, ∴AC=SA-SC=2r=4 cm,∴r=2 cm. ∴圓臺(tái)的側(cè)面積為S=π(r+2r)4=24π(cm2). 4.三棱錐P-ABC中,D,E分別為PB,PC的中點(diǎn),記三棱錐D-ABE的體積為V1,P-ABC的體積為V2,則=________. 答案 解析 V1=VD-ABE=VE-ABD=VE-ABP=VA-BEP=VA-BCP=VP-ABC=V2. 5.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,且AD=3BC,過(guò)A1,C,D三點(diǎn)的平面記為α,BB1與平面α的交點(diǎn)為Q,則的值為________. 答案 2 解析 設(shè)A1Q∩DC=P,則點(diǎn)P∈AB, 因?yàn)锳D∥BC,且AD=3BC,所以==, 又BB1∥AA1,BB1=AA1,所以===, 從而BB1=3BQ,即=2. 6.(2018南京金陵中學(xué)模擬)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正方體的表面積為36,則這個(gè)球的體積為________. 答案 9π 解析 正方體的棱長(zhǎng)為, 設(shè)球的半徑為R,則2R=, ∴R=, ∴V球=π3=9π. 7.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E,F(xiàn)分別為BC,DC的中點(diǎn),沿AE,EF,AF折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,則這個(gè)四面體的體積為________. 答案 解析 以AE,EF,AF為折痕, 折疊這個(gè)正方形,使點(diǎn)B,C,D重合于一點(diǎn)P,得到一個(gè)四面體,如圖所示. ∵在折疊過(guò)程中,始終有AB⊥BE,AD⊥DF, 即AP⊥PE,AP⊥PF, 且PE∩PF=P,PE,PF?平面PEF, ∴AP⊥平面EFP. 四面體的底面積為S△EFP=PEPF, 高為AP=2. ∴四面體A-EFP的體積 VA-EFP=112=. 8.如圖1所示是一種生活中常見(jiàn)的容器,其結(jié)構(gòu)如圖2,其中ABCD是矩形,ABFE和CDEF都是等腰梯形,且AD⊥平面CDEF,現(xiàn)測(cè)得AB=20 cm,AD=15 cm,EF=30 cm,AB與EF間的距離為25 cm,則幾何體EF-ABCD的體積為________cm3. 答案 3 500 解析 在EF上,取兩點(diǎn)M,N(圖略),分別滿足EM=NF=5,連結(jié)DM,AM,BN,CN,則該幾何體就被分割成兩個(gè)棱錐和一個(gè)棱柱,根據(jù)柱、錐體的體積公式以及題中所給的相關(guān)量,可以求得V=201520+220155=3 500. 9.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90,點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)AD+DC1最小時(shí),三棱錐D-ABC1的體積為________. 答案 解析 將側(cè)面展開如圖所示, 所以由平面幾何性質(zhì)可得AD+DC1≥AC1,當(dāng)且僅當(dāng)A,D,C1三點(diǎn)共線時(shí)取到等號(hào). 此時(shí)BD=1,所以S△ABD=ABBD=. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中有BB1⊥CB, 又AB⊥CB,且BB1∩AB=B,BB1,AB?平面ABD, 所以CB⊥平面ABD, 所以C1B1⊥平面ABD,即C1B1是三棱錐C1-ABD的高, 所以VD-ABC1=VC1-ABD=C1B1S△ABD=2=. 10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90. (1)證明:平面PAB⊥平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積. (1)證明 由已知∠BAP=∠CDP=90,得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD,AP∩PD=P,AP,PD?平面PAD, 從而AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. (2)解 在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD,垂足為E. 由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,AD∩AB=A,AD,AB?平面ABCD, 所以PE⊥平面ABCD. 設(shè)AB=x,則由已知可得AD=x,PE=x. 故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=ABADPE=x3. 由題設(shè)得x3=,故x=2. 從而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2. 可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為PAPD+PAAB+PDDC+BC2sin 60=6+2. B組 能力提高 11.如圖,在圓錐VO中,O為底面圓心,半徑OA⊥OB,且OA=VO=1,則O到平面VAB的距離為________. 答案 解析 由題意可得三棱錐V-AOB的體積為 V三棱錐V-AOB=S△AOBVO=. △VAB是邊長(zhǎng)為的等邊三角形, 其面積為()2=, 設(shè)點(diǎn)O到平面VAB的距離為h, 則V三棱錐O-VAB=S△VABh =h=V三棱錐V-AOB=, 解得h=, 即點(diǎn)O到平面VAB的距離是. 12.如圖所示,ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F(xiàn)分別是AC,PC的中點(diǎn),PA=2,AB=1,則三棱錐C-PED的體積為________. 答案 解析 ∵PA⊥平面ABCD,∴PA是三棱錐P-CED的高,PA=2. ∵ABCD是正方形,E是AC的中點(diǎn), ∴△CED是等腰直角三角形. AB=1,故CE=ED=, S△CED=CEED==. 故VC-PED=VP-CED=S△CEDPA =2=. 13.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=a,∠ABC=60,平面ACEF⊥平面ABCD,四邊形ACEF是平行四邊形,點(diǎn)M在線段EF上. (1)求證:BC⊥平面ACEF; (2)當(dāng)FM為何值時(shí),AM∥平面BDE?證明你的結(jié)論. (1)證明 ∵在等腰梯形ABCD中, AB∥CD,AD=DC=a,∠ABC=60, ∴△ADC是等腰三角形,且∠BCD=∠ADC=120, ∴∠DCA=∠DAC=30, ∴∠ACB=90,即BC⊥AC. 又∵平面ACEF⊥平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC,BC?平面ABCD, ∴BC⊥平面ACEF. (2)解 當(dāng)FM=a時(shí),AM∥平面BDE. 證明如下: 設(shè)AC∩BD=N,連結(jié)EN,如圖. ∵∠ACB=90,∠ABC=60,BC=a, ∴AC=a,AB=2a,∴CN∶NA=1∶2, ∵四邊形ACEF是平行四邊形,∴EF=AC=a. ∵AM∥平面BDE,AM?平面ACEF, 平面ACEF∩平面BDE=NE, ∴AM∥NE,∴四邊形ANEM為平行四邊形, ∴FM∶ME=1∶2, ∴FM=EF=AC=. ∴當(dāng)FM=a時(shí),AM∥平面BDE. 14.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面A1ABB1是菱形,且垂直于底面ABC,∠A1AB=60,E,F(xiàn)分別是AB1,BC的中點(diǎn). (1)求證:直線EF∥平面A1ACC1; (2)在線段AB上確定一點(diǎn)G,使平面EFG⊥平面ABC,并給出證明. (1)證明 連結(jié)A1C,A1E. ∵側(cè)面A1ABB1是菱形,E是AB1的中點(diǎn), ∴E也是A1B的中點(diǎn), 又F是BC的中點(diǎn),∴EF∥A1C. ∵A1C?平面A1ACC1,EF?平面A1ACC1, ∴直線EF∥平面A1ACC1. (2)解 當(dāng)=時(shí),平面EFG⊥平面ABC, 證明如下:連結(jié)EG,F(xiàn)G. ∵側(cè)面A1ABB1是菱形,且∠A1AB=60, ∴△A1AB是等邊三角形, ∵E是A1B的中點(diǎn),=,∴EG⊥AB. ∵平面A1ABB1⊥平面ABC,且平面A1ABB1∩平面ABC=AB,EG?平面A1ABB1, ∴EG⊥平面ABC. 又EG?平面EFG,∴平面EFG⊥平面ABC.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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