新版數學學案同步精致講義選修21北師大版：第二章　空間向量與立體幾何 167;2 空間向量的運算二 Word版含答案

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1、新版數學北師大版精品資料 2　空間向量的運算(二) 學習目標　1.掌握兩個向量的數量積的概念、性質、計算與運算律.2.掌握兩個向量的數量積在判斷向量共線與垂直中的應用． 知識點　數量積的概念及運算律 1．已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的數量積，記作ab，即ab＝|a||b|cos〈a，b〉． 2．空間向量數量積的性質 (1)a⊥b?ab＝0. (2)|a|2＝aa，|a|＝. (3)cos〈a，b〉＝. 3．空間向量數量積的運算律 (1)(λa)b＝λ(ab)(λ∈R)． (2)ab＝ba(交換律)． (3)a(b＋c)＝ab＋ac

2、(分配律)． 特別提醒：不滿足結合律(ab)c＝a(bc)． 1．對于非零向量b，由ab＝bc，可得a＝c.() 2．對于向量a，b，c，有(ab)c＝a(bc)．() 3．若非零向量a，b為共線且同向的向量，則ab＝|a||b|.(√) 4．對任意向量a，b，滿足|ab|≤|a||b|.(√) 類型一　數量積的計算 例1　如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，求： (1)； (2)； (3)； (4). 考點　空間向量數量積的概念及性質 題點　用定義求數量積 解　(1)＝ ＝||||cos〈，〉 ＝cos 60＝.

3、 (2)＝＝||2＝. (3)＝ ＝||||cos〈，〉 ＝cos 120＝－. (4)＝(－) ＝－ ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉 ＝cos 60－cos 60＝0. 反思與感悟　(1)已知a，b的模及a與b的夾角，直接代入數量積公式計算． (2)如果要求的是關于a與b的多項式形式的數量積，可以先利用數量積的運算律將多項式展開，再利用aa＝|a|2及數量積公式進行計算． 跟蹤訓練1　已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側面AB1的中心，F為A1D1的中點．試計算： (1)；(2)；(3). 考點　空間向量數量積的

4、概念及性質 題點　用定義求數量積 解　如圖，設＝a，＝b， ＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4， ab＝bc＝ca＝0. (1) ＝b＝|b|2＝42＝16. (2)＝(a＋c)＝|c|2－|a|2 ＝22－22＝0. (3)＝ ＝(－a＋b＋c)＝－|a|2＋|b|2＝2. 類型二　利用數量積證明垂直問題 例2　(1)已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD與BC的位置關系為___________________________________________________．(填“平行”“垂直”) 考點　空間向量數量積的應用 題點　

5、數量積的綜合應用 答案　垂直 解析　∵＝(＋)(－) ＝＋－2－ ＝(－－)＝＝0， ∴AD與BC垂直． (2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O⊥平面GBD. 考點　空間向量數量積的應用 題點　數量積的綜合應用 證明　設＝a，＝b，＝c， 則ab＝0，bc＝0，ac＝0，|a|＝|b|＝|c|. ∵＝＋＝＋(＋) ＝c＋a＋b， ＝－＝b－a， ＝＋＝(＋)＋ ＝a＋b－c ∴＝(b－a) ＝cb－ca＋ab－a2＋b2－ba ＝(b2－a2) ＝(|b|2－|a|2)＝0. 于是⊥

6、，即A1O⊥BD. 同理可證⊥，即A1O⊥OG. 又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面CBD， ∴A1O⊥平面GBD. 反思與感悟　(1)證明線線垂直的方法 證明線線垂直的關鍵是確定直線的方向向量，根據方向向量的數量積是否為0來判斷兩直線是否垂直． (2)證明與空間向量a，b，c有關的向量m，n垂直的方法 先用向量a，b，c表示向量m，n，再判斷向量m，n的數量積是否為0. 跟蹤訓練2　如圖，在空間四邊形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求證：OA⊥BC. 考點　空間向量數量積的應用 題點　數量積的綜合應用 證明　因為OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，

7、 所以△OAC≌△OAB， 所以∠AOC＝∠AOB. 又＝(－)＝－ ＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝0， 所以⊥，即OA⊥BC. 類型三　利用數量積解決空間角或兩點間的距離問題 命題角度1　解決角度問題 例3　在空間四邊形OABC中，連接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45，∠OAB＝60，求向量與BC所成角的余弦值． 考點　空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求角 解　∵＝－， ∴＝－ ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉 ＝84cos135－86cos120＝24－16， ∴cos〈，〉 ＝

8、＝＝. 反思與感悟　求兩個空間向量a，b夾角的方法類同平面內兩向量夾角的求法，利用公式cos〈a，b〉＝，在具體的幾何體中求兩向量的夾角時，可把其中一個向量的起點平移至與另一個向量的起點重合，轉化為求平面中的角度大小問題． 跟蹤訓練3　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求異面直線A1B與AC所成的角． 考點　空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求解 解　不妨設正方體的棱長為1， 設＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|＝1， ab＝bc＝ca＝0， ＝a－c，＝a＋b. ∴＝(a－c)(a＋b) ＝|a|2＋ab－ac－bc＝1， 而||＝||

9、＝， ∴cos〈，〉＝＝， ∵〈，〉∈[0，180]， ∴〈，〉＝60. 又異面直線所成角的范圍是(0，90]， 因此，異面直線A1B與AC所成的角為60. 命題角度2　求空間中的兩點間的距離 例4　如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱長都為2，E，F分別是AB，A1C1的中點，求EF的長． 考點　空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求線段長 解　設＝a，＝b，＝c. 由題意，知|a|＝|b|＝|c|＝2， 且〈a，b〉＝60，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90. 因為＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－a＋b＋c， 所以||2＝2 ＝a2＋

10、b2＋c2＋2 ＝22＋22＋22＋222cos 60 ＝1＋1＋4－1＝5， 所以||＝，即EF＝. 反思與感悟　求解距離問題時，先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個向量和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|＝求解即可． 跟蹤訓練4　在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90，∠BAA1＝∠DAA1＝60，求AC1的長． 考點　空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求線段長 解　因為＝＋＋， 所以＝(＋＋)2 ＝2＋2＋＋2(＋＋)． 因為∠BAD＝90，∠BAA1＝∠DAA1＝60

11、， 所以＝1＋4＋9＋2(13cos 60＋23cos 60)＝23. 因為＝||2， 所以||2＝23， 則||＝，即AC1＝. 1．對于向量a，b，c和實數λ，下列說法正確的是(　　) A．若ab＝0，則a＝0或b＝0 B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－b D．若ab＝ac，則b＝c 考點　空間向量數量積的概念及性質 題點　數量積的性質 答案　B 解析　結合向量的運算，只有B正確． 2．已知向量a，b是平面α內的兩個不相等的非零向量，非零向量c是直線l的一個方向向量，則“ca＝0且cb＝0”是“l(fā)⊥α”的(　　) A．充分

12、不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 考點　空間向量數量積的應用 題點　數量積的綜合應用 答案　B 解析　若a∥b，則不一定得到l⊥α，反之成立． 3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60，則|2a－3b|等于(　　) A. B．97 C. D．61 考點　空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求線段長 答案　C 解析　|2a－3b|2＝4a2－12ab＋9b2 ＝422－1223cos60＋932＝61， ∴|2a－3b|＝. 4．已知a，b為兩個非零空間向量，若|a|＝2，|b|＝，ab＝－，則〈a，b〉＝______

13、__. 考點　空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求角 答案　 解析　cos〈a，b〉＝＝－，∵〈a，b〉∈[0，π]， ∴〈a，b〉＝. 5．已知正四面體ABCD的棱長為2，E，F分別為BC，AD的中點，則EF的長為________． 考點　空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求線段長 答案　 解析　||2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(＋＋) ＝12＋22＋12＋2(12cos120＋0＋21cos120)＝2， ∴||＝，∴EF的長為. 1．空間向量運算的兩種方法 (1)利用定義：利用ab＝|a||b|cos〈a，b〉并結合運算律進行計算． (

14、2)利用圖形：計算兩個數量的數量積，可先將各向量移到同一頂點，利用圖形尋找夾角，再代入數量積公式進行運算． 2．在幾何體中求空間向量數量積的步驟 (1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式． (2)利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數量積． (3)代入ab＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 一、選擇題 1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，則a＋b與a－b之間的關系是(　　) A．垂直 B．共線 C．不垂直 D．以上都可能 考點　空間向量數量積的概念與性質 題點　數量積的性質 答案　A 解析　由題意知|a|＝|b|， ∵(a

15、＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． 2．已知向量a，b滿足條件：|a|＝2，|b|＝，且a與2b－a互相垂直，則〈a，b〉等于(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 考點　空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求角 答案　B 解析　根據a(2b－a)＝0， 即2ab＝|a|2＝4， 解得ab＝2， 又cos〈a，b〉＝＝＝， 又〈a，b〉∈[0，180]， ∴〈a，b〉＝45，故選B. 3．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，則(　　) A．m∥n B．m⊥n C．m不平行于n，

16、m也不垂直于n D．以上三種情況都有可能 考點　空間向量數量積的應用 題點　數量積的綜合應用 答案　B 4．設平面上有四個互異的點A，B，C，D，已知(＋－2)(－)＝0，則△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 考點　空間向量數量積的概念及性質 題點　用定義求數量積 答案　B 解析　由(＋－2)(－) ＝(－＋－)(－) ＝(＋)(－) ＝||2－||2＝0，得||＝||， 故△ABC為等腰三角形． 5．已知a，b，c是兩兩垂直的單位向量，則|a－2b＋3c|等于(　　) A．14B.C．4D．2 考點　

17、空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求線段長 答案　B 解析　∵|a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4ab＋6ac－12bc＝14， ∴|a－2b＋3c|＝. 6．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的數量積一定不為0的是(　　) A. B. C. D. 考點　空間向量數量積的概念及性質 題點　數量積的性質 答案　D 解析　選項A，當四邊形ADD1A1為正方形時，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，所以AD1⊥B1C，此時有＝0； 選項B，當四邊形ABCD為正方形時，可得AC⊥BD， 又AC⊥BB1，BD∩BB1＝B， 可得AC⊥平

18、面BB1D1D，故有AC⊥BD1， 此時＝0； 選項C，由長方體的性質可得AB⊥平面ADD1A1， 所以AB⊥AD1，所以＝0，故選D. 7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，有下列命題： ①(＋＋)2＝32；②(－)＝0；③與的夾角為60. 其中真命題的個數為(　　) A．1B．2C．3D．0 考點　空間向量數量積的概念及性質 題點　數量積的性質 答案　B 解析?、佗谡_；∵與的夾角為120， ∴③不正確，故選B. 二、填空題 8．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，則＝________. 考點　空間向量數量積的應用 題點　數量積的綜合應用

19、答案　a2 解析　如圖，＝－， ＝－＝－， ∴ ＝(－)(－) ＝－－＋||2 ＝0－0－0＋a2＝a2. 9．已知空間向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135，若m⊥n，則λ的值為________． 考點　空間向量數量積的應用 題點　數量積的綜合應用 答案?。? 解析　由題意知ab＝|a||b|cos〈a，b〉＝35＝－15， 由m⊥n，得(a＋b)(a＋λb)＝0， 即|a|2＋λab＋ab＋λ|b|2 ＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0. 解得λ＝－. 10．已知a，b是空間兩個向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a

20、－b|＝，則cos〈a，b〉＝________. 考點　空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求角 答案　 解析　將|a－b|＝化為(a－b)2＝7，求得ab＝， 再由ab＝|a||b|cos〈a，b〉，求得cos〈a，b〉＝. 11．已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a＋3b|＝________. 考點　空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求線段長 答案　 解析　∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6ab＋9b2 ＝1＋6cos60＋9＝13， ∴|a＋3b|＝. 三、解答題 12．如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠

21、ACB＝90，D，E分別為棱AB，BB′的中點． (1)求證：CE⊥A′D； (2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值． 考點　空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求角 (1)證明　設＝a，＝b，＝c， 根據題意得|a|＝|b|＝|c|， 且ab＝bc＝ca＝0， ∴＝b＋c， ＝－c＋b－a， ∴＝－c2＋b2＝0， ∴⊥，即CE⊥A′D. (2)∵＝－a＋c， ||＝|a|，||＝|a|， ＝(－a＋c)＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝， 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為. 13．等邊△ABC中，P在線段AB上，且＝λ，若＝，則實數λ的

22、值為________． 考點　空間向量數量積的概念及性質 題點　空間向量數量積定義 答案　1－ 解析　如圖，＝－＋＝－＋λ， 故＝(λ－) ＝λ||2－||||cos A， ＝(－λ)(1－λ)＝λ(λ－1)||2， 設||＝a(a＞0)，則a2λ－a2＝λ(λ－1)a2， 解得λ＝1－. 四、探究與拓展 14．已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90的等腰直角三角形，平行四邊形ABB1A1，平行四邊形BB1C1C的對角線都分別相互垂直且相等，若AB＝a，則異面直線BA1與AC所成的角為________． 考點　空間向量數量積的應用 題點　利用數量積求角 答案　60 解析　如圖所示，∵＝＋，＝＋， ∴＝(＋)(＋) ＝＋＋＋. ∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴＝0，＝0，＝0且＝－a2. ∴＝－a2. 又＝||||cos〈，〉， ∴cos〈，〉＝＝－. 又∵〈，〉∈[0，180]，∴〈，〉＝120， 又∵異面直線所成的角是銳角或直角， ∴異面直線BA1與AC所成的角為60.