一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第3章 第3節(jié)　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含解析

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1、 第三節(jié)第三節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 考綱傳真 1.能畫出 ysin x，ycos x，ytan x 的圖像，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與 x 軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間2，2內(nèi)的單調(diào)性 1用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖 正弦函數(shù) ysin x，x0,2圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0) 余弦函數(shù) ycos x，x0,2圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1) 2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù) ysin x

2、ycos x ytan x 圖像 定義域 R R x xk2，kZ 值域 1,1 1,1 R 單調(diào)性 遞增區(qū)間：2k2，2k2 kZ， 遞減區(qū)間：遞增區(qū)間： 2k，2k kZ， 遞減區(qū)間： 2k， 2k kZ 遞增區(qū)間k2，k2(kZ) 2k2，2k32 kZ 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對(duì)稱性 對(duì)稱中心(k，0)kZ 對(duì)稱中心k2，0 kZ 對(duì)稱中心k2，0 kZ 對(duì)稱軸 xk2(kZ) 對(duì)稱軸 xk(kZ) 周期性 2 2 1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)常數(shù)函數(shù) f(x)a 是周期函數(shù)，它沒有最小正周期( ) (2)函數(shù) ysin x 的圖像關(guān)于

3、點(diǎn)(k，0)(kZ)中心對(duì)稱( ) (3)正切函數(shù) ytan x 在定義域內(nèi)是增函數(shù)( ) (4)ysin |x|是偶函數(shù)( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(20 xx 云南二次統(tǒng)一檢測(cè))函數(shù) f(x)cos2x52的圖像關(guān)于( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962146】 A原點(diǎn)對(duì)稱 By 軸對(duì)稱 C直線 x52對(duì)稱 D直線 x52對(duì)稱 A 函數(shù) f(x)cos2x52sin 2x 是奇函數(shù)，則圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選 A. 3函數(shù) ytan 2x 的定義域是( ) A.x xk4，kZ Bx xk28，kZ C.x xk8，kZ Dx xk24，kZ D 由 2xk2，kZ，得 xk24，

4、kZ， ytan 2x 的定義域?yàn)閤 xk24，kZ. 4 (20 xx 長(zhǎng)沙模擬(一)函數(shù) ysin12x3， x2， 2的遞增區(qū)間是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962147】 A.2，53 B2，53和3，2 C.53，3 D3，2 C 令 z12x3，函數(shù) ysin z 的遞增區(qū)間為2k2，2k2(kZ)，由2k212x32k2得 4k53x4k3，而 x2，2，故其遞增區(qū)間是53，3，故選 C. 5(教材改編)函數(shù) f(x)42cos 13x 的最小值是_，取得最小值時(shí)，x 的取值集合為_ 2 x|x6k，kZ f(x)min422，此時(shí)，13x2k(kZ)，x6k(kZ)，所以 x 的取值

5、集合為x|x6k，kZ 三角函數(shù)的定義域與值域 (1)(20 xx 全國(guó)卷)函數(shù) f(x)cos 2x6cos2x 的最大值為( ) A4 B5 C6 D7 (2)函數(shù) ylg(sin 2x)9x2的定義域?yàn)開 (1)B (2) 3，20，2 (1)f(x)cos 2x6cos2x cos 2x6sin x 12sin2x6sin x2sin x322112， 又 sin x1,1，當(dāng) sin x1 時(shí)，f(x)取得最大值 5.故選 B. (2)由 sin 2x0，9x20，得 kxk2，kZ，3x3， 3x2或 0 x2， 函數(shù) ylg(sin 2x)9x2的定義域?yàn)?，20，2. 規(guī)律方法

6、 1.三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來(lái)求解 2求三角函數(shù)最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解 (2)化一法：把所給三角函數(shù)化為 yAsin(x)k 的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域 (3)換元法：把 sin x，cos x，sin xcos x 或 sin x cos x 換成 t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解 變式訓(xùn)練 1 (1)已知函數(shù) y2cos x 的定義域?yàn)?， ，值域?yàn)閍，b，則ba 的值是( ) A2 B3 C. 32 D2 3 (2)求函數(shù) ycos2xsin

7、x|x|4的最大值與最小值 (1)B x3， ，cos x1，12，故 y2cos x 的值域?yàn)?,1， ba3. (2)令 tsin x，|x|4，t22，22，3 分 yt2t1t12254， 當(dāng) t12時(shí)，ymax54，當(dāng) t22時(shí)，ymin1 22，7 分 函數(shù) ycos2xsin x|x|4的最大值為54，最小值為1 22. 12 分 三角函數(shù)的單調(diào)性 (1)(20 xx 洛陽(yáng)模擬)已知 0，函數(shù) f(x)sinx4在2， 上遞減，則 的取值范圍是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962148】 A.12，54 B12，34 C.0，12 D(0,2 (2)函數(shù) f(x)sin2x3的單調(diào)減區(qū)間

8、為_ (1)A (2)k12，k512(kZ) (1)由2x 得24x44，由題意知24，42，32， 所以 242，432，解得1254. (2)由已知函數(shù)為 ysin2x3，欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需求 ysin2x3的單調(diào)增區(qū)間即可 由 2k22x32k2，kZ， 得 k12xk512，kZ. 故所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為k12，k512(kZ) 規(guī)律方法 1.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法 (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)化原則，將解析式先化簡(jiǎn)，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減” (2)求形如 yAsin(x)(0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)， 要視“x”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解若 0，應(yīng)先用誘導(dǎo)公式

9、化 x 的系數(shù)為正數(shù)，以防止把單調(diào)性弄錯(cuò) 2已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解 變式訓(xùn)練 2 (1)函數(shù) f(x)tan2x3的遞增區(qū)間是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962149】 (2)若函數(shù) f(x)sin x(0)在區(qū)間0，3上遞增，在區(qū)間3，2上遞減，則_. (1)k212，k2512(kZ) (2)32 (1)由2k2x32k(kZ)， 得k212xk2512(kZ) (2)f(x)sin x(0)過(guò)原點(diǎn)， 當(dāng) 0 x2，即 0 x2時(shí)，ysin x 是增函數(shù)； 當(dāng)2x32，即2x32時(shí)，ysin x 是減函數(shù) 由 f(x)sin x(0)在0，3上遞

10、增， 在3，2上遞減知，23，32. 三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性 角度 1 奇偶性與周期性的判斷 (1)(20 xx 全國(guó)卷)在函數(shù)：ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x6，ytan2x4中，最小正周期為 的所有函數(shù)為( ) A B C D (2)函數(shù) y12sin2x34是( ) A最小正周期為 的奇函數(shù) B最小正周期為 的偶函數(shù) C最小正周期為2的奇函數(shù) D最小正周期為2的偶函數(shù) (1)C (2)A (1)ycos|2x|cos 2x，T. 由圖像知，函數(shù)的周期 T. T. T2. 綜上可知，最小正周期為 的所有函數(shù)為. (2)y12sin2x34cos 2x34sin

11、2x，所以 f(x)是最小正周期為 的奇函數(shù) 角度 2 求三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心 (20 xx 安 徽江 南十校 3 月聯(lián) 考 )已 知函 數(shù) f(x) sin(x )0，|2的最小正周期為 4，且對(duì)任意 xR，都有 f(x)f3成立，則f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962150】 A.23，0 B3，0 C.23，0 D53，0 A 由 f(x)sin (x)的最小正周期為 4， 得 12.因?yàn)?f(x)f3恒成立，所以 f(x)maxf3， 即12322k(kZ)， 32k(kZ)，由|2， 得 3，故 f(x)sin12x3. 令12x3k(kZ)， 得 x

12、2k23(kZ)，故 f(x)圖像的對(duì)稱中心為2k23，0 (kZ)，當(dāng) k0 時(shí)，f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為23，0 ，故選 A. 角度 3 三角函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用 (1)如果函數(shù) y3cos(2x)的圖像關(guān)于點(diǎn)43，0 中心對(duì)稱，那么|的最小值為( ) A.6 B.4 C.3 D.2 (2)已知函數(shù) f(x)sin xacos x 的圖像關(guān)于直線 x53對(duì)稱，則實(shí)數(shù) a 的值為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962151】 A 3 B33 C. 2 D.22 (1)A (2)B (1)由題意得 3cos243 3cos232 3cos23 0， 23k2，kZ， k6，kZ，取 k0，得|的最

13、小值為6. (2)由 x53是 f(x)圖像的對(duì)稱軸， 可得 f(0)f103， 即 sin 0acos 0sin103acos103， 解得 a33. 規(guī)律方法 1.對(duì)于函數(shù) yAsin(x)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線 xx0或點(diǎn)(x0,0)是不是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn) f(x0)的值進(jìn)行判斷 2求三角函數(shù)周期的方法： (1)利用周期函數(shù)的定義 (2)利用公式：yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期為2|，ytan(x)的最小正周期為|. (3)借助函數(shù)的圖像 思想與方法 1討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成 yA

14、sin(x)(0)的形式，再用換元法令 tx，將其轉(zhuǎn)化為研究 ysin t 的性質(zhì) 2求三角函數(shù)值域(最值)的常用方法： (1)將函數(shù)變形化為 yAsin(x)k 的形式，逐步分析 x 的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值) (2)換元法： 把 sin x 或 cos x 看作一個(gè)整體， 可化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問題 3若 f(x)Asin(x)(A0，0)，則 (1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是 2k(kZ)； (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是 k(kZ) 易錯(cuò)與防范 1閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響 2求 yAsin(x)(A0)的單調(diào)區(qū)間，要注意 的正負(fù)，只有當(dāng) 0時(shí)，才能將“x”整體代入相應(yīng)單調(diào)區(qū)間 3利用換元法求三角函數(shù)最值時(shí)，注意 cos x(或 sin x)的有界性 4正、余弦函數(shù)的圖像既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形且最值點(diǎn)在對(duì)稱軸上；正切函數(shù)的圖像只是中心對(duì)稱圖形