新版高中數(shù)學(xué)北師大版選修21課時(shí)作業(yè)：第3章 習(xí)題課2 Word版含解析

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1、新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 習(xí)題課(2) 一、選擇題 1．將拋物線y＝4x2繞焦點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后，所得拋物線的準(zhǔn)線方程是(　　) A．x＝2 B．y＝－2 C．x＝ D．x＝ 解析：化成標(biāo)準(zhǔn)式x2＝y(tǒng)，則p＝，設(shè)準(zhǔn)線方程為x＝m，則m＝. 答案：C 2．若拋物線y2＝2px(p>0)上三個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三個(gè)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離的關(guān)系是(　　) A．成等差數(shù)列 B．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列 C．成等比數(shù)列 D．既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列 解析：設(shè)三點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)， 則y＝

2、2px1，y＝2px2，y＝2px3， 因?yàn)?y＝y(tǒng)＋y，所以x1＋x3＝2x2， 即|P1F|－＋|P3F|－＝2， 所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|. 答案：A 3．已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)，則直線AB的方程是(　　) A．x＝p B．x＝3p C．x＝p D．x＝p 解析：∵|OA|＝|OB|，∴A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，由于垂心是焦點(diǎn)，則垂心為F. 設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x0，y0)，B(x0，－y0)，由題意，得kFA·kOB＝－1，即

3、83;＝－1， 則y＝x0. ∵y＝2px0(x0>0，p>0)， ∴2px0＝x0.∴x0＝p. ∴直線AB的方程為x＝p. 答案：D 4．拋物線x2＝－4y的通徑為線段AB，O為拋物線的頂點(diǎn)，則(　　) A．通徑長(zhǎng)為8，△AOB的面積為4 B．通徑長(zhǎng)為8，△AOB的面積為2 C．通徑長(zhǎng)為4，△AOB的面積為4 D．通徑長(zhǎng)為4，△AOB的面積為2 解析：在拋物線x2＝－4y中，因?yàn)?p＝4，所以通徑的長(zhǎng)為4，△AOB的面積為·2p·＝×4×1＝2. 答案：D 5．過(guò)拋物線y2＝ax(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交

4、拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若PF與FQ的長(zhǎng)分別為p、q，則＋等于(　　) A．2a B． C．4a D． 解析：可采用特殊值法，設(shè)PQ過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于x軸，則|PF|＝p＝xp＋＝＋＝， |QF|＝q＝，∴＋＝＋＝. 答案：D 6．[2014·河北省衡水中學(xué)期中考試]已知拋物線y＝x2－1上一定點(diǎn)B(－1,0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q，當(dāng)BP⊥PQ時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3)∪[1，＋∞) B．[－3,1] C．[1，＋∞) D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：本題主要考查直線垂直的條件和直線與拋物線的位置關(guān)系．設(shè)P(t，t2－1)，Q(s

5、，s2－1)，∵BP⊥PQ，∴·＝－1，即t2＋(s－1)t－s＋1＝0，∵t∈R，P，Q是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，∴必須有Δ＝(s－1)2＋4(s－1)≥0，即s2＋2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1.∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故選D. 答案：D 二、填空題 7．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程為y＝1，則實(shí)數(shù)a的值是__________． 解析：拋物線y＝ax2化為x2＝y(tǒng)， 由于其準(zhǔn)線方程為y＝1，故a<0，且||＝1， 解得a＝－. 答案：－ 8．[2014·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)月考]拋物線y2＝2x上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距

6、離之和是5，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是________． 解析：本題主要考查拋物線的定義和基本性質(zhì)的應(yīng)用．拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F(，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.故線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2. 答案：2 9．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝__________. 解析：∵直線AF的斜率為－， ∴∠PAF＝60°. 又|PA|＝|PF|， ∴△PAF為正三角

7、形，作FM⊥PA，則M為PA中點(diǎn)，|MA|＝p， ∴|PA|＝2p. ∴|PF|＝|AP|＝2p＝8. 答案：8 三、解答題 10．(1)求過(guò)點(diǎn)(－，0)(p>0)且與直線x＝相切的動(dòng)圓圓心M的軌跡方程； (2)平面上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,3)的距離比M到直線y＝－1的距離大2，求動(dòng)點(diǎn)M滿足的方程，并畫(huà)出相應(yīng)的草圖． 解：(1)根據(jù)拋物線的定義知， 圓心M的軌跡是以點(diǎn)(－，0)為焦點(diǎn)， 直線x＝為準(zhǔn)線的拋物線， 其方程為y2＝－2px(p>0)． (2)因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,3)的距離比點(diǎn)M到直線y＝－1的距離大2， 所以動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,3)的距離等于點(diǎn)

8、M到直線y＝－3的距離， 由拋物線的定義得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以定點(diǎn)F(0,3)為焦點(diǎn)， 定直線y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線， 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2＝12y， 草圖如上圖所示． 11．已知拋物線方程y2＝2x，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，求拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離最小值d，并寫(xiě)出關(guān)系式d＝f(a)． 解：設(shè)B(x，y)是拋物線y2＝2x上任意一點(diǎn)， 則|AB|2＝(x－a)2＋y2＝[x－(a－1)]2－1＋2a. 當(dāng)a>1時(shí)，此時(shí)當(dāng)x＝a－1時(shí)，|AB|取最小值， d＝； 當(dāng)a≤1時(shí)，此時(shí)當(dāng)x＝0時(shí)，|AB|取最小值，d＝|a|. 綜上所述，d＝ 12．已知一條曲線C

9、在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (1)求曲線C的方程； (2)是否存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B的任一直線，都有·<0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P(x，y)滿足－x＝1(x>0)，化簡(jiǎn)得y2＝4x(x>0)． 即曲線C的方程為y2＝4x(x>0)． (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 設(shè)l的方程為x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，

10、 Δ＝16(t2＋m)>0，由韋達(dá)定理知 ① 因?yàn)椋?x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)， ·<0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0. ② 又x＝，所以不等式②等價(jià)于 ·＋y1y2－＋1<0 ?＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0， ③ 由①式，不等式③等價(jià)于m2－6m＋1<4t2， ④ 對(duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2－6m＋1<0，即3－2<m<3＋2. 由此可知，存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有·<0，且m的取值范圍是(3－2，3＋2)．