新教材高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理單元綜合測試 北師大版選修23

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1、 (新教材)北師大版精品數(shù)學資料 【成才之路】高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理單元綜合測試 北師大版選修2-3 時間120分鐘,滿分150分。 一、選擇題(本大題共10個小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.如圖,從上往下讀(不能跳讀)構(gòu)成句子“構(gòu)建和諧社會,創(chuàng)美好未來”的不同讀法種數(shù)是(  ) 構(gòu) 建 建 和 和 和 諧 諧 諧 諧 社 社 社 社 社 會 會 會 會 會 會 創(chuàng) 創(chuàng) 創(chuàng) 創(chuàng) 創(chuàng) 美 美 美 美 好 好 好 未 未 來 A.250  B.240  C.252  D.300 [答案] C [解析]

2、 要組成題設(shè)中的句子,則每行讀一字,不能跳讀.每一種讀法須10步完成(從上一個字到下一個字為一步),其中5步是從左上角到右下角方向讀的,故共有不同讀法C=252種. 2.某單位擬安排6位員工在今年6月14日至16日(端午節(jié)假期)值班,每天安排2人,每人值班1天,若6位員工中的甲不值14日,乙不值16日,則不同的安排方法共有(  ) A.30種 B.36種 C.42種 D.48種 [答案] C [解析] 本題考查排列組合的基本知識,涉及分類,分步計算原理、特殊元素、特殊位置. 甲在16日,有CC=24種;甲在15日,乙在15日有C=6種. 甲在15日,乙在14日時有CC=12種,所

3、以總共24+6+12=42, 故選C. 3.(1+x)7的展開式中x2的系數(shù)是(  ) A.42 B.35 C.28 D.21 [答案] D [解析] 展開式中第r+1項為Tr+1=Cxr,T3=Cx2,∴x2的系數(shù)為C=21,此題誤認為Tr+1為第r項,導(dǎo)致失分. 4.A、B、C、D、E五人并排站成一排,如果A、B必須相鄰且B在A的右邊,那么不同的排法種數(shù)有(  ) A.60種 B.48種 C.36種 D.24種 [答案] D [解析] 把A,B視為一人,且B固定在A的右邊,則本題相當于4人的全排列,A=24種. 5.設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項式系數(shù)的最

4、大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b,若13a=7b,則m=(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 [答案] B [解析] a=c=, b=c=, 又∵13a=7b,∴13(m+1)=7(2m+1), ∴m=6. 6.如圖,一圓形花圃內(nèi)有5塊區(qū)域,現(xiàn)有4種不同顏色的花.從4種花中選出若干種植入花圃中,要求相鄰兩區(qū)域不同色,種法有(  ) A.324種 B.216種 C.244種 D.240種 [答案] D [解析] 若1、4同色,共有C×3×3×2=72(種).若1、4不同色(里面分2與4同色不同色),共有A

5、×2×(1×3+2×2)=168(種).所以一共有168+72=240(種). 7.一排9個座位坐了3個三口之家, 若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為(  ) A.3×3! B.3×(3!)3 C.(3!)4 D.9! [答案] C [解析] 本題考查捆綁法排列問題. 由于一家人坐在一起,可以將一家三口人看作一個整體,一家人坐法3!, 三個家庭即(3!)3,三個家庭又可全排列,因此(3!)4 注意排列中在一起可用捆綁法,即相鄰問題. 8.(x-y)4的展示式中x3y3的系數(shù)為(  ) A.4 B.5 C.6 D

6、.8 [答案] C [解析] 本題考查二項展開式的通項公式,以及二項展開式中項的系數(shù). (x-y)4的展開式中的第(r+1)項 Tr+1=C(-1)r(x)4-r(y)r =C(-1)rx4-y2+ 令4-=3得r=2 ∴展開式中x3y3的系數(shù)為C(-1)2=6. 9.已知碳元素有3種同位素12C、13C、14C,氧元素也有3種同位素16O、17O、18O,則不同的原子構(gòu)成的CO2分子有(  ) A.9種 B.27種 C.54種 D.81種 [答案] B [解析] 先選碳原子,再選第一個氧原子,最后選第二個氧原子.根據(jù)乘法原理所以N=C·C·C=27

7、種. 10.(2014·福建理,10)用a代表紅球,b代表藍球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球,而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來.依此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個有區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球,且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是(  ) A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C

8、.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) [答案] A [解析] 從5個無區(qū)別的紅球中取出若干個球的所有情況為1+a+a2+a3+a4+a5,從5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球的所有情況為(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)(1+c),而所有藍球都取出或都不取出有1+b5種情況,故選A. 二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分) 11.若(x+)8的展開式中x4的系數(shù)為7,則實數(shù)a=________. [答案]  [解析] 由Tr+1=C·xr()8-r=C·x&#

9、183;a8-r. 令=4,∴r=5,則x4的系數(shù)為Ca3=7. 解之得a=. 12.若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a1+a2+a3+a4+a5=________(用數(shù)字作答). [答案] 31 [解析] 已知(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0, 令x=1,得(1-2)5=a5+a4+a3+a2+a1+a0=-1, 令x=0,得(0-2)5=a0=-32, 所以a1+a2+a3+a4+a5=31. 13.一直線和圓相離,這條直線上有6個點,圓周上有4個點,通過任意兩點作直線,最少可作直線的條數(shù)是____

10、____. [答案] 19 [解析] 為了作的直線條數(shù)最少,應(yīng)出現(xiàn)3點或更多點共線的情況,由于直線與圓相離,應(yīng)讓圓上任意兩點都與直線上的一點共線.圓周上有4點能連成C=6條直線,而直線上恰有6個點,故這10個點中最多有6個三點共線和1個六點共線的情況,因此最少可作直線C-6C-C+6+1=19(條). 14.某藥品研究所研制了5種消炎藥a1、a2、a3、a4、a5,4種退燒藥b1、b2、b3、b4,現(xiàn)從中取出兩種消炎藥和一種退燒藥同時使用進行療效實驗,但又知a1、a2兩種藥必須同時使用,且a3、b4兩種藥不能同時使用,則不同的實驗方案有________種. [答案] 14 [解析] 

11、當a1,a2兩種藥同時使用時,只要選一種退燒藥即可,有4種實驗方案;當取消炎藥a3時,另一消炎藥的選取有2種可能,退燒藥的選取有3種可能,有2×3=6種實驗方案;當取消炎藥a4、a5時,只要選一種退燒藥即可,有4種實驗方案;相加即可. 15.電視臺連續(xù)播放6個廣告,其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告,要求首尾必須播放公益廣告,則共有________種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示). [答案] 48 [解析] 本題可以分兩步完成:首尾必須播放公益廣告的有2種;中間4個為不同的商業(yè)廣告有A=24種,從而有2×24=48種不同的播放方式. 三、解答題(本大題共

12、6小題,共75分,前4題每題12分,20題13分,21題14分) 16.(1)化簡n·(n+1)·…·(n+m); (2)求證:A+5A=A; (3)求n,使A=10A. [解析] (1)由排列數(shù)公式的階乘形式可得n·(n+1)·…·(n+m)==A. (2)證明:A+5A=7×6×5×4×3+5×7×6×5×4=(3+5)×7×6×5×4=8×7×6×5×4=A,故

13、等式得證. (3)由A=10A得2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),即4n(2n-1)(n-1)=10n(n-1)(n-2),4(2n-1)=10(n-2)(n≥3,n是正整數(shù)),解得n=8. 17.把4個男同志和4個女同志均分成4組,到4輛公共汽車里參加售票勞動,如果同樣兩人在不同汽車上服務(wù)算作不同情況. (1)有幾種不同的分配方法? (2)每個小組必須是一個男同志和一個女同志有幾種不同的分配方法? (3)男同志與女同志分別分組,有幾種不同分配方法? [解析] (1)男女合在一起共有8人,每輛車上2人,可以分四個步驟完成,先安排2人上第一輛車,共有C種,再上

14、第二車共有C種,再上第三車共有C種,最后上第四車共有C種,這樣不同分配方法,按分步計數(shù)原理有 C·C·C·C=2520(種). (2)要求男女各1人,因此先把男同志安排上車,共有A種不同方法,同理,女同志也有A種方法,由分步計數(shù)原理,男女各1人上車的不同分配方法為A·A=576(種). (3)男女分別分組,4個男的平分成兩組共有=3(種),4個女的分成兩組也有=3(種)不同分法,這樣分組方法就有3×3=9(種),對于其中每一種分法上4部車,又有A種上法,因而不同分配方法為9·A=216(種). 18.把7個大小完全相同的小球,

15、放置在三個盒子中,允許有的盒子一個也不放. (1)如果三個盒子完全相同,有多少種放置方法? (2)如果三個盒子各不相同,有多少種放置方法? [解析] (1)∵小球的大小完全相同,三個盒子也完全相同,∴把7個小球分成三份,比如分成3個、2個、2個這樣三份放入三個盒子中,不論哪一份小球放入哪一個盒子均是同一種放法,因此,只需將7個小球分成如下三份即可,即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2). 共計有8種不同的放置方法. (2)設(shè)三個盒子中小球的個數(shù)分別為x1、x2、x3,顯然有:x1+x2+x3=7

16、,于是,問題就轉(zhuǎn)化為求這個不定方程的非負整數(shù)解,若令yi=xi+1(i=1,2,3)由y1+y2+y3=10,問題又成為求不定方程y1+y2+y3=10的正整數(shù)解的組數(shù)的問題,在10個1中間9個空檔中,任取兩個空檔作記號,即可將10分成三組,∴不定方程的解有C=36組.∴有36種放置方法. 19.在產(chǎn)品質(zhì)量檢驗時,常從產(chǎn)品中抽出一部分進行檢查,現(xiàn)有100件產(chǎn)品,其中有98件正品,2件次品,從中任意抽出3件檢查, (1)共有多少種不同的抽法? (2)恰好有一件是次品的抽法有多少種? (3)至少有一件是次品的抽法有多少種? [解析] (1)所求的不同抽法數(shù),即從100個不同元素中任取3個

17、元素的組合數(shù),共有C==161700(種). (2)抽出的3件中恰好有一件是次品的這件事,可以分兩步完成. 第一步:從2件次品中任取1件,有C種方法; 第二步:從98件正品中任取2件,有C種方法. 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,不同的抽取方法共有C·C=2×4753=9506(種). (3)方法一:抽出的3件中至少有一件是次品的這件事,分為兩類: 第一類:抽出的3件中有1件是次品的抽法,有CC種; 第二類:抽出的3件中有2件是次品的抽法,有CC種. 根據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同的抽法共有CC+CC=9506+98=9604(種). 方法二:從100件產(chǎn)品中任取3件

18、的抽法有C種,其中抽出的3件中至少有一件是次品的抽法共有C-C=161700-152096=9 604(種). [反思總結(jié)] 本題考查了計數(shù)原理和組合知識的應(yīng)用. 20.求(x2+3x+2)5的展開式中x項的系數(shù). [解析] 方法一:因為(x2+3x+2)5=(x+2)5·(x+1)5=(Cx5+Cx4·2+…+C·25)(Cx5+Cx4+…+C)展開后x項為Cx·24·C+C·25·Cx=240x. 所以(x2+3x+2)5展開式中x項的系數(shù)為240. 方法二:因為(x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5,

19、 設(shè)Tr+1=C(x2)5-r(3x+2)r, 在(3x+2)r中,設(shè)Tk+1=C(3x)r-k2k, Tr+1=C(x2)5-rC(3x)r-k2k=CC3r-k2kx10-r-k, 依題意可知10-r-k=1,即r+k=9. 又0≤k≤r≤5,r,k∈N+,所以r=5,k=4. 則Tr+1=C·C·3·24·x=240x. 所以(x2+3x+2)5展開式中x項的系數(shù)為240. 方法三:把(x2+3x+2)5看成5個x2+3x+2相乘,每個因式各取一項相乘得到展開式中的一項,x項可由1個因式取3x,4個因式取2相乘得到,即C3x

20、3;C·24=240x. 所以(x2+3x+2)5展開式中x項的系數(shù)為240. [反思總結(jié)] 本題考查利用轉(zhuǎn)化的思想求三項展開式的特定項.三項式求特定項的思路有: (1)分解因式法:通過因式分解將三項式變成兩個二項式,然后再用二項式定理分別展開. (2)逐層展開法:將三項式分成兩組,用二項式定理展開,再把其中含兩項的一組展開. (3)利用組合知識:把三項式看成幾個因式的積,利用組合知識分析項的構(gòu)成,注意最后應(yīng)把各個同類項相合并. 21.已知n(n∈N*)的展開式的各項系數(shù)之和等于5的展開式中的常數(shù)項,求n的展開式中a-1項的二項式系數(shù). [解析] 對于5:Tr+1=C(4)5-rr=C·(-1)r·45-r·5-b.若Tr+1為常數(shù)項,則10-5r=0,所以r=2,此時得常數(shù)項為T3=C·(-1)2·43·5-1=27.令a=1,得n展開式的各項系數(shù)之和為2n.由題意知2n=27,所以n=7.對于7:Tr+1=C7-r·(-)r=C·(-1)r·37-ra.若Tr+1為a-1項,則=-1,所以r=3.所以n的展開式中a-1項的二項式系數(shù)為C=35.

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