（浙江專版）2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題4.5 函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用（講）.doc

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第05節(jié) 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 【考綱解讀】 考 點(diǎn) 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 了解函數(shù) y＝A sin (ωx＋φ) 的物理意義，掌握 y＝A sin (ωx＋φ) 的圖象，了解參數(shù) A， ω，φ 對(duì)函數(shù)圖象變化的影響. 2013浙江文6理4； 2014浙江文4，理4； 2016浙江文11，理10. 1.“五點(diǎn)法”作圖； 2.函數(shù)圖象的變換； 3.三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題. 4.往往將恒等變換與圖象和性質(zhì)結(jié)合考查 5.備考重點(diǎn)： (1) 掌握函數(shù)圖象的變換； (2) 掌握三角函數(shù)模型的應(yīng)用. 【知識(shí)清單】 1.求三角函數(shù)解析式 （1）的有關(guān)概念 ， 表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí) 振幅 周期 頻率 相位 初相 （2）用五點(diǎn)法畫一個(gè)周期內(nèi)的簡圖 用五點(diǎn)法畫一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示： － （3）由的圖象求其函數(shù)式： 已知函數(shù)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置． （4）利用圖象變換求解析式： 由的圖象向左或向右平移個(gè)單位，，得到函數(shù)，將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得，將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得. 2.三角函數(shù)圖象的變換 1.函數(shù)圖象的變換（平移變換和上下變換） 平移變換：左加右減，上加下減 把函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像. 伸縮變換: 把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長到原來的，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖像. 2.由的圖象變換出的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換,利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少. 途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將的圖象向左或向右平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得的圖象. 途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換：先將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?)，再沿軸向左()或向右()平移個(gè)單位，便得的圖象. 注意：函數(shù)的圖象，可以看作把曲線上所有點(diǎn)向左(當(dāng)時(shí))或向右(當(dāng)時(shí))平行移動(dòng)個(gè)單位長度而得到. 3 .函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 （1）的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是. （2）對(duì)于和來說，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系. 的圖象有無窮多條對(duì)稱軸，可由方程解出；它還有無窮多個(gè)對(duì)稱中心，它們是圖象與軸的交點(diǎn)，可由，解得，即其對(duì)稱中心為． （3）若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有. （4）的最小正周期都是. 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1求三角函數(shù)解析式 【1-1】【2018屆河北省石家莊二中三?！繉⒅芷跒榈暮瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得的函數(shù)解析式為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【1-2】【2018云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)適應(yīng)性月考卷一】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】的圖象向左平移單位得到的圖象，即將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是，故選C. 【領(lǐng)悟技法】 1.根據(jù)的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個(gè)方面來考慮： (1) 的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即＝； (2) 的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即＝； (3) 的確定：結(jié)合圖象，先求出周期，然后由 ()來確定； (4) 求，常用的方法有： ①代入法：把圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)已知)或代入圖像與直線的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)． ②五點(diǎn)法：確定值時(shí)，由函數(shù)最開始與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 (即令，)確定.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式時(shí)，要注意選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)法”中的哪一個(gè)點(diǎn),“第一點(diǎn)”（即圖象上升時(shí)與軸的交點(diǎn)）為，其他依次類推即可. 2.注意：（1）函數(shù)圖象在其對(duì)稱軸處取得最大值或最小值，且相鄰的最大值與最小值間的距離為其函數(shù)的半個(gè)周期； （2）函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是其對(duì)稱中心，相鄰兩對(duì)稱中心間的距離也是其函數(shù)的半個(gè)周期；（3）函數(shù)取最值的點(diǎn)與相鄰的與x軸的交點(diǎn)間的距離為其函數(shù)的個(gè)周期. 【觸類旁通】 【變式一】【2018安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校聯(lián)盟摸底】已知函數(shù)的圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，則所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可以為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由圖易知： ， ，∴，即， 由五點(diǎn)法作圖知： ，得： ，∴ 即，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得： ， 即= 故選A. 【變式二】【2018安徽省六安市壽縣第一中學(xué)上學(xué)期第一次月考】函數(shù) 的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位后的解析式為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象知，，解得，根據(jù)五點(diǎn)法畫正弦函數(shù)圖象，知時(shí)，，解得，將的圖象向左平移個(gè)單位后，得到，故選B. 考點(diǎn)2 三角函數(shù)圖象的變換 【2-1】【2018屆浙江省嘉興市第一中學(xué)高三上期中】為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ） A. 向右平移個(gè)單位 B. 向右平移個(gè)單位 C. 向左平移個(gè)單位 D. 向左平移個(gè)單位 【答案】A 【2-2】【2018黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)上學(xué)期期初考】已知函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的圖象（ ） A. 可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位而得 B. 可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位而得 C. 可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位而得 D. 可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位而得 【答案】D 【解析】由已知得， 則的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位而得，故選D. 【領(lǐng)悟技法】 1. 在解決函數(shù)圖像的變換問題時(shí)，要遵循“只能對(duì)函數(shù)關(guān)系式中的變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯(cuò)． 2. 圖像變換法．若函數(shù)圖像可由某個(gè)基本函數(shù)的圖像經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖像變換作出，但要意函數(shù)圖象平移的規(guī)律，是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移.對(duì)不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．注 3.解決圖象變換問題時(shí)，要分清變換的對(duì)象及平移(伸縮)的大小，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤． 4.特別提醒：進(jìn)行三角函數(shù)的圖象變換時(shí)，要注意無論進(jìn)行什么樣的變換都是變換變量本身;要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù). 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆福建省兩大名校一?！繉⒑瘮?shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：根據(jù)輔助角公式，我們可將函數(shù)化為余弦函數(shù)型函數(shù)的形式，進(jìn)而得到平移后函數(shù)的解析式，結(jié)合所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案. 詳解：， 將其圖象向左平移（）個(gè)單位長度， 所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為， 由于為偶函數(shù)， 則， 則， 由于，故當(dāng)時(shí)，. 故選：C. 【變式二】【2018屆浙江省嘉興市第一中學(xué)9月測試】由函數(shù)的圖象，變換得到函數(shù)的圖象，這個(gè)變換可以是（ ） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 【答案】B 【解析】由函數(shù)的圖象，變換得到函數(shù)的圖象向右平移. 故選：B 考點(diǎn)3函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【3-1】【2018年理天津卷】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù) A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 B. 在區(qū)間上單調(diào)遞減 C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減 【答案】A 【解析】分析：由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可. 詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個(gè)單位長度之后的解析式為：.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為：.本題選擇A選項(xiàng). 【3-2】【2017浙江杭州二模】設(shè)函數(shù). （1）求函數(shù)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值. 【答案】（1）；（2）3. 試題解析：（1）因?yàn)?. ， ， 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為： ； （2）， ， ， 的最大值是3. 【3-3】平潭國際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個(gè)觀測點(diǎn)觀測到該處水深（米）是隨著一天的時(shí)間呈周期性變化，某天各時(shí)刻的水深數(shù)據(jù)的近似值如下表： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 2．4 1.5 0．6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 （Ⅰ）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）.觀察散點(diǎn)圖，從 ①， ②，③ 中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；（Ⅱ）為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的5～18時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（Ⅰ） 中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全. 【答案】(1) 選②做為函數(shù)模型， ;(2) 這一天可以安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時(shí)間段組織訓(xùn)練. 才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全. 【解析】試題分析 ：（1）先畫出散點(diǎn)圖，可知選②做為函數(shù)模型，同時(shí)可求出各參數(shù)， , 代最值點(diǎn)可求.（2）由（Ⅰ）知： ,令，可解得 . 試題解析：（Ⅰ）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示： - 依題意，選②做為函數(shù)模型， （Ⅱ）由（Ⅰ）知： 令，即 又 ∴這一天可以安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時(shí)間段組織訓(xùn)練， 才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全. 【領(lǐng)悟技法】 1. 求形如或 (其中A≠0，)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：①把“ ()”視為一個(gè)“整體”；②A>0(A<0)時(shí)，所列不等式的方向與 ()， ()的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同(反)． 2. 如何確定函數(shù)當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性 對(duì)于函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，要特別注意的正負(fù)，若為負(fù)值，需要利用誘導(dǎo)公式把負(fù)號(hào)提出來，轉(zhuǎn)化為的形式，然后求其單調(diào)遞增區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi)；若求其遞減區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi). 3.求函數(shù) (或，或)的單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)將化為正． (2)將看成一個(gè)整體，由三角函數(shù)的單調(diào)性求解． 4．特別提醒：解答三角函數(shù)的問題時(shí)，不要漏了“”. 三角函數(shù)存在多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)易錯(cuò)用“∪”聯(lián)結(jié)．求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)若的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正，同時(shí)切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域． 【觸類旁通】 【變式一】【2018年天津卷文】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù) A. 在區(qū)間 上單調(diào)遞增 B. 在區(qū)間 上單調(diào)遞減 C. 在區(qū)間 上單調(diào)遞增 D. 在區(qū)間 上單調(diào)遞減 【答案】A 【解析】分析：首先確定平移之后的對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式，然后逐一考查所給的選項(xiàng)是否符合題意即可. 詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個(gè)單位長度之后的解析式為：.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤；本題選擇A選項(xiàng). 【變式二】【2018福建省閩侯第六中學(xué)第一次月考】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再往上平移1個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在下面哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例：將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像,若,的圖像都經(jīng)過點(diǎn),則的值可以是( ) A. B. C. D. 易錯(cuò)分析：函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度誤寫成. 正確解析：依題意,因?yàn)?的圖像都經(jīng)過點(diǎn),所以,又因?yàn)?所以,或,即或,,在,中,取,即得,故選B. 溫馨提醒：(1)三角函數(shù)圖像變換是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容．解答此類問題的關(guān)鍵是抓住“只能對(duì)函數(shù)關(guān)系式中的變換”的原則．(2)對(duì)于三角函數(shù)圖像平移變換問題,其移變換規(guī)則是“左加右減”,并且在變換過程中只變換其中的自變量,如果的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向,另外,當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的名稱不同時(shí),首先要將函數(shù)名稱統(tǒng)一,其次要把變換成,最后確定平移的單位,并根據(jù)的符號(hào)確定平移的方向. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.""數(shù)"與"形"反映了事物兩個(gè)方面的屬性.我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 【典例】【2018屆北京市城六區(qū)一?！亢瘮?shù)（）的部分圖象如圖所示， 其中是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)． (I)寫出及的值； (Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值為；最大值為. 【解析】試題分析： （Ⅰ）結(jié)合函數(shù)的最小正周期可得，由時(shí)的函數(shù)值可得，函數(shù)的解析式為： ，則. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；最大值為. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ， 因?yàn)?，所以? 當(dāng)即時(shí)， 的最小值為. 當(dāng)即時(shí)， 的最大值為.