【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)案 理 新人教A版

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1、 學(xué)案58　變量間的相關(guān)關(guān)系 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程． 自主梳理 1．兩個(gè)變量的線性相關(guān) (1)正相關(guān) 在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從__________到________的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)． (2)負(fù)相關(guān) 在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從________到________的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)． (3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線 如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之

2、間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線． 2．回歸方程 (1)最小二乘法 求回歸直線使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的________________________的方法叫做最小二乘法． (2)回歸方程 方程 ＝ x＋ 是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中 ， 是待定參數(shù)． 自我檢測 1．下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是(　　) A．相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量不一定是因果關(guān)系 B．散點(diǎn)圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度 C．回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系 D．任一組數(shù)據(jù)都有回歸直線方程 2．(2009海南

3、，寧夏)對(duì)變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(2)．由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(　　) A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) 3．(2011銀川模擬)下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程是 ＝－0.7

4、x＋ ，則 等于(　　) A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25 4．(2010廣東)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出Y(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示： 年份 2005 2006 2007 2008 2009 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是_________________________________， 家庭年平均收入與年平均支出有______線性相關(guān)關(guān)系． 5．

5、(2011金陵中學(xué)模擬)已知三點(diǎn)(3,10)，(7,20)，(11,24)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y具有線性關(guān)系，則其回歸方程是________________. 探究點(diǎn)一　利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性 例1　有一位同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表： 溫度 (℃) －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 熱飲 杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫出散點(diǎn)圖； (2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)

6、氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律嗎？ 變式遷移1　某班5個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)绫恚? 學(xué)生 學(xué)科 A B C D E 數(shù)學(xué) 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 畫出散點(diǎn)圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系？ 探究點(diǎn)二　求回歸直線方程 例2　假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有以下統(tǒng)計(jì)資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.

7、0 若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求回歸方程 ＝ x＋ . 變式遷移2　已知變量x與變量y有下列對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)： x 1 2 3 4 y 2 3 且y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，求y對(duì)x的回歸直線方程． 探究點(diǎn)三　利用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì) 例3　下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用

8、最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程 ＝ x＋ ； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ (參考數(shù)值：32.5＋43＋54＋64.5＝66.5) 變式遷移3　(2011鹽城期末)某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表： 氣溫(℃) 18 13 10 －1 用電量(度) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)得回歸方程 ＝ x＋ 中 ＝－2，預(yù)測當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，用電量的度數(shù)約為

9、________． 1．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同．函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系．而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系． 2．回歸直線方程：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n個(gè)觀測值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為y對(duì)x的回歸函數(shù)的類型為直線型： ＝ x＋ .其中 我們稱這個(gè)方程為y對(duì)x的回歸直線方程．其中＝xi，＝y(tǒng)i，(，)稱為樣本點(diǎn)的中心． 3．求回歸直線方程的步驟：(1)計(jì)算出、、x、xiyi的值；(2)計(jì)算回歸系數(shù) 、 ；(3)寫出回

10、歸直線方程 ＝ x＋ . (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．下列命題： ①線性回歸方法就是由樣本點(diǎn)去尋找一條貼近這些樣本點(diǎn)的直線的數(shù)學(xué)方法； ②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示； ③通過回歸直線 ＝ x＋ 及回歸系數(shù) ，可以估計(jì)和預(yù)測變量的取值和變化趨勢． 其中正確的命題是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．設(shè)有一個(gè)回歸直線方程為 ＝2－1.5x，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)(　　) A．y平均增加1.5個(gè)單位 B．y平均增加2個(gè)單位 C．y平均減少1.5個(gè)單位 D．y平

11、均減少2個(gè)單位 3．(2011陜西)設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個(gè)樣本點(diǎn)，直線l是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論中正確的是(　　) A．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率 B．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 C．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同 D．直線l過點(diǎn)(，) 4．(2011山東)某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 廣告費(fèi)用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得線性回歸方程 ＝ x＋ 中的 為9.4，據(jù)此模型預(yù)

12、報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為(　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 5．(2011青島模擬)為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立做了10次和15次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1、l2，已知兩人所得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，變量x和y的數(shù)據(jù)的平均值都相等，且分別是s、t，那么下列說法中正確的是(　　) A．直線l1和l2一定有公共點(diǎn)(s，t) B．直線l1和l2相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t) C．必有l(wèi)1∥l2 D．l1與l2必定重合 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．下列關(guān)系中，

13、是相關(guān)關(guān)系的為________．(填序號(hào)) ①學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系； ②教師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系； ③學(xué)生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系； ④家庭的經(jīng)濟(jì)條件與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系． 7．已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是0.73，樣本點(diǎn)的中心為(12.5,8.25)，則回歸直線的回歸方程是______________． 8．(2011茂名月考)在研究硝酸鈉的可溶性程度時(shí)，觀測它在不同溫度的水中的溶解度，得觀測結(jié)果如下表： 溫度(x) 0 10 20 50 70 溶解度(y) 66.7 76.0 85.0 112.3 128.

14、0 則由此得到回歸直線的斜率為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2011威海模擬)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此做了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下： 零件的個(gè)數(shù)x(個(gè)) 2 3 4 5 加工的時(shí)間y(小時(shí)) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)求出y關(guān)于x的回歸方程 ＝ x＋ ，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線； (3)試預(yù)測加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間？ (注： ＝， ＝－ ) 10．(12分)(2010許昌模擬)某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)支出x與銷售額

15、y(單位：萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)畫出散點(diǎn)圖； (2)求回歸直線方程； (3)試預(yù)測宣傳費(fèi)支出為10萬元時(shí)，銷售額多大？ 11．(14分)某企業(yè)上半年產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料如下： 月份 產(chǎn)量(千件) 單位成本(元) 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6 5 68 (1)求出回歸方程； (2)指出產(chǎn)量每增加1 000件時(shí)，單位成本平均變動(dòng)多少？ (3)假定產(chǎn)量為6 000件時(shí)，單位成本為多少元？

16、 學(xué)案58　變量間的相關(guān)關(guān)系 自主梳理 1．(1)左下角　右上角　(2)左上角　右下角　2.(1)距離的平方和最小　(2)　 － 自我檢測 1．D　2.C　3.D 4．13　正　5. ＝x＋ 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　判斷變量間是否線性相關(guān)，一種常用的簡便可行的方法就是作散點(diǎn)圖． 散點(diǎn)圖是由大量數(shù)據(jù)點(diǎn)分布構(gòu)成的，是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)之上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)可先作散點(diǎn)圖，直觀地分析它們有無關(guān)系及關(guān)系的密切程度． 解　(1)以x軸表示溫度，以y軸表示熱飲杯數(shù)，可作散點(diǎn)圖，如圖所示． (2)從圖中可以看

17、出，各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間是負(fù)相關(guān)關(guān)系，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少． 從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近． 變式遷移1　解　以x軸表示數(shù)學(xué)成績，y軸表示物理成績，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如下圖所示： 由散點(diǎn)圖可見，兩者之間具有相關(guān)關(guān)系． 例2　解題導(dǎo)引　根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，利用公式求回歸系數(shù)，然后獲得回歸方程． 解　制表如下： i 1 2 3 4 5 合計(jì) xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0

18、 32.5 42.0 112.3 x 4 9 16 25 36 90 ＝4；＝5； x2i＝90；xiyi＝112.3 于是有 ＝＝＝1.23； ＝－＝5－1.234＝0.08. ∴回歸直線方程為 ＝1.23x＋0.08. 變式遷移2　解?。剑?， ＝＝， x＝12＋22＋32＋42＝30， xiyi＝1＋2＋32＋43＝， ∴ ＝＝＝0.8， ＝－＝－0.8＝－0.25， ∴ ＝0.8x－0.25. 例3　解題導(dǎo)引　利用描點(diǎn)法得到散點(diǎn)圖，按求回歸方程的步驟和公式，寫出回歸方程，最后對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)． 利用回歸方程可以進(jìn)行預(yù)測，回歸方程將部分觀測值

19、所反映的規(guī)律進(jìn)行延伸，是我們對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行分析和控制，依據(jù)自變量的取值估計(jì)和預(yù)報(bào)因變量值的基礎(chǔ)和依據(jù)，有廣泛的應(yīng)用． 解　(1)散點(diǎn)圖： (2)＝＝4.5，＝＝3.5， xiyi＝32.5＋43＋54＋64.5＝66.5. x＝32＋42＋52＋62＝86， ∴ ＝ ＝＝0.7， ＝－ ＝3.5－0.74.5＝0.35. ∴所求的回歸方程為 ＝0.7x＋0.35. (3)現(xiàn)在生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品用煤 ＝0.7100＋0.35＝70.35， ∴降低90－70.35＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)． 變式遷移3　68 解析　＝10，＝40，回歸方程過點(diǎn)(，)

20、， ∴40＝－210＋ .∴ ＝60. ∴ ＝－2x＋60. 令x＝－4，＝(－2)(－4)＋60＝68. 課后練習(xí)區(qū) 1．D　[根據(jù)線性回歸的含義、方法、作用分析這三個(gè)命題都是正確的．] 2．C　[設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)在直線上，若x2＝x1＋1，則y2－y1＝(2－1.5x2)－(2－1.5x1)＝1.5(x1－x2)＝－1.5，y平均減少1.5個(gè)單位．] 3．D　[因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)是表示兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一個(gè)值，它的絕對(duì)值越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以A、B錯(cuò)誤．C中n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以不相同，所以C錯(cuò)誤．根據(jù)線性回歸方程

21、一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)可知D正確．所以選D.] 4．B　[∵＝＝，＝＝42， 又 ＝ x＋ 必過(，)，∴42＝9.4＋ ，∴ ＝9.1. ∴線性回歸方程為 ＝9.4x＋9.1. ∴當(dāng)x＝6時(shí)， ＝9.46＋9.1＝65.5(萬元)．] 5．A　[回歸直線方程為 ＝ x＋ .而 ＝－ ， 即 ＝t－ s，t＝ s＋ .∴(s，t)在回歸直線上． ∴直線l1和l2一定有公共點(diǎn)(s，t)．] 6．①② 解析　①中學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績之間不是因果關(guān)系，但具有相關(guān)性，是相關(guān)關(guān)系．②教師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系．③④都不具備相關(guān)關(guān)系． 7. ＝0.73x－0.8

22、75 解析　 ＝－ ＝8.25－0.7312.5＝－0.875. 8．0.880 9 解析?。?0，＝93.6， x＝7 900，xiyi＝17 035， ∴回歸直線的斜率為 ＝＝≈0.880 9. 9．解　 (1)散點(diǎn)圖如圖所示．(4分) (2)由表中數(shù)據(jù)得xiyi＝52.5， ＝3.5，＝3.5，x＝54， ∴ ＝0.7.∴ ＝－ ＝1.05. ∴ ＝0.7x＋1.05.回歸直線如圖中所示．(10分) (3)將x＝10代入回歸直線方程， 得y＝0.710＋1.05＝8.05(小時(shí))， ∴預(yù)測加工10個(gè)零件需要8.05小時(shí)．(12分) 10．解　(1)

23、根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可得散點(diǎn)圖如圖所示： (4分) (2)計(jì)算得：＝＝5，＝＝50， x＝145，xiyi＝1 380. 于是可得 ＝＝＝6.5， ＝－＝50－6.55＝17.5， 因此，所求回歸直線方程是 ＝6.5x＋17.5.(10分) (3)由上面求得的回歸直線方程可知，當(dāng)宣傳費(fèi)支出為10萬元時(shí)， ＝6.510＋17.5＝82.5(萬元)， 即這種產(chǎn)品的銷售大約為82.5萬元．(12分) 11．解　(1)n＝6，xi＝21，yi＝426，＝3.5，＝71， x＝79，xiyi＝1 481， ＝＝≈－1.82. (3分) ＝－ ＝71＋1.823.5＝77.37.(5分) ∴回歸方程為 ＝ ＋x＝77.37－1.82x.(6分) (2)因?yàn)閱挝怀杀酒骄儎?dòng) ＝－1.82<0，且產(chǎn)量x的計(jì)量單位是千件，所以根據(jù)回歸系數(shù)b的意義有： 產(chǎn)量每增加一個(gè)單位即1 000件時(shí)，單位成本平均減少1.82元．(10分) (3)當(dāng)產(chǎn)量為6 000件時(shí)，即x＝6，代入回歸方程： ＝77.37－1.826＝66.45(元)． ∴當(dāng)產(chǎn)量為6 000件時(shí)，單位成本為66.45元． (14分) 11