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1、
專題對(duì)點(diǎn)練24 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問題
1.(2017吉林白山二模,理22)已知拋物線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x=-1,直線l與拋物線相交于不同的A,B兩點(diǎn).
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn),求OAOB的值;
(3)如果OAOB=-4,直線l是否過一定點(diǎn),若過一定點(diǎn),求出該定點(diǎn);若不過一定點(diǎn),試說明理由.
解 (1)已知拋物線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x=-1,∴p2=1,p=2.
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.
(2)設(shè)l:my=x-1,與y2=4x聯(lián)立,得y2-4my-4=0,
設(shè)A(x1,
2、y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4m,y1y2=-4,
∴OAOB=x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=-3.
(3)假設(shè)直線l過定點(diǎn),設(shè)l:my=x+n,
聯(lián)立my=x+n,y2=4x,得y2-4my+4n=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4m,y1y2=4n.
由OAOB=-4=(m2+1)y1y2-mn(y1+y2)+n2=n2+4n,解得n=-2,
∴l(xiāng):my=x-2過定點(diǎn)(2,0).
2.(2017吉林三模,理20)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=nx(n>0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(2,t)到焦點(diǎn)的距離為52
3、,曲線C在點(diǎn)P處的切線交x軸于點(diǎn)Q,直線l1經(jīng)過點(diǎn)Q且垂直于x軸.
(1)求線段OQ的長;
(2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)P和Q的動(dòng)直線l2:x=my+b交曲線C于點(diǎn)A和B,交l1于點(diǎn)E,若直線PA,PE,PB的斜率依次成等差數(shù)列,試問:l2是否過定點(diǎn)?請(qǐng)說明理由.
解 (1)由拋物線上的點(diǎn)P(2,t)到焦點(diǎn)的距離為52,得2+n4=52,所以n=2,
則拋物線方程為y2=2x,所以曲線C在第一象限的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2x,則y=12x.故曲線C在點(diǎn)P處的切線斜率k=122=12,切線方程為y-2=12(x-2).
令y=0得x=-2,所以點(diǎn)Q(-2,0),故線段OQ=2.
(2)由題意
4、知l1:x=-2,因?yàn)閘2與l1相交,所以m≠0.
設(shè)l2:x=my+b,令x=-2,得y=-b+2m,故E-2,-b+2m,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由x=my+b,y2=2x,消去x得y2-2my-2b=0,則y1+y2=2m,y1y2=-2b,直線PA的斜率為y1-2x1-2=y1-2y122-2=2y1+2,
同理直線PB的斜率為2y2+2,直線PE的斜率為2+b+2m4.
因?yàn)橹本€PA,PE,PB的斜率依次成等差數(shù)列,
所以2y1+2+2y2+2=22+b+2m4,即b+22m-b+2=b+22m,
因?yàn)閘2不經(jīng)過點(diǎn)Q,所以b≠-2.
所以2m-b+2
5、=2m,即b=2.
故l2:x=my+2,即l2恒過定點(diǎn)(2,0).
3.(2017江西九江二模,理20)
已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=82x的焦點(diǎn)相同,F1,F2為橢圓的左、右焦點(diǎn).M為橢圓上任意一點(diǎn),△MF1F2面積的最大值為42.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C上的任意一點(diǎn)N(x0,y0),從原點(diǎn)O向圓N:(x-x0)2+(y-y0)2=3作兩條切線,分別交橢圓于A,B兩點(diǎn).試探究|OA|2+|OB|2是否為定值,若是,求出其值;若不是,請(qǐng)說明理由.
解 (1)拋物線y2=82x的焦點(diǎn)為(22,0),由題意可得c=22,
6、
△MF1F2面積的最大值為42,可得當(dāng)M位于橢圓短軸端點(diǎn)處時(shí)取得最大值.
即有12b2c=42,解得b=2,a2=b2+c2=4+8=12,
則橢圓方程為x212+y24=1;
(2)證明:設(shè)直線OA:y=k1x,OB:y=k2x,A(x1,y1),B(x2,y2),
設(shè)圓N:(x-x0)2+(y-y0)2=3的切線方程為y=kx,
則有|kx0-y0|1+k2=3,整理得(x02-3)k2-2x0y0k+y02-3=0,k1+k2=2x0y0x02-3,k1k2=y02-3x02-3(x02≠3),
又因?yàn)閤0212+y024=1,所以可求得k1k2=y02-312-3y02
7、-3=-13,
將y=k1x代入橢圓方程x2+3y2=12,
得x12=121+3k12,則y12=12k121+3k12,同理可得x22=121+3k22,y22=12k221+3k22,所以|OA|2+|OB|2=12(1+k12)1+3k12+12(1+k22)1+3k22=12(1+k12)(1+3k22)+12(1+k22)(1+3k12)(1+3k12)(1+3k22)=16[2+3(k12+k22)]2+3(k12+k22)=16.所以|OA|2+|OB|2的值為定值16.
4.(2017遼寧沈陽三模,理20)已知定直線l:y=x+3,定點(diǎn)A(2,1),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢
8、圓C過點(diǎn)A且與l相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)橢圓的弦AP,AQ的中點(diǎn)分別為M,N,若MN平行于l,則OM,ON斜率之和是否為定值?若是定值,請(qǐng)求出該定值;若不是定值,請(qǐng)說明理由.
解 (1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
橢圓C過點(diǎn)A,所以4m+n=1,①
將y=x+3代入橢圓方程化簡得(m+n)x2+6nx+9n-1=0,
因?yàn)橹本€l與橢圓C相切,
所以Δ=(6n)2-4(m+n)(9n-1)=0,②
解①②可得m=16,n=13,所以橢圓方程為x26+y23=1.
(2)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則有Mx
9、1+22,y1+12,Nx2+22,y2+12,
由題意可知l∥MN,所以kl=kMN=1,設(shè)直線MN的方程為y=x+t,
代入橢圓方程并化簡得3x2+4tx+2t2-6=0,
由題意可知x1+x2=-4t3,x1x2=2t2-63.③
kOM+kON=y1+1x1+2+y2+1x2+2=x1+t+1x1+2+x2+t+1x2+2,
通分后可變形得到kOM+kON
=2x1x2+(t+3)(x1+x2)+4t+4x1x2+2(x1+x2)+4,
將③式代入分子kOM+kON
=2(2t2-6)+(t+3)(-4t)+12t+123x1x2+6(x1+x2)+12
=03x1x
10、2+6(x1+x2)+12=0,
所以O(shè)M,ON斜率之和為定值0. ?導(dǎo)學(xué)號(hào)16804221?
5.(2017陜西渭南二模,理20)已知P,Q是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的任意兩點(diǎn),且點(diǎn)P,Q都不在x軸上.
(1)若D(a,0),求證:直線PD和QD的斜率之積為定值;
(2)若橢圓長軸長為4,點(diǎn)A(0,1)在橢圓E上,設(shè)M,N是橢圓上異于點(diǎn)A的任意兩點(diǎn),且AM⊥AN,問直線MN是否過一個(gè)定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
解 (1)由題意可知P(m,n),則Q(-m,-n),
由m2a2+n2b2=1,則n2=b21-m2a2
11、,由D(a,0),則kPDkQD=nm-anm+a=n2m2-a2=b21-m2a2m2-a2=-b2a2,
故直線PD和QD的斜率之積為定值.
(2)直線MN過定點(diǎn)0,-35,理由如下:
由2a=4,a=2,b=1,則橢圓方程為x24+y2=1,
當(dāng)直線MN的斜率k=0時(shí),則M-85,-35,N85,-35,直線MN的方程為y=-35,
當(dāng)直線斜率存在,且k≠0,則直線MN的方程:y=kx+t,M(x1,y1),N(x2,y2),
則y=kx+t,x2+4y2=4,整理得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,x1+x2=-8kt1+4k2,x1x2=4t2-41+4k2,
12、
由AM⊥AN,則AMAN=0,(1+k2)x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0,
則(1+k2)4t2-41+4k2+k(t-1)-8kt1+4k2+(t-1)2=0,
整理得5t2-2t-3=0,解得t=-35或t=1(舍去),
則直線MN的方程為y=kx-35,且直線MN恒過點(diǎn)0,-35,
綜上可知:直線MN過定點(diǎn)0,-35. ?導(dǎo)學(xué)號(hào)16804222?
6.(2017河北邯鄲二模,理20)已知F1(-c,0),F2(c,0)分別是橢圓G:x2a2+y2b2=1(0
13、1)求橢圓G的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓G相交于A,B兩點(diǎn),若OA⊥OB,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),判斷O到直線l的距離是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
解 (1)由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a.
由|PF1|-|PF2|=a,
∴|PF1|=32a=3|PF2|,
則(2+c)2+2=3(2-c)2+2,化簡得c2-5c+6=0,
由c
14、軸,直線l的方程為x=m(m≠0),且-22
15、2k2.
由OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴2n2-81+2k2+n2-8k21+2k2=0,
整理得3n2-8k2-8=0,即3n2=8k2+8,①
則原點(diǎn)O到直線l的距離d=|n|1+k2,
∴d2=|n|1+k22=n21+k2=3n23(1+k2),②
將①代入②,則d2=8k2+83(1+k2)=83,∴d=263,
綜上可知:點(diǎn)O到直線l的距離為定值263.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題對(duì)點(diǎn)練24 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問題 理
