2018北京市石景山區(qū)高三(上)期末數(shù)學(xué)(理)
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..2018北京市石景山區(qū)高三(上)期末數(shù) 學(xué)(理) 2018.1第一部分(選擇題 共 40 分)一、選擇題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.已知集合 , ,則 ( )??2,10,A????(1)20Bx????AB?IA. B. C. D.?,0,?2.設(shè) 是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于( )i2i?A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.用計算機在 之間隨機選取一個數(shù) ,則事件“ ”發(fā)生的概率為( )01: a13a?A. B. C.D.1324.以角 的頂點為坐標原點,始邊為 軸的非負半軸,建立平面直角坐標系,角 終邊過點 ,則?x ???2,4P( )tan?????????A.B. C.D.13?3?1335. “ ”是“方程 表示雙曲線”的( )0m?2208xym?A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.給定函數(shù)① ,② ,③ ,④ ,其中在區(qū)間 上單調(diào)遞減的函數(shù)序號12yx?12log()x?1yx??12xy?(0,1)是( )A.①④ B.①② C.②③ D.③④7. 《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題:今有芻甍(底面為矩形的屋脊狀的幾何體) ,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高一丈,問積幾何.下圖網(wǎng)格紙中實線部分為此芻甍的三視圖,設(shè)網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為 1丈,那么此芻甍的體積為( )A. 3 立方丈 B. 5 立方丈 C. 6 立方丈 D. 12 立方丈..8. 小明在如圖 1 所示的跑道上勻速跑步,他從點 出發(fā),沿箭頭方向經(jīng)過點 跑到點 ,共用時 ,他的教ABC30s練選擇了一個固定的位置觀察小明跑步的過程,設(shè)小明跑步的時間為 ,他與教練間的距離為 ,表示()ts()ym與 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖 2 所示,則這個固定位置可能是圖 1 中的( )ytA.點 B.點 C.點 D.點MNPQ第二部分(非選擇題共 110 分)二、填空題共 6 小題,每小題 5 分,共 30 分.9.若 , , ,則 的大小關(guān)系為_______.1ln2a?0.83b??????132c?,abc10.執(zhí)行下面的程序框圖,若輸入的 的值為 ,則輸出的 的值是________.x?y11.若實數(shù) 滿足 則 的取值范圍為_________.,xy3,2,yx?????≤≤ ≥ zy??12.設(shè)常數(shù) ,若 的二項展開式中 項的系數(shù)為 ,則 ______. aR?5()a7x10?a?13.在 中, 為 上異于 , 的任一點, 為 的中點,若 ,則ABC?HBCMAHAMBC???urur_________.????14.若集合 且下列四個關(guān)系:},4321{,?dcba① ;② ;③ ;④ 有且只有一個是正確的.1??d請寫出滿足上述條件的一個有序數(shù)組 __________,符合條件的全部有序數(shù)組 的個數(shù)是),(cba ),(dcba_________.QPN M圖 2圖 1 30t(s)y(m)ODC BA..三、解答題共 6 小題,共 80 分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.15. (本小題共 13 分)如圖,在 中, 為邊 上一點, , , .ABCVD6AD?3B2C?(Ⅰ)若 ,求 的大??;2???(Ⅱ)若 ,求 的面積.316. (本小題共 13 分)摩拜單車和 ofo 小黃車等各種共享單車的普及給我們的生活帶來了便利.已知某共享單車的收費標準是:每車使用不超過 小時(包含 小時)是免費的,超過 小時的部分每小時收費 元(不足 小時的部分按 小時計算,1111例如:騎行 小時收費為 元).現(xiàn)有甲、乙兩人各自使用該種共享單車一次.設(shè)甲、乙不超過 小時還車的概率2.52分別為, ; 小時以上且不超過 小時還車的概率分別為 , ;兩人用車時間都不會超過 小時.14 1243(Ⅰ)求甲乙兩人所付的車費相同的概率;(Ⅱ)設(shè)甲乙兩人所付的車費之和為隨機變量 ,求 的分布列及數(shù)學(xué)期望 .??E圖 1B DACAB D C圖 2..17. (本小題共 14 分)如圖,在四棱錐 中,底面 為矩形,平面 平面 , , ,PABCD?BPCD?AB1C?2AB, 為 中點.2PCD?E(Ⅰ)求證: ; /平 面(Ⅱ)求二面角 的余弦值;APC?(Ⅲ)在棱 上是否存在點 ,使得 ?若存在,求 的值;若不存在,說明理由.MBAC?PMC18. (本小題共 13 分)已知函數(shù) .ln())xaf??(Ⅰ)若 ,確定函數(shù) 的零點;1af(Ⅱ)若 ,證明:函數(shù) 是 上的減函數(shù);()x0,)??(Ⅲ)若曲線 在點 處的切線與直線 平行,求 的值.()yfx?1,f 0xy??aB A D C E P ..19. (本小題共 14 分)已知橢圓 離心率等于 , 、 是橢圓上的兩點.2:1(0)xyCab???12(,3)P(2,)Q?(Ⅰ)求橢圓 的方程;(Ⅱ) 是橢圓上位于直線 兩側(cè)的動點.當 運動時,滿足 ,試問直線 的斜率是否,ABPQ,ABABP??AB為定值?如果為定值,請求出此定值;如果不是定值,請說明理由.20. (本小題共 13 分)如果 項有窮數(shù)列 滿足 , ,…, ,即 ,則稱有窮數(shù)列n{}na1n?21na?1na?1(,2)inian????為 “對稱數(shù)列”.例如,由組合數(shù)組成的數(shù)列 就是“對稱數(shù)列”.{}a 0,,C??(Ⅰ)設(shè)數(shù)列 是項數(shù)為 7 的“對稱數(shù)列” ,其中 成等比數(shù)列,且 .依次寫出數(shù)列 的nb1234b253,b{}nb每一項;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列 是項數(shù)為 ( 且 )的“對稱數(shù)列” ,且滿足 ,記 為數(shù)列{}nc21k?*N?k?1nc???nS的前 項和;n(ⅰ)若 是單調(diào)遞增數(shù)列,且 .當 為何值時, 取得最大值?12,kc? 207kc?k21kS?(ⅱ)若 ,且 ,求 的最小值.08?218kS?..數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分.題號 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A A D B A C B D二、填空題共 6 小題,每小題 5 分,共 30 分.(第 14 題第一空 3 分,(3,2,1,4), (2,3,1,4) (3,1,2,4) (3,1,4,2) (4,1,3,2) (2,1,4,3)任選一個即可,第二空 2 分)三、解答題共 6 小題,共 80 分.15. (本小題共 13 分)解:(Ⅰ)設(shè) , ,BAD???C?則 ,…………2 分1tan21tan3A?所以…………5 分t()t????因為 ,0,????所以 ,4??即 . …………7 分BAC?(Ⅱ)過點 作 交 的延長線于點 ,H?BCH因為 ,23D??所以 ,AC所以 ; …………11 分sin3H??所以 . …………13 分1522ABCS??16. (本小題共 13 分)題號 9 10 11 12 13 14答案 abc?13??3,62?1(3,2,1,4); 6AB D C H..解:(Ⅰ)甲乙兩人用車時間超過 2 小時的概率分別為: ,…………1 分14甲乙兩人所付車費用相同的概率 ………4 分2p???516??(Ⅱ)隨機變量 ξ 的所有取值為 . …………5 分0,134??10248???P?516???124P???4?3?316?…………10 分??14P???的分布列為: ?0 1 2 3 4P18565161616…………11 分數(shù)學(xué)期望 . ………13 分1502861E??????31746??17. (本小題共 14 分)解:(Ⅰ)證明:設(shè) 與 的交點為 ,連接 .ACBDFE因為 為矩形,所以 為 的中點,B在 中,由已知 為 中點,P?EP所以 , ……………2 分/F又 平面 , 平面 , ……………3 分E?DC?B所以 平面 . ……………4 分/B(Ⅱ)解:取 中點 ,連接 . OP因為 是等腰三角形, 為 的中點,P?..所以 ,POCD?又因為平面 平面 ,AB因為 平面 , ,?PC?所以 平面 . ……………5 分取 中點 ,連接 ,ABGO由題設(shè)知四邊形 為矩形,D所以 ,F(xiàn)C?所以 . P如圖建立空間直角坐標系 ,則 , ,Oxyz?(1,0)A(,1)C, , , , .(0,1)(,0)D(,)BG, . ……………6 分,2AC??ur,P?ur設(shè)平面 的法向量為 ,()nxyz則 即0,nP??????ru0,.yz????令 ,則 , ,1z2x所以 . (2,)nr平面 的法向量為 ,PCD(1,0)OG?ur設(shè) , 的夾角為 ,所以 . ……………9 分nr?6cos3由圖可知二面角 為銳角,A?所以二面角 的余弦值為 . ……………10 分PCB63(Ⅲ)設(shè) 是棱 上一點,則存在 使得 .M??0,1??PMC??ur因此點 , , . ……12 分(0,1)??(,)??ur (,20)A?由 ,即 .BAC??ur2因為 ,所以在棱 上存在點 ,使得 ,??,2?PCBC?此時 . ……………14 分1PM?A xD CEPyzOBMFG..18. (本小題共 13 分)解:(Ⅰ)當 時,則…… 1 分1a?ln(1))xf??定義域是 ,令……………2 分(,)??ln(0x是所求函數(shù)的零點. ……………3 分ln10,2x??(Ⅱ)當 時,函數(shù) 的定義域是 , ………4 分a()fx(1,0)(,)????所以 ,…………5 分2ln1'()xf??令 ,只需證: 時, . ……………6 分l()g?0x?()0gx?又 ,221'()(1)xx???故 在 上為減函數(shù), …………… 7 分g0,)?所以 , …………… 8 分(ln0x???所以 ,函數(shù) 是 上的減函數(shù). ……………9 分')f()fx,)?(Ⅲ)由題意知, ,且 , ………… 10 分1'()|xf? 2ln()'()xaf??所以 ,即有 , ……………11 分'(1)lnfa??l(1)0a令 , ,則 ,l()at 1?2')(ta???故 是 上的增函數(shù),又 ,因此 是 的唯一零點,()t,1??(0t?0)t即方程 有唯一實根 ,所以 . ……………13 分ln()a19. (本小題共 14 分)解:(Ⅰ)因為 ,又 ,12cea?22bc??所以 ………2 分24,3b設(shè)橢圓方程為 ,代入 ,得 ……4 分21xyc??()224,16,cab??橢圓方程為…………5 分26(Ⅱ)當 時, 斜率之和為 …………6 分APQB??,PA0..設(shè) 斜率為 ,則 斜率為 …………7 分PAkPBk?設(shè) 方程為 ,與橢圓聯(lián)立得3(2)yx??23()48ykx??????代入化簡得: 248)(91)0kkx??,(2,3)P12()3x?同理 , ,2284k?21634kx??122483kx???1212()ABykx???即直線 的斜率為定值 . …………14 分20. (本小題共 13 分)解:(Ⅰ) 因為數(shù)列 是項數(shù)為 7 的“對稱數(shù)列” ,所以 ……………1 分{}nb531b?又因為 成等比數(shù)列,其公比 ,1234, 32q所以數(shù)列 的 7 項依次為:9,3,1, ,1,3,9 . ……………3 分{}nb(Ⅱ)(ⅰ)由 是單調(diào)遞增數(shù)列且數(shù)列 是“對稱數(shù)列”且滿足 可知 是公差為12,kc? {}nc12nc???12,kc?2 的等差數(shù)列, 是公差為 的等差數(shù)列 …5 分21??212kkScc???121()kk??([07]07??…………7 分2436k?所以當 時, 取得最大值. ……8 分19?21kS?(ⅱ)因為 即 .1nc??1nc??所以 即 .2??2?于是 ………10 分114()kkccck???..因為數(shù)列 是“對稱數(shù)列”{}nc所以 21221kkSc?????21()kcc???? 1(2)(2)1()kck???40因為 即 解得 或218k?24008k?k09所以 …………12 分9?當 是公差為 的等差數(shù)列時滿足 ,且 ,12,kc? 12c?218kS??此時 ,所以 的最小值為 . ………13 分0?09【注:若有其它解法,請酌情給分】- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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