高中數(shù)學(xué) 模塊綜合質(zhì)量檢測 北師大版選修45

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1、 模塊綜合質(zhì)量檢測 (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，ab>0，－<－，則下列不等式成立的是(　　) A．bc<ad　　　　　　 B．bc>ad C．> D．< 解析：將－<－兩邊同乘正數(shù)ab，得－bc<－ad.所以bc>ad. 答案：B 2．不等式|x|>的解集為 (　　) A．{x|x>2或x<－1} B．{x|－1<x<2} C．{x|x&l

2、t;1或x>2} D．{x|1<x<2} 解析：|x|>?或解得x<1或x>2. 答案：C 3．設(shè)p，q是兩個(gè)命題，p：≤0，q：|2x＋1|<1，則p是q的(　　) A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件 解析：由題意，得p：－1≤x<0，q：－1<x<0. 所以由q可以推出p，由p不可以推出q. 所以p是q的必要非充分條件． 答案：B 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，x2＋y2能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假設(shè)當(dāng)n＝2k＋1(k∈N＋)時(shí)結(jié)論正確，再推

3、當(dāng)n＝2k＋3時(shí)結(jié)論正確 B．假設(shè)當(dāng)n＝2k－1(k∈N＋)時(shí)結(jié)論正確，再推當(dāng)n＝2k＋1時(shí)結(jié)論正確 C．假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)結(jié)論正確，再推當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論正確 D．假設(shè)當(dāng)n≤k(k∈N＋，k≥1)時(shí)結(jié)論正確，再推當(dāng)n＝k＋2時(shí)結(jié)論正確 解析：因?yàn)閚為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)當(dāng)n＝2k－1時(shí)結(jié)論正確，再推當(dāng)n＝2k＋1時(shí)結(jié)論正確． 答案：B 5．若x，y，z∈(0，＋∞)，且x＋y＋z＝30，則lg x＋lg y＋lg z的取值范圍是(　　) A．(－∞，3] B．(－∞，10] C．[3，＋∞) D．[10，＋∞) 解析：因?yàn)閤＋y＋z≥

4、3，即xyz≤103， 所以lg xyz≤lg 103＝3， 即lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤3， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝10時(shí)等號(hào)成立． 答案：A 6．函數(shù)y＝3＋4的最大值為(　　) A． B．5 C．7 D．11 解析：函數(shù)的定義域?yàn)閇5,6]，且y>0， y＝3＋4 ≤·＝5， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝時(shí)取等號(hào)． 所以ymax＝5. 答案：B 7．不等式|2x－log2x|<2x＋|log2x|的解集為(　　) A．{x|1<x<2} B．{x|0<x<1} C．{x|x>1} D．{x|

5、x>2} 解析：根據(jù)對(duì)數(shù)的意義，可得x>0.則不等式|2x－log2x|< 2x＋|log2x|等價(jià)于|2x－log2x|<|2x|＋|log2x|， 即2xlog2x>0.由x>0，可得原不等式等價(jià)于log2x>0. 解得x>1. 答案：C 8．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，則下列代數(shù)式的值最大的是(　　) A．a(chǎn)1b1＋a2b2 B．a(chǎn)1a2＋b1b2 C．a(chǎn)1b2＋a2b1 D． 解析：由0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1

6、＋b2＝1， 可令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝， 則a1b1＋a2b2＝×＋×＝， a1a2＋b1b2＝， a1b2＋a2b1＝. 比較可知選項(xiàng)A正確． 答案：A 9．如果loga3>logb3，且a＋b＝1，那么(　　) A．0<a<b<1 B．0<b<a<1 C．1<a<b D．1<b<a 解析：loga3>logb3?－>0?>0. ∵0<a<1,0<b<1，∴l(xiāng)og3alog3b>0. ∴l(xiāng)og3b－log3a>0，l

7、og3b>log3a. ∴b>a.∴0<a<b<1. 答案：A 10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＝1，則x2y2有(　　) A．最小值和最大值1　 B．最小值0和最大值 C．最小值和最大值 D．最小值1 解析：因?yàn)閤2y2≥0，(x2＋y2)(y2＋x2)≥(xy＋yx)2，即4x2y2≤1，故x2y2≤，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝y(tǒng)2＝時(shí)等號(hào)成立．所以x2y2∈. 答案：B 11．若函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．5或8 B．－1或5 C．－1或－4 D．－4或8 解析：當(dāng)a>2，即－<

8、;－1時(shí)， f(x)＝ 結(jié)合其圖像，可知函數(shù)f(x)min＝f＝3， 即－3－a－1＝3.解得a＝8. 當(dāng)a<2，即－>－1時(shí)， f(x)＝ 結(jié)合其圖像，可知函數(shù)f(x)min＝f＝3， 即3＋a＋1＝3.解得a＝－4. 當(dāng)a＝2時(shí)，函數(shù)f(x)＝3|x＋1|的最小值為0，不符合題意． 因此，所求實(shí)數(shù)a的值為8或－4. 答案：D 12．已知函數(shù)f(x)＝2|x|，若存在x∈R，使得關(guān)于x的不等式2f(x)＋≤k成立，則實(shí)數(shù)k的最小值是(　　) A．3　　 B．2　　 C．2　　 D． 解析：將f(x)＝2|x|代入關(guān)于x的不等式2f(x)＋≤k， 得k

9、≥2×2|x|＋.因?yàn)閨x|≥0，所以2|x|≥1.令2|x|＝t，則t≥1，關(guān)于x的不等式化為k≥2t＋.容易判斷函數(shù)φ(t)＝2t＋在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)．若存在x，使不等式成立，則只需k≥φ(t)min，即 k≥φ(1)．解得k≥3.故實(shí)數(shù)k的最小值為3. 答案：A 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．函數(shù)y＝(x>1)的值域是______________. 解析：y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝4時(shí)等號(hào)成立，∴函數(shù)的值域是[8，＋∞)． 答案：[8，＋∞) 14．若關(guān)

10、于x的不等式>|a－5|＋1對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________． 解析：＝|x|＋≥2＝2， 故應(yīng)有2>|a－5|＋1，即|a－5|<1.所以4<a<6. 答案：(4,6) 15．下列命題中，真命題的序號(hào)為_________________． ①logab＋logbc＋logca≥3成立，當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c∈(1，＋∞)； ②≥2成立，當(dāng)且僅當(dāng)a≠0； ③a2＋b2＋c2≤ab＋bc＋ca. 解析：①當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c∈(1，＋∞)或(0,1)時(shí)，不等式成立．③不妨設(shè)a≥b≥c，由順序和≥亂序和，得 a2＋b2

11、＋c2≥ab＋bc＋ca. 答案：② 16．給出下列四個(gè)命題： ①a＋b≥2； ②sin2x＋的最小值是4； ③設(shè)x，y都是正數(shù)，若＋＝1，則x＋y的最小值是12； ④若|x－2|<ε，|y－2|<ε，則|x－y|<2ε. 其中所有真命題的序號(hào)是________. 解析：①不正確，如a＝－2，b＝0. ②不正確，因?yàn)閟in2x＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)sin2x＝，即sin2x＝2時(shí)取等號(hào)，這是不可能的，故②錯(cuò)誤． ③不正確，(x＋y)＋＝10＋＋≥10＋6＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝3x>0時(shí)取等號(hào)． ④正確，|x－y|＝|x－2＋2－y|≤|x－2|

12、＋|2－y|< ε＋ε＝2ε.所以應(yīng)填④. 答案：④ 三、解答題(本大題共6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)設(shè)關(guān)于x的不等式lg(|x＋3|＋ |x－7|)>a. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，解這個(gè)不等式； (2)當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，這個(gè)不等式的解集為R? 解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式可變形為|x＋3|＋|x－ 7|>10，易求得其解集為{x|x<－3或x>7}． (2)∵|x＋3|＋|x－7|≥|x＋3－(x－7)|＝10對(duì)任意x∈R都成立， ∴l(xiāng)g(|x＋3|＋|x－7|)≥lg 10＝1對(duì)任意

13、x∈R都成立． ∴若lg(|x＋3|＋|x－7|)>a 對(duì)任意x∈R都成立，則a<1. 18．(本小題滿分12分)用柯西不等式推導(dǎo)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距離公式． 解：設(shè)點(diǎn)P1(x1，y1)是直線l上的任意一點(diǎn)， 則Ax1＋By1＋C＝0， ① |P1P|＝. ② 由P1，P兩點(diǎn)間的距離|P1P|有最小值，得 · ≥|A(x0－x1)＋B(y0－y1)| ＝|Ax0＋By0＋C－(Ax1＋By1＋C)|. 由①②，得·|P1P|≥|Ax0＋By0＋C|， 即|P1P|≥. ③ 當(dāng)且僅當(dāng)(y

14、0－y1)∶(x0－x1)＝B∶A，即P1P⊥l時(shí)，③式取等號(hào)．故點(diǎn)到直線的距離公式為 |P1P|＝. 19．(本小題滿分12分)已知正數(shù)x，y，z滿足x2＋y2＋z2＝6. (1)求x＋2y＋z的最大值； (2)若不等式|a＋1|－2a≥x＋2y＋z對(duì)滿足條件的x，y，z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)由柯西不等式，得 (x2＋y2＋z2)(12＋22＋12)≥(x＋2y＋z)2， 即(x＋2y＋z)2≤36. 又x，y，z是正數(shù)，所以x＋2y＋z≤6. 所以x＋2y＋z的最大值為6， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即當(dāng)x＝z＝1，y＝2時(shí)取得最大值． (2)由題意及(1)，得

15、|a＋1|－2a≥6. 所以或 解得a≤－. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 20．(本小題滿分12分)(1)設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3； (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)使它不成立的x的值． (1)證明：已知x是正數(shù)，由平均值不等式，知 x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2. 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立． (2)解：若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥

16、 8x3仍然成立．證明如下： 由(1)，知當(dāng)x>0時(shí)，不等式成立； 當(dāng)x≤0時(shí)，8x3≤0， (x＋1)(x2＋1)(x3＋1) ＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1) ＝(x＋1)2(x2＋1)≥0， 此時(shí)不等式仍然成立． 綜上，當(dāng)x∈R時(shí)，不等式仍成立． 21．(本小題滿分12分)設(shè)不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集為集合M，a，b∈M. (1)求證：<； (2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大?。? (1)證明：記f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝ 由－2<－2x－1<0，得－<x<. 故M＝.

17、 所以≤|a|＋|b|<×＋×＝. (2)解：由(1)，得a2<，b2<. 因?yàn)閨1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－ 4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0， 所以|1－4ab|2>4|a－b|2，即|1－4ab|>2|a－b|. 22．(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列{an}滿足an＋1＝a－ nan＋1，n＝1,2,3，…. (1)當(dāng)a1＝2時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式； (2)當(dāng)a1≥3時(shí)，求證： ①不等式an≥n＋2對(duì)所有n≥1成立；

18、 ②不等式＋＋…＋≤對(duì)所有n≥1成立． (1)解：由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3. 由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4. 由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5. 由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)． (2)證明：①用數(shù)學(xué)歸納法證明． 當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥1＋2＝3，不等式成立． 假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即ak≥k＋2， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1>k＋3＝(k＋1)＋2. 也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1>(k＋1)＋2. 綜上，對(duì)所有的n≥1，

19、有an≥n＋2. ②由an＋1＝an(an－n)＋1及①，可知當(dāng)k≥2時(shí)，有 ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1≥2(2ak－2＋1)＋1＝22ak－2＋2＋1≥ 23ak－3＋22＋2＋1≥…≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1＝ 2k－1·(a1＋1)－1. 于是1＋ak≥2k－1(a1＋1)，≤·， k≥2. 所以＋＋…＋≤＋＝＝<≤＝. 因此，原不等式成立． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375