高考數學兵法10招2就地取材無中生有

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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 數學高考10招（2） 就地取材 無中生有 ●計名釋義 這一招是專門對付開放題的. 開放題有兩種類型：一是開放條件；二是開放結論. 條件開放的試題，結論明確、解題方向清楚，但條件不足，也就是條件不充分，屬于“必要不充分”的題型，我們的任務是補充能使結論成立的充分條件. 反之，結論開放的試題，條件充分，但結論不明確.我們的任務則是補充必要條件. ●典例示計 【例1】以下是武漢市某次高中調考中的一道數列題： 等差數列的前n項和為Sn，若（a1+a3）2=9，a

2、n＜0（），則S10等于（ ） 這道題從正面解，你會發(fā)現(xiàn)無論走哪條路，都“差條件”，陷入欲進不得，欲罷不忍的困境.可是，你是否想到，也可以把選項作條件來用呢？ 【解析】由于時恒有an＜0，必S10＜0，排除A、C；設若S10= -13，即有 10a1+×10×9d=-13，那么a1+d=. （1） 但由（a1+a3）2=9，an＜0可得a1+a3= -3，也就是a1+ d= （2） （1）-（2）：d=，于是d＞0，這與時恒有an＜0矛盾，故排除D，選B. 本解使用的，正是“就地取材”的計策.如果你感到題干中的“條件不夠”，陷入“山窮水

3、復疑無路”的困境，不妨在選項中就地發(fā)現(xiàn)“柳暗花明又一村”. 那么，什么又是“無中生有”呢？請看 【例2】06年湖南卷的文科10題： 如圖，OM∥AB，點P在由射線OM，線段OB幾AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則實數對（x，y）可以是 （ ） 【解析】如圖，設向量OP符合要求.過P作 PA1∥AB，交OA于A1，OB于B1，令 ，顯然0＜k＜1. 再令，∵點P在A1B1的延長線上， 必λ＞1.于是 .于是 . 由（1）知x＜0，排除A；由（1）+（2）得：x+y=k∈（

4、0，1），排除B，D，∴選C. 為了解題的需要，我們不僅添加了輔助線，還引入了k，λ這些參變量，這都是“無中生有”；又為了免除繁雜的計算，我們又在選項中“就地取材”. 再請看 【例3】06年湖南卷的理科15題： 如圖，OM∥AB，點P在由射線OM，線段OB幾AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則x的取值范圍是 當時，y的取值范圍是 【解析】同上題解法，得： 由于k∈（0，1）且λ＞1，∴x＜0.即 當時，∵x+y=k，∴y=k-x=k+∈（）. 【評注】咋一看湖南這兩道題，的確有“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”之感。因為僅憑現(xiàn)有圖形，是無論如何也難

5、以找到正確答案的。唯一可行之路，就是“無中生有”了，于是筆者按要求隨意畫一條向量（即解圖中的OP）試試看，又想到關于向量的問題多能用平移解決，在作出平行線PA1后，已是豁然開朗，成竹在胸了.這難道不是“無中生有”的神奇麼？ 例4題圖 【例4】如圖所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中， E、F、G、H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點，N是BC 中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只要滿足條件 時，就有MN∥平面B1BDD1（請?zhí)钌夏阏J為正確的一 個條件即可，不必考慮全部可能情況）. 【思考】顯然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1，

6、 為使點M在平面EFGH內運動時總有B1BDD1∥MN,只需過HN 作平面，使之平行于平面在平面B1BDD1,將線面平行的問題轉化 為面面平行的問題. 【解析】連FH，當點M在HF上運動時，恒有 MN∥平面B1BDD1證明如下：連 NH ，HF，BD，B1D1， 且平面NHF交B1C1于P.則NH ∥BD，HF∥BB1，故 平面PNHF∥平面BB1D1D.MN平面PNHF， ∴MN∥平面B1BDD1 【例5】 知F(x)是二次項系數為負數的二次函數， 且對于任何x∈R,f(2－x)=f(2+x)總成立，問f(1－2x2)與 f(1+2x－x2)滿足什么條件時，才能使－2&l

7、t;x<0成立. 【思考】 根據已知條件很容易得到f(x)是開口向下且對稱軸為x=2的二次函數，然后可通過函數單調區(qū)間進行分類討論. 【解答】 由題設知：函數f(x)的圖象是開口向下且對稱軸為直線x=2的拋物線. 故函數f(x)在上是增函數；在上是減函數. ∵1－2x2≤1<2,1+2x－x2=－(x－1)2+2≤2,∴1－2x2∈,1+2x－x2∈. 當f(1－2x2)<f(1+2x－x2)時，1－2x2<1+2x－x2, 即x2+2x>0,解得x<－2或x>0,不能使－2<x<0成立. 當f(1－2x2)>f(1+2

8、x－x2)時，1－2x2>1+2x－x2, 即x2+2x<0,解得－2<x<0,符合題意，當f(1－2x2)=f(1+2x－x2)時， 可得x=－2或0,不能使－2<x<0成立. ∴當f(1－2x2)>f(1+2x－x2)時，才能使－2<x<0成立. 【例1】 能否構造一個等比數列{an}，使其同時滿足三個條件：①a1+a6=11;②a3a4=;③至少存在 一個自然數m,使依次成等差數列.若能，請寫出這個數列的通項公式. 【解答】 先考慮前兩個條件.設等比數列{an}的公比為q. ∵a3a4=a1a6,∴由. 即滿足條件①，

9、②的等比數列，其通項公式為an=. (1)如an=·2n－1，設存在題設要求的m∈N,則2×. 化簡得：22m－7·2m－8=02m=8,∴m=3. （2）如設存在m∈N, 使. 化簡得： 4(26－m)2－11·26－m－8=0,這里Δ=112+16×8=249不是完全平方數.∴符合條件的m不存在. 綜上所述，能構造出滿足條件①，②，③的等比數列，該自然數m=3,數列的通項公式為： . 【例6】 將二次函數f(x)=ax2+bx+c對應于一次函數g(x)=2ax+b. （1）求f(x)=x2+2x+1對應的一次函數

10、g(x). （2）觀察后請寫出這個對應法則. （3）可以用g(x)的某些性質來研究f(x)的性質：當g(x)>0時，對應的f(x)的性質有哪些？ （4）你還能研究另外的某些性質嗎？ （5）設g(x)=x，寫出與g(x)對應的f(x)的三個不同的解析式. 【思考】 本例是結論開放型試題，解題時要求根據已知條件將結論（必要條件）補充完整.f(x)與g(x)是什么關系？我們容易由f′(x)=2ax+b,知f′(x)=g(x),可見，只有當g(x)=f′(x)時，才有可能用g(x)的性質來研究f(x)的某些性質. 【解答】 (1)∵a=1,b=2，∴g(x)=2x+2. （2）①

11、g(x)的一次項系數是f(x)的二次項系數與其次數的積； ②g(x)的常數項等于f(x)的一次項系數. (3)g(x)>0，即2ax+b>0,當a>0時，x>－,而x=－是f(x)的對稱軸，故這時f(x)是單調增函數；a<0時,x<－,f(x)仍為單調增函數(前者單調區(qū)間為.后者單調區(qū)間為). (4)當g(x)<0時，f(x)是單調減函數(請仿照（3）證明之). (5)g(x)=x時，2ax+b=x,知a=,b=0.只須在f(x)=ax2+bx+c中，命a=,b=0,c取任意值即可，如f(x)= x2+1,f(x)=x2+,f(x)= x2

12、+5. 【小結】 指導開放題解法的理論依據是充分必要條件，即若AB,則稱A為B的充分條件，B為A的必要條件. ●考前預演 第1題圖 1.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，O為CD上的動點， 四邊形ABCD滿足條件 時，VP—AOB恒為定 值（寫出你認為正確的一個條件即可）.    2.對于x∈R,試確定y=的所有可能的值. 3.已知|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為120°,當k為何值時， （1）ka－b與a－kb垂直？ （2）|ka－2b|取得最小值? 4.已知圓O′過定點A（0,P）(P>0),圓心O′在拋物線x2=2Py上運動，MN為圓O′在x軸上截得的弦，令|AM|=d1,|AN|=d2,∠MAN=θ. （1）當O′運動時，|MN|是否有變化，并證明你的結論； （2）求的最大值,并求取得最大值的θ的值.