高考數學 文二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題2 數列 突破點4 等差數列、等比數列 Word版含答案

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1、 突破點4　等差數列、等比數列 [核心知識提煉] 提煉1 等差數列、等比數列的運算 (1)通項公式 等差數列：an＝a1＋(n－1)d； 等比數列：an＝a1qn－1. (2)求和公式 等差數列：Sn＝＝na1＋d； 等比數列：Sn＝＝(q≠1)． (3)性質 若m＋n＝p＋q， 在等差數列中am＋an＝ap＋aq； 在等比數列中aman＝apaq. 提煉2 等差數列、等比數列的判定與證明 數列{an}是等差數列或等比數列的證明方法： (1)證明數列{an}是等差數列的兩種基本方法 ①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為同一常數； ②利用

2、中項性質，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)證明{an}是等比數列的兩種基本方法 ①利用定義，證明(n∈N*)為同一常數； ②利用等比中項，即證明a＝an－1an＋1(n≥2). 提煉3 數列中項的最值的求法 (1)根據數列與函數之間的對應關系，構造相應的函數f(n)＝an，利用求解函數最值的方法(多利用函數的單調性)進行求解，但要注意自變量的取值必須是正整數． (2)利用數列的單調性求解，利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求解出n的取值范圍，從而確定數列單調性的變化，進而確定相應的最值． (3)轉化為關于n的不等式組求解，若求數列{an}的最大項，則

3、可解不等式組若求數列{an}的最小項，則可解不等式組求出n的取值范圍之后，再確定取得最值的項． [高考真題回訪] 回訪1　等差數列基本量的運算 1．(20xx全國卷Ⅰ)已知{an}是公差為1的等差數列，Sn為{an}的前n項和，若S8＝4S4，則a10＝(　　) A.　　　　　　　 B． C．10 D．12 B　[∵公差為1， ∴S8＝8a1＋1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. ∵S8＝4S4， ∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝， ∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故選B.] 2．(20xx全國卷Ⅱ)設Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3

4、，則S5＝(　　) A．5　　　 B．7 C.9　　　 D．11 A　[法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1， ∴S5＝＝5a3＝5，故選A. 法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1， ∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故選A.] 3．(20xx全國卷Ⅱ)等差數列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數列，則{an}的前n項和Sn＝(　　) A．n(n＋1) B．n(n－1) C. D. A　[由a2，a4，a8成等比數列，得a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a

5、1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2，∴Sn＝2n＋2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．] 回訪2　等比數列基本量的運算 4．(20xx全國卷Ⅱ)已知等比數列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝(　　) A．2 B．1 C. D. C　[法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)， ∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8， ∴q＝2，∴a2＝a1q＝2＝，故選C. 法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2a1q4＝4(a1q3－1)， 將a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0， 解得q＝2， ∴a2＝a

6、1q＝，故選C.] 5．(20xx全國卷Ⅰ)在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝________. 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴數列{an}是首項為2，公比為2的等比數列， 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.] 熱點題型1　等差、等比數列的基本運算 題型分析：以等差(比)數列為載體，考查基本量的求解，體現方程思想的應用是近幾年高考命題的一個熱點，題型以客觀題為主，難度較?。? 【例1】(1)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，設bn＝1＋log3an，那么數列{bn

7、}的前15項和為(　　) 【導學號：04024053】 A．152 B．135 C．80 D．16 (2)設{an}是首項為a1，公差為－1的等差數列，Sn為其前n項和．若S1，S2，S4成等比數列，則a1＝(　　) A．2 B．－2 C. D．－ (1)B　(2)D　[(1)設等比數列{an}的公比為q， 由a1＋a3＝30，a2＋a4＝S4－(a1＋a3)＝90， 所以公比q＝＝3，首項a1＝＝3， 所以an＝3n，bn＝1＋log33n＝1＋n， 則數列{bn}是等差數列，前15項的和為＝135， 故選B. (2)由題意知S1＝a1，S2＝2a1－1，

8、S4＝4a1－6，因為S1，S2，S4成等比數列， 所以S＝S1S4，即(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－，故選D.] [方法指津] 在等差(比)數列問題中最基本的量是首項a1和公差d(公比q)，在解題時往往根據已知條件建立關于這兩個量的方程組，從而求出這兩個量，那么其他問題也就會迎刃而解．這就是解決等差、等比數列問題的基本量的方法，這其中蘊含著方程的思想． 提醒：應用等比數列前n項和公式時，務必注意公比q的取值范圍． [變式訓練1] (1)在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，Sn為{an}的前n項和，若Sn＝51，則n＝__________. (2)(

9、20xx東北三省四市聯考)等比數列{an}中各項均為正數，Sn是其前n項和，且滿足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，則S4＝________. (1)6　(2)30　[(1)由a1＝1，an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3， 所以數列{an}是首項為1，公差為3的等差數列． 由Sn＝n＋3＝51， 即(3n＋17)(n－6)＝0， 解得n＝6或n＝－(舍)． (2)設數列{an}的公比為q(q＞0)，則 解得所以S4＝＝30.] 熱點題型2　等差、等比數列的基本性質 題型分析：該熱點常與數列中基本量的運算綜合考查，熟知等差(比)數列的基本性質，可以大大提高解題效率．

10、【例2】(1)(20xx南昌一模)若等比數列的各項均為正數，前4項的和為9，積為，則前4項倒數的和為(　　) 【導學號：04024054】 A. B. C．1 D．2 (2)(20xx中原名校聯考)若數列{an}滿足－＝d(n∈N*，d為常數)，則稱數列{an}為調和數列．已知數列為調和數列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，則x5＋x16＝(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 (1)D　(2)B　[(1)由題意得 S4＝＝9，所以＝.由a1a1qa1q2a1q3＝(aq3)2＝得aq3＝.由等比數列的性質知該數列前4項倒數的和為＝＝＝＝2，故選D. (2

11、)∵數列為調和數列，∴－＝xn＋1－xn＝d，∴{xn}是等差數列， ∵x1＋x2＋…＋x20＝200＝，∴x1＋x20＝20，又∵x1＋x20＝x5＋x16，∴x5＋x16＝20.] [方法指津] 1．若{an}，{bn}均是等差數列，Sn是{an}的前n項和，則{man＋kbn}，仍為等差數列，其中m，k為常數． 2．若{an}，{bn}均是等比數列，則{can}(c≠0)，{|an|}，{anbn}，{manbn}(m為常數，m≠0)，{a}，仍為等比數列． 3．公比不為1的等比數列，其相鄰兩項的差也依次成等比數列，且公比不變，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比數列

12、，且公比為＝＝q. 4．(1)等比數列(q≠－1)中連續(xù)k項的和成等比數列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數列，其公比為qk. (2)等差數列中連續(xù)k項的和成等差數列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數列，公差為k2d. 5．若A2n－1，B2n－1分別為等差數列{an}，{bn}的前2n－1項的和，則＝. [變式訓練2](1)已知各項不為0的等差數列{an}滿足2a2－a＋2a12＝0，數列{bn}是等比數列，且b7＝a7，則b3b11等于(　　) A．16 B．8 C.4 D．2 (2)(20xx武漢二模)等比數列{an}的各項均為正數，且

13、a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　) A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 (1)A　(2)B　[(1)∵{an}是等差數列，∴a2＋a12＝2a7， ∴2a2－a＋2a12＝4a7－a＝0.又a7≠0，∴a7＝4. 又{bn}是等比數列，∴b3b11＝b＝a＝16. (2)由等比數列的性質知a5a6＝a4a7＝9， 所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10) ＝log3(a5a6)5＝log395＝10，故選B.] 熱點題型3　等差、等比數列的證明 題

14、型分析：該熱點在考查數列的通項公式，前n項和公式的同時，考查學生的推理論證能力． 【例3】　(20xx全國卷Ⅰ)記Sn為等比數列{an}的前n項和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通項公式； (2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數列． [解] (1)設{an}的公比為q.由題設可得 2分 解得q＝－2，a1＝－2． 4分 故{an}的通項公式為an＝(－2)n． 6分 (2)由(1)可得 Sn＝＝－＋(－1)n． 8分 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ＝2＝2Sn， 10分 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數列．

15、 12分 [方法指津] 判斷或證明數列是否為等差或等比數列，一般是依據等差數列、等比數列的定義，或利用等差中項、等比中項進行判斷． 提醒：利用a＝an＋1an－1(n≥2)來證明數列{an}為等比數列時，要注意數列中的各項均不為0. [變式訓練3]　(20xx全國卷Ⅰ)已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由． [解] (1)證明：由題設知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 2分 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ． 4分 (2)由題設知a1＝1，a1a2＝λS1－1， 可得a2＝λ－1. 5分 由(1)知，a3＝λ＋1． 6分 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 7分 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數列， a2n－1＝4n－3. 9分 {a2n}是首項為3，公差為4的等差數列，a2n＝4n－1. 11分 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在λ＝4，使得數列{an}為等差數列． 12分