第十章第2節(jié) 雙曲線及其性質(zhì)

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1、第二節(jié) 雙曲線及其性質(zhì) 題型118 雙曲線的定義與標準方程 2013年 1.（2013湖北文2）已知，則雙曲線：與：的（ ）. A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 2. (2013天津文11）已知拋物線的準線過雙曲線的一個焦 點， 且雙曲線的離心率為，則該雙曲線的方程為 . 2014年 1.（2014天津文6）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線雙曲線的一個焦點在直線上，則雙曲線的方程為（ ）. A. B. C. D. 2.（2014大綱文11）雙曲線C：的離心率為2，焦點到漸近線的距離為，

2、則C的焦距等于（ ）. A．2 B． C．4 D． 3. （2014廣東文8）若實數(shù)滿足，則曲線與曲線的（ ）. A.實半軸長相等 B.虛半軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等 4.（2014江西文9）過雙曲線的右頂點作軸的垂線，與的一條漸近線相交于.若以的右焦點為圓心、半徑為的圓經(jīng)過則雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 5.（2014北京文10）設(shè)雙曲線的兩個焦點為，，一個頂點是， 則的方程為 . 2015

3、年 1.（2015天津文5）已知雙曲線的一個焦點為，且雙曲 線的漸近線與圓相切，則雙曲線的方程為（ ）. A． B． C． D． 1．解析 由雙曲線的漸近線與圓相切得， 由，解得 .故選D. 評注 由雙曲線的焦點到漸近線的距離為，依題意，，所以，雙曲線方程為. 2.（2015北京文12）已知是雙曲線的一個焦點，則 . 2. 解析 依題意，由是雙曲線的一個焦點，得， 即，又，得. 3.（2015全國II文15）已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲 線的標準方程為 . 3. 解析 根據(jù)題意知，雙曲線的漸近線方程為，

4、可設(shè)雙曲線的方程為： ，把點 代入得.所以雙曲線的方程為. 評注 雙曲線的問題多在小題中出現(xiàn)，注意基本的等量關(guān)系及定義，特別是特有的漸近線方程的求解. 2016年 1.（2016天津文4）已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為（ ）. A. B. C. D. 1. A 解析 由題意得，解得，所以雙曲線的方程為. 故選. 2.（2016江蘇3）在平面直角坐標系中，雙曲線的焦距是 . 2. 解析 ，故焦距為. 3.（2016北京文12）已知雙曲線的一條漸近線為，一個焦點為，則____

5、___；_______. 3. 8. 解析 雙曲線的漸近線為，一個焦點為.再由題設(shè)，可得，解得. 2017年 1.（2017全國1卷文5）已知是雙曲線的右焦點，是上一點，且與軸垂直，點的坐標是，則的面積為（ ）. A． B． C． D． 1. 解析 由，得，所以，將代入，得，所以，又A的坐標是(1，3)，故的面積為.故選D. 2.（2017天津卷文5）已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點），則雙曲線的方程為（ ）. A. B. C. D. 2. 解析 因為是邊長為2的

6、等邊三角形，所以， 不妨設(shè)點在第二象限內(nèi)，則點，又因為點在雙曲線的漸近線上，所以，由，得，所以，則雙曲線的方程為.故選D． 題型119 雙曲線的漸近線 2013年 1．(2013福建文4）雙曲線的頂點到其漸近線的距離等于（ ）. A． B． C． D． 2.（2013山東文11）拋物線的焦點與雙曲線的右焦點 的連線交于第一象限的點，若在點處的切線平行于的一條漸近線，則 （ ）. A. B. C. D. 3.（2013江蘇3）

7、雙曲線的兩條漸近線的方程為 . 2014年 1. （2014山東文15）已知雙曲線的焦距為，右頂點為，拋物線的焦點為F，若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為，且，則雙曲線的漸近線方程為　　　　　　. 2015年 1.（2015安徽文6）下列雙曲線中，漸近線方程為的是（ ）. A． B． C． D． 1．解析 由雙曲線的漸近線的公式為， 可知選項A的漸近線方程為.故選A. 2.（2015四川文7）過雙曲線的右焦點且與x軸垂直的直線交該雙曲線的兩條 漸近線于兩點，則（ ）.] A. B. C. 6 D.

8、 2.解析 由題意可得，，故.所以漸近線的方程為. 將代入漸近線方程，得，則.故選D. 3.（2015江蘇12）在平面直角坐標系中，為雙曲線右支上的一個動點． 若點到直線的距離大于恒成立，則實數(shù)的最大值為 ． 3. 9．解析 利用幾何意義，即找到到直線的最小距離（或取不到），該值即為實數(shù)的最大值． 由雙曲線的漸近線為，易知與平行，因此該兩平行線間的距離即為最小距離（且無法達到），故實數(shù)的最大值為． 2016年 9.（2016上海文21（1））雙曲線的左、右焦點分別為，直線過且與雙曲線交于兩點.若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程. 9.解析由已

9、知，，不妨取，則， 由題意，又，， 所以，即，解得， 因此漸近線方程為. 2017年 1.（2017全國3卷文14）雙曲線的一條漸近線方程為，則 . 1.解析 漸近線方程為，由題可知. 評注 本題著重考查雙曲線的基本知識點，考查雙曲線的方程及其漸近線的公式，難度偏低. 2.（2017山東卷文15）在平面直角坐標系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為 . 2. 解析 . 又，可得，所以，解得， 所以雙曲線的漸近線方程為. 3.（2017江蘇卷8）在平面直角坐標系中，雙曲線的右準線與它的兩條漸近線分別交于點

10、，其焦點是，則四邊形的面積是 ． 3.解析 雙曲線的漸近線方程為，而右準線為，所以，， 從而． 題型120 雙曲線離心率的值及取值范圍 2013年 1. （2013浙江文9）如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點，分 別是，在第二.四象限的公共點.若四邊形為矩形，則的離心率是（ ） A. B. C. D. 2. (2013重慶文10）設(shè)雙曲線的中心為點，若有且只有一對相交于點，所成的角為 的直線和 ，使，其中和分別是這對直線與雙曲 線的交點，則

11、該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 3. (2013陜西文11）雙曲線的離心率為 . 4. (2013湖南文14） 設(shè)是雙曲線的兩個焦點.若在上 存在一點，使，且，則的離心率為________________. 2014年 1.（2014新課標Ⅰ文4）已知雙曲線的離心率為，則（ ） A. B. C. D. 2.（2014重慶文8）設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得則該雙曲線的離心率為（ ）. A.

12、 B. C.4 D. 3.（2014四川文11）雙曲線的離心率等于____________. 4.（2014浙江文17）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，若點滿足，則該雙曲線的離心率是______________. 2015年 1.（2015湖北文9）將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增 加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（ ）. A．對任意的，， B．當 時，；當時， C．對任意的，， D．當 時，；當時， 1. 解析 由題意，， 當時，，；當時，，.故選D. 2.（2015湖南文6）若

13、雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則此雙曲線的離 心率為（ ）. A. B. C. D. 2. 解析 雙曲線的漸近線為，由已知漸近線經(jīng)過點， 所以，.故選D. 3. (2015山東文15)過雙曲線的右焦點作一條與其漸近線平 行的直線，交于點. 若點的橫坐標為，則的離心率為 . 3. 解析 假設(shè)過雙曲線右焦點的直線與漸近線平行， 右焦點為，所以.又在雙曲線上，且為第四象限內(nèi)一點， 可得，所以.整理得，即. 所以離心率. 2016年 1. （2016山東文14）已知雙曲線，

14、若矩形的四個頂點在上，，的中點為的兩個焦點，且，則的離心率是_______. 1. 解析 由題意，又因為，則，于是點在雙曲線上，代入方程，得，再由得的離心率為. 2.（2016四川文19）已知數(shù)列的首項為，為數(shù)列的前項和，，其中， （1）若，，成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)雙曲線的離心率為，且，求. 2. 解析 （1）由已知，， 兩式相減得到，. 又由，得到，故對所有都成立. 所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.從而. 由，，成等差數(shù)列，可得，所以，故. 所以. （2）由（1）可知，. 所以雙曲線的離心率. 由，解得. 所以 2017年 1.（2

15、017全國2卷文5）若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 1.解析 由題意，，因為，所以，則. 故選C. 2.（2017北京卷文10）若雙曲線的離心率為，則實數(shù)_________. 2．解析 解法一（基本量法）：由，，，，即. 解法二：由，即. 題型121 雙曲線的焦點三角形 1.（2016浙江文13）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，.若點在雙曲線上，且為銳角三角形，則的取值范圍是_______. 1. 解析 由已知得，，，則.設(shè)是雙曲線上任一點，由對稱性不妨設(shè)在右支上，由于為銳角三角形，所以為銳角.則.由三角形大邊對大角，則也為銳角. ，，為銳角，則，即，解得，所以.由，得. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org