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第11講 函數(shù)與方程
1.函數(shù)的零點(diǎn)
(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義
對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使 的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn).
(2)等價(jià)關(guān)系
方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與 有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有 .
(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有 ,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得 ,這個(gè) 也就是方程f(x)=0的根.
2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函數(shù)y=
ax2+bx+
c(a>0)
的圖像
與x軸的交點(diǎn)
無交點(diǎn)
零點(diǎn)個(gè)數(shù)
常用結(jié)論
1.在區(qū)間D上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).
2.周期函數(shù)如果存在零點(diǎn),則必有無窮個(gè)零點(diǎn).
題組一 常識(shí)題
1.[教材改編] 函數(shù)f(x)=ln x+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 .
2.[教材改編] 如果函數(shù)f(x)=ex-1+4x-4的零點(diǎn)在區(qū)間(n,n+1)(n為整數(shù))內(nèi),則n= .
3.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x3-2x2+x的零點(diǎn)是 .
4.[教材改編] 若函數(shù)f(x)=x2-4x+a存在兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
題組二 常錯(cuò)題
◆索引:錯(cuò)用零點(diǎn)存在性定理;誤解函數(shù)零點(diǎn)的定義;忽略限制條件;二次函數(shù)在R上無零點(diǎn)的充要條件(判別式小于零).
5.函數(shù)f(x)=x+1x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 .
6.函數(shù)f(x)=x2-3x的零點(diǎn)是 .
7.若二次函數(shù)f(x)=x2-2x+m在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
8.若二次函數(shù)f(x)=x2+kx+k在R上無零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .
探究點(diǎn)一 函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷
例1 (1)函數(shù)f(x)=ex-x-2在下列哪個(gè)區(qū)間上必有零點(diǎn) ( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
(2)已知函數(shù)f(x)=lg x+54x-5在區(qū)間(n,n+1)(n∈Z)上存在零點(diǎn),則n= .
[總結(jié)反思] 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法:(1)解方程法,當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí),可直接解方程;(2)零點(diǎn)存在性定理;(3)數(shù)形結(jié)合法,畫出相應(yīng)函數(shù)圖像,觀察與x軸交點(diǎn)來判斷,或轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像在所給區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.
變式題 [2018南昌模擬] 函數(shù)f(x)=ln(x+1)-2x2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
探究點(diǎn)二 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論
例2 (1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f-32+x=f32+x,當(dāng)x∈0,32時(shí),f(x)=ln(x2-x+1),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( )
A.3 B.5 C.7 D.9
(2)[2018河南中原名校模擬] 函數(shù)f(x)=sin2x+π2-log3πx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .
[總結(jié)反思] 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論,基本解法有:(1)直接法,令f(x)=0,有多少個(gè)解則有多少個(gè)零點(diǎn);(2)定理法,利用定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等;(3)圖像法,一般是把函數(shù)分拆為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù),依據(jù)兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
變式題 (1)[2018重慶巴蜀中學(xué)月考] 函數(shù)f(x)=3x-2e-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知函數(shù)f(x)=lnx,x>0,ex,x≤0,則函數(shù)g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .
探究點(diǎn)三 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用
例3 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=g(b)=0,則 ( )
A.f(b)<0
1,2-ex,x≤1,若函數(shù)g(x)=f(x)-m(x-1)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( )
A.(-2,0) B.(-1,0)
C.(-2,0)∪(0,+∞) D.(-1,0)∪(0,+∞)
[總結(jié)反思] 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在三類問題中:一是函數(shù)中不含參數(shù),零點(diǎn)又不易直接求出,考查各零點(diǎn)的和或范圍問題;二是函數(shù)中含有參數(shù),根據(jù)零點(diǎn)情況求函數(shù)中參數(shù)的范圍;三是函數(shù)中有參數(shù),但不求參數(shù),仍是考查零點(diǎn)的范圍問題.這三類問題一般是通過數(shù)形結(jié)合或分離參數(shù)求解.
變式題 (1)[2018山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)二模] 若函數(shù)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]恰有兩個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍為 ( )
A.(0,1] B.{1}
C.{0}∪(1,3] D.[0,3]
(2)若x1,x2分別是函數(shù)f(x)=x-2-x,g(x)=xlog2x-1的零點(diǎn),則下列結(jié)論成立的是 ( )
A.x1=x2 B.x1>x2
C.x1+x2=1 D.x1x2=1
第11講 函數(shù)與方程
考試說明 結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).
【課前雙基鞏固】
知識(shí)聚焦
1.(1)f(x)=0 (2)x軸 零點(diǎn) (3)f(a)f(b)<0 (a,b) f(c)=0 c
2.(x1,0),(x2,0) (x1,0) 2 1 0
對(duì)點(diǎn)演練
1.1 [解析] 函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f(2)<0,f(3)>0,故存在唯一零點(diǎn).
2.0 [解析] 函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f(0)<0,f(1)>0,故其零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi),則n=0.
3.0,1 [解析] 由f(x)=x3-2x2+x=0,解得x1=0,x2=1,所以函數(shù)的零點(diǎn)是0,1.
4.(-∞,4) [解析] Δ=16-4a>0,解得a<4.
5.0 [解析] 函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0,所以函數(shù)沒有零點(diǎn).
6.0,3 [解析] 由f(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3.
7.(-8,1] [解析] 二次函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸方程為x=1.若在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn),只需f(1)≤0且f(4)>0即可,即-1+m≤0且8+m>0,解得-80,故選C.
(2)f(x)=lg x+54x-5是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,
可得f(n)<0,f(n+1)>0.因?yàn)閒(1)=54-5<0,f(2)=lg 2+52-5<0,f(3)=lg 3+154-5<0,f(4)=lg 4+5-5=lg 4>0,
所以函數(shù)f(x)在(3,4)上存在零點(diǎn),故n=3.
變式題 B [解析] f(x)=ln(x+1)-2x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-12>0,則f(1)f(2)<0,所以函數(shù)f(x)=ln(x+1)-2x2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2).
例2 [思路點(diǎn)撥] (1)由已知可得函數(shù)是奇函數(shù),周期為3,且f-32=f(-1)=f(0)=f(1)=f32=0,即可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)函數(shù)f(x)=sin2x+π2-log3πx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=log3πx與y=cos 2x(x>0)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù),利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.
(1)D (2)6 [解析] (1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f-32+x=f32+x,∴f-32+x+32=f32+x+32,可得f(x+3)=f(x),
則函數(shù)f(x)的周期為3.
當(dāng)x∈0,32時(shí),f(x)=ln(x2-x+1),
令f(x)=0,則x2-x+1=1,解得x=0(舍去)或1,
又∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),
∴在區(qū)間-32,32上,有f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0.
由f-32+x=f32+x,取x=0,得f-32=f32,又f32=-f-32,∴f32=f-32=0,
∴f-32=f(-1)=f(0)=f(1)=f32=0.
又∵函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù),
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點(diǎn)有0,1,32,2,3,4,92,5,6,共9個(gè).
(2)函數(shù)f(x)=sin2x+π2-log3πx=cos 2x-log3πx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是y=log3πx與y=cos 2x(x>0)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log3πx與y=cos 2x(x>0)的圖像,如圖,
由圖可知,y=log3πx與y=cos 2x(x>0)的圖像有6個(gè)交點(diǎn),
所以函數(shù)f(x)=sin2x+π2-log3πx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.
變式題 (1)B (2)3 [解析] (1)∵y=3x單調(diào)遞增,y=-2e-x單調(diào)遞增,
∴f(x)=3x-2e-x單調(diào)遞增.
∵f(0)=-2<0,f(8)=2-2e8>0,
∴由零點(diǎn)存在性定理可得,f(x)=3x-2e-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,故選B.
(2)函數(shù)g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的個(gè)數(shù),解方程得f(x)=1或f(x)=2.由f(x)=1得ln x=1(x>0)或ex=1(x≤0),解得x=e或x=0;同理,由f(x)=2得ln x=2(x>0)或ex=2(x≤0),解得x=e2.所以函數(shù)g(x)共有3個(gè)零點(diǎn).
例3 [思路點(diǎn)撥] (1)首先確定函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性,然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可;(2)先轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖像與y=m(x-1)的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可得答案.
(1)B (2)D [解析] (1)易知f(x)是增函數(shù),g(x)在(0,+∞)上也是增函數(shù).
由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以00,所以1f(1)>0,g(a)0時(shí),滿足條件;
當(dāng)m=-1時(shí),直線y=m(x-1)與y=2-ex(x≤1)的圖像相切,可得當(dāng)-10)與曲線y=log2x交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
因?yàn)榍€y=1x關(guān)于直線y=x對(duì)稱,
且曲線y=2x與曲線y=log2x關(guān)于直線y=x對(duì)稱,
所以點(diǎn)x1,1x1與點(diǎn)x2,1x2關(guān)于直線y=x對(duì)稱,
所以1x2-1x1x2-x1=-1,
可得x1x2=1,故選D.
【備選理由】 例1考查將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題,通過分析交點(diǎn)橫坐標(biāo)得零點(diǎn)所在區(qū)間;例2結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性,考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),需要數(shù)形結(jié)合處理,綜合性強(qiáng);例3為有關(guān)方程的解的問題,考查換元法、數(shù)形結(jié)合思想等.
例1 [配合例1使用] [2018運(yùn)城二模] 已知x0是函數(shù)f(x)=2sin x-πl(wèi)n x(x∈(0,π))的零點(diǎn),則 ( )
A.x0∈(0,1) B.x0∈(1,e)
C.x0∈(e,3) D.x0∈(e,π)
[解析] B 設(shè)h(x)=2sin x(x∈(0,π)),g(x)=πl(wèi)n x(x∈(0,π)),則g(1)=0,g(e)=π>2,作出函數(shù)h(x)與g(x)的圖像(圖略)可知,交點(diǎn)在區(qū)間(1,e)內(nèi),即x0∈(1,e).
例2 [配合例2使用] [2018茂名模擬] 已知定義在R上的函數(shù)y=f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,且函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù).若當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=sinπ2x,則函數(shù)g(x)=f(x)-e-|x|在區(qū)間[-2018,2018]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )
A.2017 B.2018
C.4034 D.4036
[解析] D 函數(shù)g(x)=f(x)-e-|x|在區(qū)間[-2018,2018]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),就是y=f(x)的圖像與y=e-|x|的圖像在區(qū)間[-2018,2018]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
∵函數(shù)y=f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,
∴函數(shù)y=f(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=0,故y=f(x)是偶函數(shù),即f(-x)=f(x).
又函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù),
∴f(x+1)=f(-x+1),
故f(x+2)=f(-x)=f(x),
∴函數(shù)f(x)是周期為2的偶函數(shù).
又當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=sinπ2x,畫出y=f(x)與y=1e|x|的部分圖像如圖所示,
由圖像可知,在每個(gè)周期內(nèi)兩函數(shù)的圖像有2個(gè)交點(diǎn),
∴函數(shù)g(x)=f(x)-e-|x|在區(qū)間[-2018,2018]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為20182=4036.故選D.
例3 [配合例3使用] 函數(shù)y=g(x)(x∈R)的圖像如圖所示,若關(guān)于x的方程[g(x)]2+mg(x)+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍是 .
[答案] -32,-43
[解析] 設(shè)g(x)=t,
∵關(guān)于x的方程[g(x)]2+mg(x)+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,
∴關(guān)于t的方程t2+mt+2m+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且一個(gè)在(0,1)上,一個(gè)在[1,+∞)上.
設(shè)h(t)=t2+mt+2m+3,
①當(dāng)有一個(gè)根為1時(shí),h(1)=1+m+2m+3=0,解得m=-43,此時(shí)另一個(gè)根為13,符合題意;
②當(dāng)沒有根為1時(shí),則h(0)=2m+3>0,h(1)=1+m+2m+3<0,解得-32
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