高中數(shù)學 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.1 函數(shù)的概念和圖象1學案 蘇教版必修1

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1、 2.1.1 函數(shù)的概念和圖象 第1課時 函數(shù)的概念 1.體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型,理解函數(shù)的概念. 2.了解構成函數(shù)的三要素:定義域、對應法則、值域,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域. 函數(shù)的概念 一般地,設A,B是兩個非空的數(shù)集,如果按某種對應法則f,對于集合A中的每一個元素x,在集合B中都有惟一的元素y和它對應,那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數(shù),通常記為y=f(x),x∈A. 其中,所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域. 若A是函數(shù)y=f(x)的定義域,則對于A中的每一個x,都有一個輸出值y與之對應.我們將所有輸出值y組成

2、的集合稱為函數(shù)的值域. 符號y=f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學表示,應理解為x是自變量,它是法則所施加的對象;f是對應法則,它可以是一個或幾個解析式,也可以是圖象、表格或文字描述;y是自變量的函數(shù),當x允許取某一個具體數(shù)值時,相應的y值與之對應.“y=f(x)”僅僅是函數(shù)符號,還可用“y=g(x)”“y=F(x)”“y=G(x)”等來表示函數(shù)關系. 【做一做1-1】已知f(x)=+,則f(7)=__________. 答案:5 【做一做1-2】求下列函數(shù)的定義域和值域. (1)y=;(2)y=+3. 解:(1)定義域:(-∞,0)∪(0,+∞), 值域:(-∞,0)∪(0,

3、+∞); (2)定義域:[1,+∞),值域:[3,+∞). 1.三種基本初等函數(shù)的定義域和值域 剖析:(1)一次函數(shù)f(x)=kx+b(k≠0)的定義域是R,值域是R. (2)反比例函數(shù)f(x)=(k≠0)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),值域是(-∞,0)∪(0,+∞). (3)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定義域是R.當a>0時,值域是;當a<0時,值域是. 2.如何判斷兩個函數(shù)是同一函數(shù) 剖析:只有當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時,這兩個函數(shù)才是同一函數(shù),這就是說:(1)定義域不同,兩個函數(shù)不同;(2)對應法則不同,兩個函數(shù)也是不同的;(3)

4、即使是定義域和值域分別相同的兩個函數(shù),它們也不一定是同一函數(shù),因為函數(shù)的定義域和值域不能惟一地確定函數(shù)的對應法則.例如,函數(shù)y=x+1與y=x-1,它們的定義域都是R,值域都是R,也就是說,這兩個函數(shù)的定義域和值域都分別相同,但它們的對應法則是不同的,因此不能說這兩個函數(shù)是同一函數(shù).由于值域可以由定義域和對應法則惟一確定,所以兩個函數(shù)當且僅當定義域與對應法則分別相同時,才是同一函數(shù). 題型一 函數(shù)的概念 【例1】下列四組函數(shù)中,f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的有__________. ①f(x)=,g(x)=()4 ②f(x)=x,g(x)= ③f(x)=1,g(x)=1(x≠

5、0) ④f(x)=x-1,g(x)=|x-1| 解析:若兩個函數(shù)能表示同一個函數(shù),則必須滿足:①定義域相同;②對應法則相同. 對于①,兩函數(shù)的定義域不同,其中f(x)的定義域為{x|x∈R},g(x)的定義域為{x|x≥0};對于②,定義域、值域和對應法則都相同,所以f(x)與g(x)表示同一函數(shù);對于③,定義域不同,其中f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為{x|x≠0};④的對應法則不同. 答案:② 反思:一般地,函數(shù)的定義域和對應法則確定,值域就隨之確定,因此判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù),只需判斷它們的定義域和對應法則是否分別相同即可. 題型二 求函數(shù)的定義域 【例2】求

6、下列函數(shù)的定義域: (1)y=2+; (2)y=·; (3)y=. 分析:給定函數(shù)時,要指明函數(shù)的定義域.對于用解析式表示的函數(shù),如果沒有給出定義域,那么就認為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值集合. 解:(1)要使函數(shù)有意義,必須滿足x-2≠0成立,即x≠2,所以這個函數(shù)的定義域為{x|x∈R,且x≠2}. (2)要使函數(shù)有意義,必須滿足成立,解得1≤x≤3, 所以這個函數(shù)的定義域為{x|x∈R,且1≤x≤3}. (3)要使函數(shù)有意義,必須滿足成立,解得x>-1,所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>-1}. 反思:一般地,求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)解析式有意義

7、的自變量的取值的集合: (1)解析式是整式的函數(shù),其定義域為R; (2)解析式是分式的函數(shù),其定義域為使分母不為零的實數(shù)的集合; (3)解析式是偶次根式的函數(shù),其定義域是使被開方式為非負數(shù)的實數(shù)的集合; (4)如果解析式是由實際問題得出的,則其定義域是同時使實際問題和解析式有意義的實數(shù)的集合; (5)求函數(shù)的定義域的步驟通常是先根據(jù)題意列不等式(組),再解不等式(組),而后得出結論. 題型三 求函數(shù)的值域 【例3】求下列函數(shù)的值域: (1)y=;(2)y=. 分析:求函數(shù)的值域沒有統(tǒng)一的方法.如果函數(shù)的定義域是有限個值,那么就可將函數(shù)值都求出得到值域;如果函數(shù)的定義域是無數(shù)

8、個值時,則可根據(jù)函數(shù)表達式的特點采取相應的方法來求其值域,如觀察法、配方法、換元法等. 解:(1)(觀察法)y==2+. 因為x≠3,≠0, 所以y≠2.故所求函數(shù)的值域為{y|y≠2}. (2)(逐步求解法)先分離常數(shù),y===1-.∵x2+1≥1,∴0<≤1. ∴-2≤1-<1.∴y∈[-2,1). 題型四 求已知函數(shù)的函數(shù)值 【例4】已知f(x)=x2+1,g(x)=, (1)求f(2)和g(a); (2)求f[g(1)]和g[f(x)]. 分析:求某個函數(shù)的某個函數(shù)值,就是將自變量用相應的代數(shù)式或數(shù)替換,然后化簡即可;求f[g(a)]時,一般遵循先里后外的原則,先

9、求g(a),然后將f(x)解析式中的x代換為g(a),同時要注意函數(shù)的定義域. 解:(1)f(2)=22+1=5,g(a)=. (2)f[g(1)]=+1=; g[f(x)]=g(x2+1)==. 反思:要正確理解f(a)的含義.如果自變量取a,則由對應法則f確定的y的值稱為函數(shù)在a處的函數(shù)值,記作f(a);求某個函數(shù)的函數(shù)值時,還要正確理解對應法則“f”和“g”的含義. 1已知函數(shù)f(x)=,則函數(shù)f[f(x)]的定義域是__________. 解析:由條件得:f[f(x)]=, 從而由得之. 答案:{x|x≠-1,且x≠-2} 2設f(x)=,又記f1(x)=f(x)

10、,fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,…,則f2010(x)等于__________. 解析:因f1(x)=f(x)=, f2(x)=f(f1(x))==-, f3(x)=f(f2(x))==, f4(x)=f(f3(x))==x, 所以它的規(guī)律是以4為周期,從而由2 010=4×502+2,得f2 010(x)=f2(x). 答案:- 3函數(shù)y=(x∈R)的值域是______. 解析:(方法一)由y=,得x2=. ∴≥0.解之,得0≤y<1. (方法二)y==1-, ∵x2+1≥1,∴-1≤-<0.∴0≤y<1. 答案:[0,1) 已知P={x|

11、0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列對應不表示從P到Q的函數(shù)的有__________. (1)f:x→y=x (2)f:x→y=x (3)f:x→y=x (4)f:x→y= 解析:因為當x=4時,y=6不在集合Q中,(3)不符合函數(shù)的定義,其他均符合. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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