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1、 精品資料
第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和
考點一
等差數(shù)列的判定與證明 [來源:]
[例1] 已知數(shù)列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項,并說明理由.
[自主解答] (1)證明:∵an=2-(n≥2,n∈N*),bn=,∴bn+1-bn=-=-=-=1.
又b1==-,∴數(shù)列{bn}是以-為首項,以1為公差的等差數(shù)列.
(2)由(1)知bn=n-,則an=1+=1+.
2、
設f(x)=1+,則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù),
∴當n=3時,an取得最小值-1,當n=4時,an取得最大值3.
【方法規(guī)律】
等差數(shù)列的判定方法
(1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證an-an-1為同一常數(shù);
(2)等差中項法:驗證2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立;
(3)通項公式法:驗證an=pn+q;
(4)前n項和公式法:驗證Sn=An2+Bn.
注意:在解答題中常應用定義法和等差中項法,而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷.
若數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n+1(n∈N*,n≥2),a3=27.
3、
(1)求a1,a2的值;
(2)記bn=(an+t)(n∈N*),是否存在一個實數(shù)t,使數(shù)列{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出實數(shù)t;若不存在,請說明理由.
解:(1)由a3=27,27=2a2+23+1,得a2=9,由9=2a1+22+1,得a1=2.
(2)假設存在實數(shù)t,使得{bn}為等差數(shù)列.
則2b2=b1+b3,
即2(9+t)=(2+t)+(27+t),
∴t=1.∴bn=(an+1).
∴bn-bn-1=(an+1)-(an-1+1)
=(2an-1+2n+1+1)-(an-1+1)
=an-1+1+-an-1-
=1.
∴存在一個實數(shù)t=1,使數(shù)列
4、{bn}為等差數(shù)列.
高頻考點
考點二 等差數(shù)列基本量的計算
1.等差數(shù)列基本量的計算是高考的??純热荩喑霈F(xiàn)在選擇題、填空題或解答題的第(1)問中,屬容易題.
2.高考對等差數(shù)列基本量計算的考查常有以下幾個命題角度:
(1)化基本量求公差d或項數(shù)n;
(2)化基本量求通項;
(3)化基本量求特定項;
(4)化基本量求前n項和.
[例2] (1)(2012福建高考)等差數(shù)列{an}中,a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(2013安徽高考)設S
5、n為等差數(shù)列{an}的前n項和,S8=4a3,a7=-2,則a9=( )
A.-6 B.-4 C.-2 D.2
(3)(2013新課標全國卷Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(4)(2012廣東高考)已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1=1,a3=a-4,則an=________.
[自主解答] (1)法一:設等差數(shù)列{an}的公差為d,則
即解得d=2.
法二:由等差中項的性質知,a3==5,
又∵a4=7,∴
6、公差d=a4-a3=7-5=2.
(2)由等差數(shù)列前n項和公式知
S8==4(a1+a8)=4(a7+a2),
又S8=4a3,∴4(a7+a2)=4a3,
∴-2+a2=a3,∴公差d=-2.
∴a9=a7+2d=-6.
(3)法一:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,
∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,
∴公差d=am+1-am=1,
由Sn=na1+d=na1+,
得
由①得a1=,代入②可得m=5.
法二:∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且前n項和為Sn,
∴數(shù)列也為等差數(shù)列.∴+=,
即+=0,解得m=5.
經檢驗為原方程的解.
7、
(4)由a3=a-4,得到1+2d=(1+d)2-4,即d2=4,因為{an}是遞增的等差數(shù)列,所以d=2,故an=2n-1.
[答案] (1)B (2)A (3)C (4)2n-1
等差數(shù)列基本量運算問題的常見類型及解題策略
(1)化基本量求公差d或項數(shù)n.通項公式和前n項和公式是解決此類問題的基礎和核心,在求解時,一般要運用方程思想.
(2)化基本量求通項.a1和d是等差數(shù)列的兩個基本元素,只要把它們求出來,其余的元素便可以求出.
(3)化基本量求特定項.利用通項公式或等差數(shù)列的性質求解.
(4)化基本量求前n項和.直接將基本量代入前n項和公式求解,或利用等差數(shù)列的性質求
8、解.[來源:]
1.記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1=,S4=20,則S6=( )
A.16 B.24 C.36 D.48
解析:選D 設公差為d,由得
則故S6=6+3=48.[來源:]
2.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足-=1,則數(shù)列{an}的公差為( )
A. B.1 C.2 D.3
解析:選C ∵Sn=,∴=,由-=1,得-=1,即a3-a2=2,∴數(shù)列{an}的公差為2.
3.已知數(shù)列{an}中,a1=2,當n≥2時,an=,則數(shù)列{an}的通項
9、公式為________.
解析:當n≥2時,an-1=,兩邊取倒數(shù),得=+,即-=,所以數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列,
所以=+(n-1)=1+(n-1)=,
所以an=(n∈N*).
答案:an=(n∈N*)
考點三
等差數(shù)列的性質
[例3] (1)在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S11=( )
A.58 B.88 C.143 D.176
(2)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知前6項和為36,最后6項的和為180,Sn=324(n>6),求數(shù)列{an}的項數(shù)及a9+a10.
[自主
10、解答] (1)S11===88.
(2)由題意知a1+a2+…+a6=36,①
an+an-1+an-2+…+an-5=180,②
①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,∴a1+an=36,
又Sn==324,∴18n=324,∴n=18.
∵a1+an=36,n=18,∴a1+a18=36,從而a9+a10=a1+a18=36.
[答案] (1)B
【方法規(guī)律】
應用等差數(shù)列的性質應注意兩點
(1)在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q=2k,則am+an=ap+aq=2ak是常用的性質,本例(1)(2)都用到了這
11、個性質.
(2)掌握等差數(shù)列的性質,悉心研究每個性質的使用條件及應用方法,認真分析項數(shù)、序號、項的值的特征,這是解題的突破口.
1.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,項數(shù)是偶數(shù),所有奇數(shù)項之和為15,所有偶數(shù)項之和為25,則這個數(shù)列的項數(shù)為( )
A.10 B.20 C.30 D.40
解析:選A 設這個數(shù)列有2n項,則由等差數(shù)列的性質可知:偶數(shù)項之和減去奇數(shù)項之和等于nd,即25-15=2n,故2n=10,即數(shù)列的項數(shù)為10.
2.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=________.
12、解析:∵S10,S20-S10,S30-S20成等差數(shù)列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,∴S30-30=10+210=30,∴S30=60.
答案:60
考點四
等差數(shù)列前n項和的最值
[例4] 已知在等差數(shù)列{an}中,a1=31,Sn是它的前n項的和,S10=S22.
(1)求Sn;
(2)這個數(shù)列前多少項的和最大?并求出這個最大值.
[自主解答] (1)∵S10=a1+a2+…+a10,
S22=a1+a2+…+a22,
又S10=S22,∴a11+a12+…+a22=0,
即=0,即a11+a22=2a1+31d=0.
又a1
13、=31,∴d=-2.
∴Sn=na1+d=31n-n(n-1)=32n-n2.
(2)法一:由(1)知,Sn=32n-n2=-(n-16)2+256,
∴當n=16時,Sn有最大值256.
法二:由(1)知,
令(n∈N*),
解得≤n≤,
∵n∈N*,∴n=16時,Sn有最大值256.
【互動探究】
若將本例中的“S10=S22”改為“S10=S15”,則該數(shù)列的前多少項的和最大?
解:∵S10=S15,
∴a11+a12+a13+a14+a15=0,
即5a13=0,∴a13=0.
又此等差數(shù)列首項為正,
∴當n=12或13時,Sn有最大值.
【方
14、法規(guī)律】
求等差數(shù)列前n項和的最值的方法
(1)運用配方法轉化為二次函數(shù),借助二次函數(shù)的單調性以及數(shù)形結合的思想,從而使問題得解.
(2)通項公式法:求使an≥0(an≤0)成立時最大的n值即可.一般地,等差數(shù)列{an}中,若a1>0,且Sp=Sq(p≠q),則
①若p+q為偶數(shù),則當n=時,Sn最大;
②若p+q為奇數(shù),則當n=或n=時,Sn最大.
已知等差數(shù)列{an}中,Sn為前n項和,a3=12,且S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范圍;
(2)前幾項和最大?并說明理由.
解:(1)因為a3=a1+2d=12,所以a1=12-2d,
所以即
解得
15、-0,
因此S6最大.
法二:前6項和最大.
由d<0可知{an}是遞減數(shù)列,
令可得[來源:]
由于-
16、列,可設中間三項為a-d,a,a+d;
若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列,可設中間兩項為a-d,a+d,其余各項再依據等差數(shù)列的定義進行對稱設元.[來源:]
2種選擇——等差數(shù)列前n項和公式的選擇
等差數(shù)列前n項和公式有兩個,如果已知項數(shù)n、首項a1和第n項an,則利用Sn=,該公式經常和等差數(shù)列的性質結合應用;如果已知項數(shù)n、首項a1和公差d,則利用Sn=na1+,在求解等差數(shù)列的基本運算問題時,有時會和通項公式結合使用.
3個結論——等差數(shù)列前n項和Sn的三個結論
(1)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2n,則
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
②S偶-S奇=nd,=.
(2)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2n+1,則
①S2n+1=(2n+1)an+1;
②=.
(3)在等差數(shù)列{an}中,若a1>0,d<0,則滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值Sm;若a1<0,d>0,則滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值Sm.
4種方法——等差數(shù)列的判斷方法
(1)定義法;(2)等差中項法;(3)通項公式法;(4)前n項和公式法.