【步步高】屆高三數(shù)學大一輪復(fù)習 函數(shù)的奇偶性與周期性學案 理 新人教A版

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1、 學案6　函數(shù)的奇偶性與周期性 導(dǎo)學目標： 1.了解函數(shù)奇偶性、周期性的含義.2.會判斷奇偶性，會求函數(shù)的周期.3.會做有關(guān)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性的綜合問題． 自主梳理 1．函數(shù)奇偶性的定義 如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有______________，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有____________，則稱f(x)為偶函數(shù)． 2．奇偶函數(shù)的性質(zhì) (1)f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝____； f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(－x)＝f(|x|)?f(x)－f(－x)＝____. (

2、2)f(x)是偶函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于____軸對稱；f(x)是奇函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于_____ ___ 對稱． (3)奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有________的單調(diào)性． 3．函數(shù)的周期性 (1)定義：如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x＋T)＝________，則稱f(x)為________函數(shù)，其中T稱作f(x)的周期．若T存在一個最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的________________． (2)性質(zhì)： ①f(x＋T)＝f(x)常常寫作f(x＋)＝f(x－)． ②如果T是函數(shù)y＝f(x)的周期

3、，則kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)． ③若對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一個自變量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常數(shù)且a≠0)，則f(x)是以______為一個周期的周期函數(shù)． 自我檢測 1．已知函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數(shù)，則m的值是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．(2011茂名月考)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最大值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是

4、 (　　) A．增函數(shù)且最小值是－5 B．增函數(shù)且最大值是－5 C．減函數(shù)且最大值是－5 D．減函數(shù)且最小值是－5 3．函數(shù)y＝x－的圖象 (　　) A．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于直線y＝－x對稱 C．關(guān)于y軸對稱 D．關(guān)于直線y＝x對稱 4．(2009江西改編)已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－

5、2 012)＋f(2 011)的值為 (　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 5．(2011開封模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＝________. 探究點一　函數(shù)奇偶性的判定 例1　判斷下列函數(shù)的奇偶性． (1)f(x)＝(x＋1) ；(2)f(x)＝x(＋)； (3)f(x)＝log2(x＋)；(4)f(x)＝ 變式遷移1　判斷下列函數(shù)的奇偶性． (1)f(x)＝x2－x3； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝. 探究點二　函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用 例2　函數(shù)y＝f(x)(x≠0

6、)是奇函數(shù)，且當x∈(0，＋∞)時是增函數(shù)，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－)]<0的解集． 變式遷移2　(2011承德模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x，對任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，則x的取值范圍為________． 探究點三　函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例3　(2009山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m>0)，在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________. 變式遷移3　定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函

7、數(shù)，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，則f(x)(　　) A．在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù) B．在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù) C．在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù) D．在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù) 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 例　(12分)函數(shù)f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論； (3)如果f(

8、4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍． 【答題模板】 解　(1)∵對于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分] (2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， ∴f(－1)＝f(1)＝0.[4分] 令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．[6分] (3)依題設(shè)有f(44)＝f(4)＋f(4)＝2， f(164)＝f(16)＋f(4)＝3，[7分]

9、 ∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3， 即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)[8分] ∵f(x)為偶函數(shù)， ∴f(|(3x＋1)(2x－6|)≤f(64)．[10分] 又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(x)的定義域為D. ∴0<|(3x＋1)(2x－6)|≤64.[11分] 解上式，得3

10、就無法脫掉“f”，若能結(jié)合(2)中f(x)是偶函數(shù)的結(jié)論，則有f(g(x))＝f(|g(x)|)，又若能注意到f(x)的定義域為{x|x≠0}，這才能有|g(x)|>0，從而得出0<|g(x)|≤a，解之得x的范圍． 【易錯點剖析】 在(3)中，由f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64)脫掉“f”的過程中，如果思維不縝密，不能及時回顧已知條件中函數(shù)的定義域中{x|x≠0}，易出現(xiàn)0≤|(3x＋1)(2x－6)|≤64，導(dǎo)致結(jié)果錯誤． 1．正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：①定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；②f(－x)＝－

11、f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式． 2．奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)．為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要先將函數(shù)進行化簡，或應(yīng)用定義的等價形式：f(－x)＝f(x)?f(－x)f(x)＝0?＝1(f(x)≠0)． 3．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也真．利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它判斷函數(shù)的奇偶性． 4．關(guān)于函數(shù)周期性常用的結(jié)論：對于函數(shù)f(x)，若有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a為常數(shù)且a≠0)，則f(x)的一個周期為2a (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共

12、25分) 1．(2011吉林模擬)已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值為(　　) A．－ B. C. D．－ 2．(2010銀川一中高三年級第四次月考)已知定義域為{x|x≠0}的函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，若f(－3)＝0，則<0的解集為 (　　) A．(－3,0)∪(0,3) B．(－∞，－3)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3,0)∪(3，＋∞) 3．(2011鞍山月考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并

13、滿足f(x＋2)＝－，當1≤x≤2時，f(x)＝x－2，則f(6.5)等于 (　　) A．4.5 B．－4.5 C．0.5 D．－0.5 4．(2010山東)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)等于 (　　) A．3 B．1

14、 C．－1 D．－3 5．設(shè)函數(shù)f(x)滿足：①y＝f(x＋1)是偶函數(shù)；②在[1，＋∞)上為增函數(shù)，則f(－1)與f(2)大小關(guān)系是 (　　) A．f(－1)>f(2) B．f(－1)

15、. 7．(2011咸陽月考)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，且f(1)>1，f(2)＝，則m的取值范圍是________． 8．已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，則f(2 010)的值為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2011汕頭模擬)已知f(x)是定義在[－6,6]上的奇函數(shù)，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且當3≤x≤6時，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的表達式． 10．(12分)

16、設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3) (1)證明f(x)是偶函數(shù)； (2)畫出這個函數(shù)的圖象； (3)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)； (4)求函數(shù)的值域． 11．(14分)(2011舟山調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，常數(shù)a∈R)． (1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由； (2)若函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 答案 自主梳理 1．f(－x)＝－f(x)　f(－x)＝f(x) 2．(1)0　0　(2)y　原點　(3)相反 3．(1)f(

17、x)　周期　最小正周期　(2)③2a 自我檢測 1．B　[因為f(x)為偶函數(shù)，所以奇次項系數(shù)為0，即m－2＝0，m＝2.] 2．A　[奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，對稱區(qū)間上有相同的單調(diào)性．] 3．A　[由f(－x)＝－f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱．] 4．C　[f(－2 012)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 011)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log2(1＋1)＝1.] 5．－1 解析　∵f(－1)＝0，∴f(1)＝2(a＋1)＝0， ∴a＝－1.代入檢驗f(x)＝是奇函數(shù)，故a＝－1. 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　判斷函數(shù)奇偶性的方法．

18、 (1)定義法：用函數(shù)奇偶性的定義判斷．(先看定義域是否關(guān)于原點對稱)． (2)圖象法：f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，則f(x)為奇函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則f(x)為偶函數(shù)． (3)基本函數(shù)法：把f(x)變形為g(x)與h(x)的和、差、積、商的形式，通過g(x)與h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性． 解　(1)定義域要求≥0且x≠－1， ∴－1

19、∵f(－x)＝log2(－x＋) ＝log2＝－log2(x＋) ＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． (4)函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)． 當x<0時，－x>0，則 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； 當x>0時，－x<0，則 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)． ∴對任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)． 故f(x)為奇函數(shù)． 變式遷移1　解　(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，從而函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (2

20、)f(x)的定義域為{－1,1}，關(guān)于原點對稱，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． (3)由得，f(x)定義域為[－2,0)∪(0,2]． ∴定義域關(guān)于原點對稱， 又f(x)＝，f(－x)＝－ ∴f(－x)＝－f(x) ∴f(x)為奇函數(shù)． 例2　解題導(dǎo)引　本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式．解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化“抽象的不等式”為“具體的代數(shù)不等式”． 在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反． 解　∵y＝f(x)為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上為增函數(shù)， ∴y＝f(x)在(－

21、∞，0)上單調(diào)遞增， 且由f(1)＝0得f(－1)＝0. 若f[x(x－)]<0＝f(1)， 則即0

22、導(dǎo)引　解決此類抽象函數(shù)問題，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性等性質(zhì)，畫出函數(shù)的一部分簡圖，使抽象問題變得直觀、形象，有利于問題的解決． －8 解析　因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)．因此，函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對稱且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)．又因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,0]上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1

23、＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8. 變式遷移3　B　[∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x＋1)＝f(1－x)． ∴x＝1為函數(shù)f(x)的一條對稱軸． 又f(x＋2)＝f[2－(x＋2)] ＝f(－x)＝f(x)， ∴2是函數(shù)f(x)的一個周期． 根據(jù)已知條件畫出函數(shù)簡圖的一部分，如右圖： 由圖象可以看出，在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù)．] 課后練習區(qū) 1．B　[依題意得，∴， ∴a＋b＝.] 2．D 　[由已知條件，可得函數(shù)f(x)的圖象大致為右圖，故<0的解集為(－3,0)∪(3，＋∞)．]

24、 3．D　[由f(x＋2)＝－， 得f(x＋4)＝－＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因為f(x)是偶函數(shù)，則f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x≤2時，f(x)＝x－2， ∴f(1.5)＝－0.5.由上知：f(6.5)＝－0.5.] 4．D　[因為奇函數(shù)f(x)在x＝0有定義，所以f(0)＝20＋20＋b＝b＋1＝0，b＝－1. ∴f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝3， 從而f(－1)＝－f(1)＝－3.] 5．A　[由y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，得到y(tǒng)＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，∴f(－1)＝f(3)． 又f(x)在[

25、1，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)， ∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．] 6．1 解析　∵f(x)是奇函數(shù)，且x∈R，∴f(0)＝0，即a＝0.又f(－1)＝－f(1)，∴b－1＝－(1－1)＝0，即b＝1，因此a＋b＝1. 7．－11， ∴f(－1)＝－f(1)<－1，∴<－1. 解得：－1

26、1)， 即f(x－1)＝－f(－x－1)， 用x＋1替換x，得f(x)＝－f(－x－2)． 又f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(x)＝－f(x＋2)． ∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期為4. ∴f(2 010)＝f(4502＋2)＝f(2)＝2. 9．解　由題意，當3≤x≤6時，設(shè)f(x)＝a(x－5)2＋3， ∵f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a＝－1. ∴f(x)＝－(x－5)2＋3(3≤x≤6)．…………………………………………………………(3分) ∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1. 又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0. ∴一次函數(shù)圖象過(0,

27、0)，(3，－1)兩點． ∴f(x)＝－x(0≤x≤3)．…………………………………………………………………(6分) 當－3≤x≤0時，－x∈[0,3]， ∴f(－x)＝－(－x)＝x. 又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x. ∴f(x)＝－x(－3≤x≤3)．………………………………………………………………(9分) 當－6≤x≤－3時，3≤－x≤6， ∴f(－x)＝－(－x－5)2＋3＝－(x＋5)2＋3. 又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x＋5)2－3. ∴f(x)＝ 10．解　(1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1 ＝x2－2|x|－1＝f(x)

28、， 即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函數(shù)．………………………………………………………(2分) (2)當x≥0時，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2， 當x<0時，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2， 即f(x)＝ 根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如下圖． ……………………………………(6分) (3)由(2)中函數(shù)圖象可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]． f(x)在區(qū)間[－3，－1]和[0,1]上為減函數(shù)，在[－1,0]，[1,3]上為增函數(shù)．…………

29、…(8分) (4)當x≥0時，函數(shù)f(x)＝(x－1)2－2的最小值為－2，最大值為f(3)＝2； 當x<0時，函數(shù)f(x)＝(x＋1)2－2的最小值為－2，最大值為f(－3)＝2； 故函數(shù)f(x)的值域為[－2,2]．……………………………………………………………(12分) 11．解　(1)當a＝0時，f(x)＝x2對任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)， ∴f(x)為偶函數(shù)．…………………………………………………………………………(2分) 當a≠0時，f(x)＝x2＋(x≠0，常數(shù)a∈R)， 若x＝1時，則f(－1)＋f(1)＝2≠

30、0； ∴f(－1)≠－f(1)，又f(－1)≠f(1) ∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．……………………………………………(6分) 綜上所述，當a＝0時，f(x)為偶函數(shù)； 當a≠0時，f(x)為非奇非偶函數(shù)．………………………………………………………(7分) (2)設(shè)2≤x14，即a4，∴x1x2(x1＋x2)>16， ∴a的取值范圍為(－∞，16]．…………………………………………………………(14分) 9