2020版高考數學一輪復習 第7章 立體幾何 第3講 課后作業(yè) 理（含解析）.doc

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第7章 立體幾何 第3講 A組　基礎關 1．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(　　) A．點A B．點B C．點C但不過點M D．點C和點M 答案　D 解析　因為M∈AB?平面ABC，C∈平面ABC.M∈l?β，C∈β，所以γ∩β＝直線CM. 2．(2016山東高考)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若直線a，b相交，設交點為P，則P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件． 3．(2018華南師大附中模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是線段BC上的動點，F是線段CD1上的動點，且E，F不重合，則直線AB1與直線EF的位置關系是(　　) A．相交且垂直 B．共面 C．平行 D．異面且垂直 答案　D 解析　如圖所示，AB1⊥平面BCD1，EF?平面BCD1，故AB1⊥EF且AB1與EF異面． 4．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論錯誤的是(　　) A．A1，M，O三點共線 B．M，O，A1，A四點共面 C．A1，O，C，M四點共面 D．B，B1，O，M四點共面 答案　D 解析　由正方體的性質知，O也是A1C的中點，因此A1，M，O三點共線，又直線與直線外一點確定一個平面，所以B，C中的結論正確．由BB1與A1C異面知D中的結論錯誤，故選D. 5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線(　　) A．不存在 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有無數條 答案　D 解析　在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點，如圖： 所以D正確． 6．下列各圖是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的圖形是(　　) 答案　D 解析?、僭贏中易證PS∥QR， ∴P，Q，R，S四點共面． ②在C中易證PQ∥SR， ∴P，Q，R，S四點共面． ③在D中，∵QR?平面ABC， PS∩面ABC＝P且P?QR， ∴直線PS與QR為異面直線． ∴P，Q，R，S四點不共面． ④在B中P，Q，R，S四點共面，證明如下： 取BC中點N，可證PS，NR交于直線B1C1上一點，∴P，N，R，S四點共面，設為α， 可證PS∥QN，∴P，Q，N，S四點共面，設為β. ∵α，β都經過P，N，S三點，∴α與β重合， ∴P，Q，R，S四點共面．故選D. 7．如圖所示，在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　) A. B． C. D． 答案　D 解析　連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，設AB＝1，則AA1＝2，A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝.故選D. 8．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對數為________． 答案　3 解析　平面圖形的翻折應注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面直線的有3對． 9．如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AB的中點為M，DD′的中點為N，則異面直線B′M與CN所成的角是________． 答案　90 解析　取AA′的中點Q，連接QN，BQ，且BQ與B′M相交于點H，則QN綊AD綊BC，從而有四邊形NQBC為平行四邊形，所以NC∥QB，則有∠B′HB為異面直線B′M與CN所成的角． 又∵B′B＝BA，∠B′BM＝∠BAQ＝90，BM＝AQ， ∴△B′BM≌△BAQ，∴∠MB′B＝∠QBM.而∠B′MB＋∠MB′B＝90，從而∠B′MB＋∠QBM＝90， ∴∠MHB＝90. B組　能力關 1．正四棱錐P－ABCD中，四條側棱長均為2，底面ABCD是正方形，E為PC的中點，若異面直線PA與BE所成的角為45，則該四棱錐的體積是(　　) A．4 B．2 C． D． 答案　D 解析　如圖，連接AC，BD.設AC∩BD＝O，連接PO，OE，∵O，E分別是AC和PC的中點，∴OE∥PA，OE＝PA＝1，則∠BEO即為異面直線PA，BE所成的角，即∠BEO＝45， 易證PO⊥平面ABCD，OB⊥平面PAC，所以PO⊥OB，△BOE是等腰直角三角形，所以OB＝OE＝1，BC＝，PO＝＝，所以四棱錐的體積V＝BC2PO＝2＝. 2．(2018西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________． 答案　②③④ 解析　還原成正四面體A－DEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合．易知GH與EF異面，BD與MN異面．又△GMH為等邊三角形， ∴GH與MN成60角，易證DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE. 因此正確的序號是②③④.