高考理科數(shù)學通用版三維二輪專題復習專題檢測：二十三 第21題解答題“函數(shù)、導數(shù)與不等式”專練 Word版含解析

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1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 專題檢測（二十三）專題檢測（二十三） 第第 21 題解答題“函數(shù)、導數(shù)與不等式”專練題解答題“函數(shù)、導數(shù)與不等式”專練 1已知函數(shù)已知函數(shù) f(x) x3x2，x1，aln x，x1. (1)求求 f(x)在區(qū)間在區(qū)間(，1)上的極小值和極大值點；上的極小值和極大值點； (2)求求 f(x)在在1，e(e 為自然對數(shù)的底數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值上的最大值 解：解：(1)當當 x0 時，時，f(x)在在1，e上單調遞增，上單調遞增， 則則 f(x)在在1，e上的最大值為上的最大值為 f(e)a. 故當故當 a2 時，時，f(x)在在1，e上的最大值為上的

2、最大值為 a； 當當 a0)， h(x)1x23x22x23x1x2 2x1 x1 x2， 由由 h(x)0，得，得 0 x12或或 x1， 故故 h(x)的單調遞減區(qū)間是的單調遞減區(qū)間是 0，12和和(1，) (2)問題等價于問題等價于 aln x1x有唯一的實根，有唯一的實根， 顯然顯然 a0，則關于，則關于 x 的方程的方程 xln x1a有唯有唯一的實根，一的實根， 構造函數(shù)構造函數(shù) (x)xln x，則，則 (x)1ln x， 由由 (x)1ln x0，得，得 xe1， 當當 0 xe1時，時，(x)0，(x)單調遞減，單調遞減， 當當 xe1時，時，(x)0，(x)單調遞增，單調遞

3、增， (x)的極小值為的極小值為 (e1)e1. 作出函數(shù)作出函數(shù) (x)的大致圖象如圖所示， 則要使方程的大致圖象如圖所示， 則要使方程 xln x1a有唯一的有唯一的實根，只需直線實根，只需直線 y1a與曲線與曲線 y(x)有唯一的交點，有唯一的交點， 則則1ae1或或1a0， 解得解得 ae 或或 a0， 故實數(shù)故實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是e(0，) 3(20 xx 沈陽質檢沈陽質檢)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ex1xax2. (1)當當 a0 時，證明：時，證明：f(x)0； (2)當當 x0 時，若不等式時，若不等式 f(x)0 恒成立，求實數(shù)恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍；

4、的取值范圍； (3)若若 x0，證明：，證明：(ex1)ln(x1)x2. 解：解：(1)證明：當證明：當 a0 時，時，f(x)ex1x，f(x)ex1. 當當 x(，0)時，時，f(x)0. 故故 f(x)在在(，0)上單調遞減，在上單調遞減，在(0，)上單調遞增，上單調遞增， f(x)minf(0)0，f(x)0. (2)f(x)ex2ax1，令，令 h(x)ex2ax1， 則則 h(x)ex2a. 當當 2a1，即，即 a12時，在時，在0，)上，上，h(x)0，h(x)單調遞增，單調遞增，h(x)h(0)，即，即f(x)f(0)0， f(x)在在0，)上為增函數(shù)，上為增函數(shù)，f(x)

5、f(0)0， 當當 a12時滿足條件時滿足條件 當當 2a1 時，令時，令 h(x)0，解得，解得 xln 2a，在，在0，ln 2a)上，上，h(x)0，h(x)單調遞減，單調遞減，當當 x(0，ln 2a)時，有時，有 h(x)h(0)0，即，即 f(x)f(0)0， f(x)在區(qū)間在區(qū)間(0，ln 2a)上為減函數(shù)，上為減函數(shù)， f(x)0 時，時，ex1xx22， 欲證不等式欲證不等式(ex1)ln(x1)x2，只需證，只需證 ln(x1)2xx2. 設設 F(x)ln(x1)2xx2， 則則 F(x)1x14 x2 2x2 x1 x2 2. 當當 x0 時，時，F(xiàn)(x)0 恒成立，且

6、恒成立，且 F(0)0， F(x)0 恒成立恒成立 原不等式得證原不等式得證 4(20 xx 天津高考天津高考)設設 a，bR，|a|1.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)x36x23a(a4)xb，g(x)exf(x) (1)求求 f(x)的單調區(qū)間；的單調區(qū)間； (2)已知函數(shù)已知函數(shù) yg(x)和和 yex的圖象在公共點的圖象在公共點(x0，y0)處有相同的切線，處有相同的切線， 求證：求證：f(x)在在 xx0處的導數(shù)等于處的導數(shù)等于 0； 若關于若關于 x 的不等式的不等式 g(x)ex在區(qū)間在區(qū)間x01，x01上恒成立，求上恒成立，求 b 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)由由 f(x)

7、x36x23a(a4)xb， 可得可得 f(x)3x212x3a(a4)3(xa)x(4a) 令令 f(x)0，解得，解得 xa，或，或 x4a. 由由|a|1，得，得 a4a. 當當 x 變化時，變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表： x (，a) (a,4a) (4a，) f(x) f(x) 所以所以 f(x)的單調遞增區(qū)間為的單調遞增區(qū)間為(，a)，(4a，)，單調遞減區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為(a,4a) (2)證明：證明：因為因為 g(x)exf(x)f(x)， 由題意知由題意知 g x0 ex0，g x0 ex0， 所以所以 f x0 ex0ex0，ex0f x

8、0 f x0 ex0， 解得解得 f x0 1，f x0 0. 所以所以 f(x)在在 xx0處的導數(shù)等于處的導數(shù)等于 0. 因為因為 g(x)ex，xx01，x01， 由由 ex0，可得，可得 f(x)1. 又因為又因為 f(x0)1，f(x0)0， 所以所以 x0為為 f(x)的極大值點，結合的極大值點，結合(1)知知 x0a. 另一方面，由于另一方面，由于|a|1，故，故 a14a， 由由(1)知知 f(x)在在(a1，a)內單調遞增，在內單調遞增，在(a，a1)內單調遞減，內單調遞減， 故當故當 x0a 時，時，f(x)f(a)1 在在a1，a1上恒成立，從而上恒成立，從而 g(x)ex在在x01，x01上恒成立上恒成立 由由 f(a)a36a23a(a4)ab1， 得得 b2a36a21，1a1. 令令 t(x)2x36x21，x1,1， 所以所以 t(x)6x212x，令令 t(x)0， 解得解得 x2(舍去舍去)或或 x0. 因為因為 t(1)7，t(1)3，t(0)1， 因此因此 t(x)的值域為的值域為7,1 所以所以 b 的取值范圍是的取值范圍是7,1