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1、(新教材)北師大版精品數(shù)學(xué)資料
第三章 3.4 第2課時直線與圓錐曲線的交點
一、選擇題
1.設(shè)直線y=a(a∈R)與曲線y=|3-x2|的公共點個數(shù)為m,那么下列不能成立的是( )
A.m=4 B.m=3
C.m=2 D.m=1
[答案] D
[解析] 利用數(shù)形結(jié)合,易得兩曲線不可能有一個公共點.
2.拋物線與直線有一個公共點是直線與拋物線相切的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
[答案] B
[解析] 當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時,與拋物線也有一個公共點.
3.已知橢圓x2+2y2=4,則以
2、(1,1)為中點的弦的長度為( )
A.3 B.2
C. D.
[答案] C
[解析] 依題設(shè)弦端點A(x1,y1)、B(x2,y2),則x+2y=4,x+2y=4,
∴x-x=-2(y-y),
∴此弦斜率k==-=-,
∴此弦直線方程y-1=-(x-1),
即y=-x+代入x2+2y2=4,整理得3x2-6x+1=0,
∴x1x2=,x1+x2=2.
∴|AB|===.
4.過橢圓+=1(a>b>0)的焦點F作弦AB,若|AF|=d1,|FB|=d2,則+的值為( )
A. B.
C. D.與AB的斜率有關(guān)
[答案] B
[解析] (特例法)弦AB垂直于x軸
3、時,將x=c代入橢圓方程得y=,此時d1=d2=,則+=.弦AB在x軸上時,d1=a+c,d2=a-c,∴+=+==.
5.若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點,那么k的取值范圍是( )
A.(-,) B.(0,)
C.(-,0) D.(-,-1)
[答案] D
[分析] 直線與雙曲線右支交于不同兩點,則由直線與雙曲線消去y得到的方程組應(yīng)有兩正根,從而Δ>0,x1+x2>0,x1x2>0,二次項系數(shù)≠0.
[解析] 由得(1-k2)x2-4kx-10=0.
由題意,得
解得-
4、a>0,b>0)的左右焦點,過點F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點.若△ABF2是等邊三角形,則該雙曲線的離心率為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 如圖,由雙曲線的定義知,|AF2|-|AF1|=2a,
|BF1|-|BF2|=2a,∴|AB|=|BF1|-|AF1|=|BF1|-|AF1|+|AF2|-|BF2|=(|BF1|-|BF2|)+(|AF2|-|AF1|)=4a,
∴|BF2|=4a,|BF1|=6a,
在△BF1F2中,∠ABF2=60,
由余弦定理,|BF1|2+|BF2|2-|F1F2|2=2|BF1||BF2|co
5、s60,
∴36a2+16a2-4c2=24a2,∴7a2=c2,
∵e>1,∴e==,故選D.
二、填空題
7.若直線x+y-m=0被曲線y=x2所截得的線段長為3,則m的值為________________.
[答案] 2
[解析] 設(shè)直線x+y-m=0與曲線y=x2相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點
由消去y得,x2+x-m=0,
∴.
|AB|=|x1-x2|
=
==3
∴=3,∴m=2.
8.(2014安徽理)若F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+=1(0
6、軸,則橢圓E的方程為________________.
[答案] x2+y2=1
[解析] 本題考查橢圓方程的求法.
如圖,由題意,|AF2|=b2,
又∵|AF1|=3|BF1|,
∴B點坐標(biāo)(-c,-b2),
代入橢圓方程
∴方程為x2+y2=1.
三、解答題
9.已知曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1.
(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;
(2)若l與C交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,且△AOB的面積為,求實數(shù)k的值.
[解析] (1)由消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
由得k的取值范圍是(-,-1)∪(-1,1)∪(1
7、,).
(2)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2).
由(1),得x1+x2=-,x1x2=-.
又∵l過點D(0,-1),
∴S△OAB=S△OAD+S△OBD=|x1|+|x2|=|x1-x2|=
∴(x1-x2)2=(2)2,即()2+=8,
解得k=0或k=.
10.設(shè)點F,動圓P經(jīng)過點F且和直線y=-相切,記動圓的圓心P的軌跡為曲線w.
(1)求曲線w的方程;
(2)過點F作互相垂直的直線l1、l2,分別交曲線w于A、C和B、D兩個點,求四邊形ABCD面積的最小值.
[解析] (1)由拋物線的定義知點P的軌跡為以F為焦點的拋物線,=,即p=3,∴w:x2=6y.
8、
(2)設(shè)AC:y=kx+,
由?x2-6kx-9=0.
設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),易求|AC|=6(k2+1),
∵l1與l2互相垂直,
∴以-換k得|BD|=6,
SABCD=|AC||BD|=6(k2+1)6
=18≥18(2+2)=72,
當(dāng)k=1時取等號,
∴四邊形ABCD面積的最小值為72.
一、選擇題
1.直線y=kx-2交拋物線y2=8x于A、B兩點,若弦AB中點的橫坐標(biāo)為2,則k=( )
A.2或-1 B.-1
C.2 D.3
[答案] C
[解析] 由聯(lián)立消去y,得k2x2-4(k+z)x+4=0.
由韋達定理可得xA+xB
9、=.
∵弦AB中點的橫坐標(biāo)為2,
∴2=.∴k=2或k=-1.
∵直線與拋物線相交于A、B兩點,∴Δ=16(k+2)2-16k2>0.
∴k>-1.∴k=-1應(yīng)舍去.故選C.
2.已知雙曲線中心在原點,且一個焦點為F(,0),直線y=x-1與其相交于M、N兩點,MN中點的橫坐標(biāo)為-,則此雙曲線的方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[答案] D
[解析] 設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),依題意c=,∴方程可化為-=1.
由得,
(7-2a2)x2+2a2x-8a2+a4=0.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=.
∵
10、=-,
∴=-,解得a2=2.
故所求雙曲線方程為-=1,故選D.
3.直線y=mx+1與雙曲線x2-y2=1總有公共點,則m的取值范圍是( )
A.m≥或m≤-
B.-≤m≤且m≠0
C.m∈R
D.-≤m≤
[答案] D
[解析] 由方程組消去y,整理得(1-m2)x2-2mx-2=0,若直線與雙曲線總有公共點,當(dāng)m≠1時,則Δ=8-4m2≥0恒成立,即-≤m≤(m≠1).當(dāng)m=1時顯然也適合題意,故m∈[-,].
4.對于拋物線C:y2=4x,我們稱滿足y<4x0的點M(x0,y0)在拋物線的內(nèi)部,若點M(x0,y0)在拋物線的內(nèi)部,則直線l:y0y=2(x+x0)
11、與C( )
A.恰有一個公共點
B.恰有兩個公共點
C.可能有一個公點,也可能有兩個公共點
D.沒有公共點
[答案] D
[解析] 聯(lián)立整理得y2-2y0y+4x0=0.∵y<4x0,∴Δ=4y-16x0<0,∴方程無解,即直線l與拋物線C無交點.
二、填空題
5.已知直線l過點P(0,2)且與橢圓x2+2y2=2只有一個公共點,則直線l的方程為____________________.
[答案] y=x+2或y=-x+2
[解析] 當(dāng)直線l斜率不存在時,方程為x=0,與橢圓x2+2y2=2有兩個公共點,舍去;
當(dāng)直線l斜率存在時,設(shè)方程為y=kx+2,代入橢圓方程得x
12、2+2(kx+2)2=2,整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0,
由Δ=64k2-46(2k2+1)=0,解得k=,
故直線l方程為y=x+2或y=-x+2.
6.過點M(-2,0)的直線l與橢圓x2+2y2=2交于P1,P2兩點,線段P1P2中點為P,設(shè)直線l的斜率為k1(k1≠0),直線OP的斜率為k2(O為原點),則k1k2的值為________________.
[答案]?。?
[解析] 設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x0,y0),
∴x+2y=2,①
x+2y=2,②
①-②得:k1=-.
∴k1=-,即k1k2=-.
三、解答題
7.在拋物線
13、y2=4x上恒有兩點關(guān)于直線y=kx+3對稱,求k的取值范圍.
[解析] 設(shè)拋物線y2=4x上的B,C兩點關(guān)于直線y=kx+3對稱,則直線BC的方程為x=-ky+m(k≠0),代入y2=4x,得y2+4ky-4m=0.①
設(shè)點B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中點M(x0,y0),
則y0==-2k,則x0=2k2+m.
∵點M(x0,y0)在直線y=kx+3上,
∴-2k=k(2k2+m)+3.
∴m=-.②
又∵直線BC與拋物線交于不同的兩點,
∴方程①中,Δ=16k2+16m>0.
把②式代入化簡,得<0,
即<0,解得-1
14、,0).
8.(2014天津文)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,右頂點為A,上頂點為B.已知|AB|=|F1F2|.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點,以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1,經(jīng)過點F2的直線l與該圓相切與點M,|MF2|=2.求橢圓的方程.
[解析] (1)如圖所示,
由橢圓的幾何性質(zhì)|AB|=,
而|AB|=|F1F2|,
∴a2+b2=4c2=3c2.
又b2=a2-c2,∴2a2=4c2,即e2=,∴e=.
(2)由(1)設(shè)橢圓方程+=1.
設(shè)P(x1,y1),B(0,c),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
∵P是異于頂點的點,∴x1≠0,y≠0.
以PB為直徑的圓過F1,即PF1⊥BF1,
∴=-1,∴y1=-(x1+c).
設(shè)PB中點D(,),即D為(,).
由題意得|DF2|2=|DM|2+|MF2|2,
∵|DM|=|DB|=r,
∴|DF2|2=(-c)2+,|MF2|2=8,
|DM|2=+(c+)2,
即(-c)2+=8++(c+)2.
整理得cx1=-4 ①
又P(x1,-(x1+c))在橢圓上,
∴x+2(x1+c)2=2c2整理得3x+4cx1=0?、?
∵x1≠0,∴,解之得c2=3,
∴所求橢圓方程為+=1.