《新教材高中數(shù)學(xué) 3.4第1課時(shí)曲線與方程、圓錐曲線的共同特征練習(xí) 北師大版選修21》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新教材高中數(shù)學(xué) 3.4第1課時(shí)曲線與方程、圓錐曲線的共同特征練習(xí) 北師大版選修21(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、(新教材)北師大版精品數(shù)學(xué)資料
第三章 3.4 第1課時(shí) 曲線與方程、圓錐曲線的共同特征
一、選擇題
1.(2013廣東省中山一中期中)方程(2x-y+2)=0表示的曲線是( )
A.一個(gè)點(diǎn)與一條直線
B.兩條射線和一個(gè)圓
C.兩個(gè)點(diǎn)
D.兩個(gè)點(diǎn)或一條直線或一個(gè)圓
[答案] B
[解析] 原方程等價(jià)于x2+y2-1=0,
或,故選B.
2.動(dòng)點(diǎn)在曲線x2+y2=1上移動(dòng)時(shí),它和定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)P的軌跡方程是( )
A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1 D.(x+)2+y2=1
[答案] C
[解
2、析] 設(shè)P點(diǎn)為(x,y),曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(x1,y1),
則有=x,=y(tǒng).
∴x1=2x-3,y1=2y.
∵(x1,y1)在x2+y2=1上,∴x+y=1
∴(2x-3)2+(2y)2=1.
3.“點(diǎn)M在曲線y=|x|上”是“點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等”的( )
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
[答案] B
[解析] 到兩坐標(biāo)軸距離相等點(diǎn)的軌跡如圖(1),y=|x|的曲線如圖(2).
∴“點(diǎn)M在曲線y=|x|上”?“點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等”.故選B.
4.若方程x-2y-2k=0與2x-y-k=0所表示的兩條直線的交
3、點(diǎn)在方程x2+y2=9的曲線上,則k等于( )
A.3 B.0
C.2 D. 一切實(shí)數(shù)
[答案] A
[解析] 兩直線的交點(diǎn)為(0,-k),由已知點(diǎn)(0,-k)在曲線x2+y2=9上,故可得k2=9,∴k=3.
5.設(shè)圓C與圓x2+(y-3)2=1外切,與直線y=0相切,則C的圓心軌跡為( )
A.拋物線 B.雙曲線
C.橢圓 D.圓
[答案] A
[解析] 本題主要考查直線與圓,圓與圓的位置關(guān)系,以及拋物線的定義.
由題意作圖可知,圓C的圓心到(0,3)的距離等于到直線y =-1的距離,所以C的圓心軌跡為拋物線.
6.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D
4、1中,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總保持AP⊥BD1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )
A.線段B1C
B.線段BC1
C.BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段
D.BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段
[答案] A
[解析] 設(shè)P1、P2為P的軌跡上兩點(diǎn),則AP1⊥BD1,AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2=A,
∴直線AP1與AP2確定一個(gè)平面α,與面BCC1B1交于直線P1P2,且知BD1⊥平面α,
∴P1P2⊥BD1,
又∵BD1在平面BCC1B1內(nèi)的射影為BC1,∴P1P2⊥BC1,而在面BCC1B1內(nèi)只有B1C與BC1垂直,
∴P點(diǎn)的軌跡為B1C.
二、填
5、空題
7.M為直線l:2x-y+3=0上的一動(dòng)點(diǎn),A(4,2)為一定點(diǎn),又點(diǎn)P在直線AM上運(yùn)動(dòng),且APPM=3,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為________________.
[答案] 8x-4y+3=0
[解析] 設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為M(x0,y0),P(x,y),由題設(shè)及向量共線條件可得
, ∴.
因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在直線2x-y+3=0上,
所以2-+3=0,
即8x-4y+3=0,
從而點(diǎn)P的軌跡方程為8x-4y+3=0.
8.已知圓的方程為x2+y2=4,動(dòng)拋物線過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),且以圓的切線為準(zhǔn)線,則拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程是___________
6、_____.
[答案]?。?
[解析] 設(shè)P(x0,y0)為圓上任一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)的切線l:x0x+y0y=4 (|x0|≤2),
以l為準(zhǔn)線過(guò)A,B兩點(diǎn)的拋物線焦點(diǎn)F(x,y),A,B到l距離分別為d1,d2,根據(jù)拋物線的定義,
|FA|+|FB|=d1+d2,
即+=+=4>|AB|,
∴F點(diǎn)的軌跡是以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,
∴c=1,∴b2=3,∴方程為+=1.
三、解答題
9.設(shè)定點(diǎn)M(-3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M,ON為兩邊作平行四邊形MONP,求點(diǎn)P的軌跡方程.
[解析] 如圖所示,設(shè)P(x,y),N(x0,y0),
則線段O
7、P的中點(diǎn)坐標(biāo)為,線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分,所以=,=,從而由N(x+3,y-4)在圓上,得(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求P點(diǎn)的軌跡方程為(x+3)2+(y-4)2=4,但應(yīng)除去兩點(diǎn):和.
10.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在x軸上,若右焦點(diǎn)到直線x-y+2=0的距離為3.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng),B為(4,0),M點(diǎn)是線段BP上的靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn),求點(diǎn)M的軌跡方程.
[分析] (1)設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0),由點(diǎn)到直線的距離公式可求出c,又b=1,則可求得a,即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)P(x0,y0)
8、,M(x,y).由題意可知=,進(jìn)而可得(x,y)與(x0,y0)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.利用相關(guān)點(diǎn)法,結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上,代入橢圓方程即可求出M點(diǎn)的軌跡方程.
[解析] (1)設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0),
因?yàn)橛医裹c(diǎn)到直線x-y+2=0的距離為3.
所以=3,即c+2=3,
所以c=或c=-5(舍).
又由b=1,得a2=3.
因此所求橢圓方程為+y2=1.
(2)設(shè)M(x,y),P(x0,y0),由題意可知,=,所以(x-x0,y-y0)=(4-x0,-y0),
所以
又由P在橢圓上,則有+()2=1,
即+=1,
故點(diǎn)M的軌跡方程為+=1.
一、選擇題
1.方程x(x2+y2
9、-1)=0和x2+(x2+y2-1)2=0所表示的圖形是( )
A.前后兩者都是一條直線和一個(gè)圓
B.前后兩者都是兩點(diǎn)
C.前者是一條直線和一個(gè)圓,后者是兩點(diǎn)
D.前者是兩點(diǎn),后者是一條直線和一個(gè)圓
[答案] C
[解析] x(x2+y2-1)=0?x=0或x2+y2=1,表示直線x=0和圓x2+y2=1.
x2+(x2+y2-1)2=0?
?表示點(diǎn)(0,1)、(0,-1).
2.方程4x2-y2+6x-3y=0表示的圖形是( )
A.直線2x-y=0
B.直線2x+y+3=0
C.直線2x-y=0或直線2x+y+3=0
D.直線2x+y=0和直線2x-y+3=0
10、
[答案] C
[解析] ∵4x2-y2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3),
∴原方程表示兩條直線2x-y=0和2x+y+3=0.
3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)滿足10=|3x+4y|,則P點(diǎn)的軌跡是( )
A.橢圓 B.雙曲線
C.拋物線 D.兩相交直線
[答案] A
[解析] 條件化為2=,即為點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F(1,2)的距離與到定直線l:3x+4y=0的距離之比為,又點(diǎn)F不在直線l上,故根據(jù)橢圓的第二定義可知,點(diǎn)P的軌跡是橢圓.
4.已知點(diǎn)A(2,0),B、C在y軸上,且|BC|=4,△ABC外心的軌跡S的方程為(
11、 )
A.y2=2x B.x2+y2=4
C.y2=4x D.x2=4y
[答案] C
[解析] 設(shè)△ABC外心為G(x,y),B(0,a),C(0,a+4),
由G點(diǎn)在BC的垂直平分線上知y=a+2,
∵|GA|2=|GB|2,∴(x-2)2+y2=x2+(y-a)2,
整理得y2=4x.
即點(diǎn)G的軌跡S方程為y2=4x.
二、填空題
5.已知0≤α≤2π,點(diǎn)P(cos α,sin α)在曲線(x-2)2+y2=3上,則α的值為__________________.
[答案] 或
[解析] 由已知(cosα-2)2+sin2α=3
∴cos2α-4cos α+4+s
12、in2α=3
∴cos α=,∵α∈[0,2π],∴α=或α=
6.已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O′的方程是x2+y2-8x+10=0.由動(dòng)點(diǎn)P向⊙O和⊙O′所引的切線長(zhǎng)相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是____________________.
[答案] x=
[解析] 由⊙O:x2+y2=2,⊙O′:(x-4)2+y2=6知兩圓相離,記切點(diǎn)分別為T、Q,則|PT|=|PQ|.如圖:
而|PT|2=|PO|2-2,|PQ|2=|PO′|2-6.
∴|PO|2-2=|PO′|2-6.設(shè)P(x,y),
則x2+y2-2=(x-4)2+y2-6.
即8x=12,即x=.
三
13、、解答題
7.已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2,0)、B(0,-2),第三個(gè)點(diǎn)C在曲線y=3x2-1上移動(dòng),求△ABC重心的軌跡方程.(注:設(shè)△ABC頂點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC重心坐標(biāo)為G(,).)
[解析] 設(shè)C(x1,y1),重心G(x,y),由重心坐標(biāo)公式得3x=-2+0+x1,3y=0-2+y1,
即x1=3x+2,y1=3y+2,
∵C(x1,y1)在曲線y=3x2-1上,
∴3y+2=3(3x+2)2-1.
化簡(jiǎn)得y=9x2+12x+3.
故△ABC的重心的軌跡方程為y=9x2+12x+3.(不包括和直線AB的交點(diǎn))
[
14、總結(jié)反思] 當(dāng)形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P隨另一動(dòng)點(diǎn)B有規(guī)律地運(yùn)動(dòng),且動(dòng)點(diǎn)B的軌跡給定或能求得時(shí),可先用動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)表示點(diǎn)B的坐標(biāo),并代入動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程中得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.這種求軌跡的方法叫相關(guān)點(diǎn)法,也叫代入法.
8.(2014北京文)已知橢圓C:x2+2y2=4.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)O為原點(diǎn),若點(diǎn)A在直線y=2上,點(diǎn)B在橢圓C上,且OA⊥OB,求線段AB長(zhǎng)度的最小值.
[解析] (1)由題意,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1,
所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.
因此a=2,c=.
故橢圓C的離心率e==.
(2)設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.
因?yàn)镺A⊥OB,所以=0,
即tx0+2y0=0,解得t=-.
又x+2y=4,
所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2
=(x0+)2+(y0-2)2=x+y++4
=x+++4
=++4 (0