《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 2.2.4 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性綜合應(yīng)用課堂導(dǎo)學(xué)案 蘇教版必修1》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 2.2.4 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性綜合應(yīng)用課堂導(dǎo)學(xué)案 蘇教版必修1(3頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.2.4 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性綜合應(yīng)用
課堂導(dǎo)學(xué)
三點(diǎn)剖析
一、利用函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念解題
【例1】已知f(x)是奇函數(shù),在(0,+∞)上是增函數(shù),證明f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù).
思路分析:由于函數(shù)f(x)是抽象函數(shù),我們只能根據(jù)奇函數(shù)和增函數(shù)的定義證明.由于f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),只要能將(-∞,0)上的任意兩個(gè)數(shù)x1<x2轉(zhuǎn)化到(0,+∞)內(nèi),就可以得到關(guān)于f(x1)和f(x2)的不等式.
證明:設(shè)x1-x2>0.
∵f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
∴f(-x1)>f(-x2).
又∵f(x)是奇函數(shù),
∴
2、-f(x1)>-f(x2),
從而有f(x1)
3、3)=f[x(x-3)]=f(x2-3x),
∴f(x2-3x)≤2=f(4).
∵f(x)在(0,+∞)上遞增,
∴
解之得3<x≤4.
故x的取值范圍為(3,4].
溫馨提示
解此題的關(guān)鍵是通過函數(shù)單調(diào)性定義的可逆性,將函數(shù)值之間的大小關(guān)系轉(zhuǎn)換為自變量或自變量函數(shù)式之間的大小關(guān)系,從而通過解不等式或不等式組求解.而所給出的函數(shù)又是抽象函數(shù),故須通過賦具體值的方法,推證出函數(shù)的單調(diào)性,從而達(dá)到目的.
三、復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性
【例3】 函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[-a,a]上都是奇函數(shù),則下列結(jié)論:①f(x)+g(x)在[-a,a]上是奇函數(shù);
4、②f(x)-g(x)在[-a,a]上是奇函數(shù);③f(x)g(x)在[-a,a]上是偶函數(shù),其中正確的有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.0個(gè)
解析:定義域相同,由奇(偶)函數(shù)的定義便知三個(gè)命題均正確.
答案:C
溫馨提示
偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù).(利用上述結(jié)論要注意各函數(shù)的定義域)
F1(x)=f(x)+f(-x)為偶函數(shù);F2(x)=f(x)-
5、f(-x)為奇函數(shù).
各個(gè)擊破
類題演練 1
已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞增,那么下列關(guān)系成立的是( )
A.f(-π)>f(-2)>f() B.f(-π)>f(-)>f(-2)
C.f(-2)>f(-)>f(-π) D.f(-)>f(-2)>f(π)
解析:由函數(shù)奇偶性和單調(diào)性,
可推得f()<f(2)<f(π),
即f()<f(-2)<f(-π).
故選A.
答案:A
變式提升 1
定義在(-2,2)上的偶函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)是減函數(shù),如果f(2
6、-a)
7、(-x)=0f(-x)=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù).
變式提升 2
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù),x1,x2,有f(x1)+f(x2)=2f()f(),且f()=0,f(π)=-1,
(1)求f(0)的值;
(2)求證:f(x)是偶函數(shù)且f(π-x)=-f(x).
(1)解析:令x1=x2=π,則f(π)+f(π)=2f(π)f(0),
又∵f(π)=-1,∴f(0)=1.
(2)證明:令x1=x,x2=-x,則f(x)+f(-x),=2f(0)f(x).
∴f(x)=f(-x).
∴f(x)為偶函數(shù).
f(π-x)+f(x)=2f()f()=2
8、f()f()=0,
∴f(π-x)=-f(x).
類題演練 3
判斷下列函數(shù)的奇偶性,并說明理由.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=+.
解析:(1)f(x)+f(-x)=+++=++1=+1=-1+1=0,
即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函數(shù).
(2)f(x)的定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又f(-1)=f(1)=0,即f(-1)=f(1),且f(-1)=-f(1).
故f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù).
變式提升 3
已知函數(shù)f(x)=.
(1)畫出f(x)的草圖;
(2)由圖象指出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
解析:(1)由f(x)=得f(x)=1-.
∴f(x)的圖象可由y=-的圖象向左平移1個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到如右圖.
(2)由圖象看出f(x)的單調(diào)區(qū)間為:(-∞,-1),(-1,+∞)都為增區(qū)間.
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