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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
1．應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)f(n)＝n(n－3)(n≥3)．
證明：①當(dāng)n＝3時(shí)，三角形沒有對(duì)角線，f(3)＝0，
又f(3)＝×3×(3－3)＝0，命題成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3)時(shí)命題成立，即凸k邊形A1A2…Ak有f(k)＝k(k－3)條對(duì)角線，再加一個(gè)頂點(diǎn)Ak＋1，構(gòu)成凸k＋1邊形，則增加了k－2條對(duì)角線，又原來(lái)的邊A1Ak變成了對(duì)角線，故對(duì)角線增加了k－1條，即凸k＋1邊形有f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－3k＋2k－
2、2)＝(k2－k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]條對(duì)角線，可知當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立，綜合①②可知命題對(duì)于n≥3的自然數(shù)n都成立．
2．是否存在一個(gè)等差數(shù)列{an}，使得對(duì)任何正整數(shù)n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立，并證明你的結(jié)論．
解析：將n＝1,2,3分別代入等式得方程組：
解得a1＝6，a2＝9，a3＝12，
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則d＝3，從而an＝3n＋3.
故存在一個(gè)等差數(shù)列an＝3n＋3，
使得當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，等式成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立．
①當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)n＝k(k
3、≥1，且k∈N*)時(shí)，等式成立，
即a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＝k(k＋1)(k＋2)．
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＋(k＋1)ak＋1
＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]
＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)
＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]．
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②知存在一個(gè)等差數(shù)列an＝3n＋3，使得對(duì)任何正整數(shù)n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立．
3．已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.
4、
求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，an<an＋1.
證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，因?yàn)閍2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1<a2.
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，0≤ak<ak＋1，
因?yàn)閍－a＝(a＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1)
＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0，
所以ak＋1<ak＋2，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，an<an＋1也成立．
根據(jù)(1)和(2)，可知an<an＋1對(duì)任意n∈N*都成立．
4．已知a>0，b>0，n>1，n∈N*.用數(shù)學(xué)歸納法證明：≥()n.
證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊－右邊＝－()2＝()2≥0，不等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k>1)時(shí)，不等式成立，即≥()k.
因?yàn)閍>0，b>0，k>1，k∈N*，
所以(ak＋1＋bk＋1)－(akb＋abk)＝(a－b)·(ak－bk)≥0，
于是ak＋1＋bk＋1≥akb＋abk.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，()k＋1＝()k·≤·＝
≤＝，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．
綜合(1)，(2)知，對(duì)于a>0，b>0，n>1， n∈N*，不等式≥()n總成立．
一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第十章 第五節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法 Word版含解析
