《浙江高考數(shù)學(xué) 理二輪專題訓(xùn)練:第1部分 專題二 第4講 高考中的三角函數(shù)解答題型》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《浙江高考數(shù)學(xué) 理二輪專題訓(xùn)練:第1部分 專題二 第4講 高考中的三角函數(shù)解答題型(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
考 點
考 情
三角恒等變換
1.三角恒等變換是高考的熱點內(nèi)容,在解答題中多作為一種化簡工具考查,其中升冪公式、降冪公式、輔助角公式是考查的重點,如湖南T17等.
2.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是高考考查的另一個熱點,側(cè)重于對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的周期性、單調(diào)性、對稱性以及最值等的考查,常與其他知識交匯以解答題的形式考查,難度中等,如安徽T16等.
3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的問題是高考的必考內(nèi)容.在解答題中主要考查:(1)邊和角的計算;(2)面積的計算;(3)有關(guān)范圍的問題.由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強,解三角形的實際應(yīng)用問題也常出現(xiàn)
2、在高考解答題中,如重慶T20等.
三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
解三角形
向量與三角函數(shù)的綜合問題
解三角形的實際應(yīng)用
1.(20xx湖南高考)已知函數(shù)f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2.
(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.
解:f(x)=sin+cos
=sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,
g(x)=2sin2=1-cos x.
(1)由f(α)=得sin α=.
又α是第一象限角,所以cos α>0.
從而g(α)=1-cos α=1-=1-=.
(2)f
3、(x)≥g(x)等價于sin x≥1-cos x,
即sin x+cos x≥1.
于是sin≥.
從而2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,
即2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合為.
2.(20xx重慶高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a2+b2 +ab=c2.
(1)求C;
(2)設(shè)cos Acos B=,=,求tan α的值.
解:(1)因為a2+b2+ab=c2,
由余弦定理有cos C===-,
故C=.
(2)由題意得
=.
因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos
4、 B)=,
tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=,
tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B=. ①
因為C=,A+B=,所以sin(A+B)=,
因為cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,
即-sin Asin B=,
解得sin Asin B=-=.
由①得tan2α-5tan α+4=0,
解得tan α=1或tan α=4.
3.(20xx江蘇高考)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α
5、<π.
(1)若|a-b|=,求證:a⊥b;
(2)設(shè)c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
解:(1)證明:由題意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2ab+b2=2.
又因為a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2ab=2,即ab=0,故a⊥b.
(2)因為a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),
所以
由此,得cos α=cos (π-β),由0<β<π,得0<π-β<π.又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得,sin α=sin β=,而α>β,所以α=,β=.
1.輔助角公式
asin x+
6、bcos x=sin(x+φ),其中tan φ=.
可利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間和周期.
2.三角形的面積公式
(1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分別是邊a,b,c上的高);
(2)S=absin C=bcsin A=acsin B;
(3)S△ABC=(海倫公式).
3.解三角形常見問題
(1)已知一邊和兩角解三角形;
(2)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形;
(3)已知兩邊及其夾角解三角形;
(4)已知三邊解三角形;
(5)三角形形狀的判定;
(6)三角形的面積問題;
(7)正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用.
熱點一
三角變換與求值
[
7、例1] (20xx北京高考)已知函數(shù)f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值;
(2)若α∈,且f(α)=,求α的值.
[自主解答] (1)因為f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x
=cos 2xsin 2x+cos 4x
=(sin 4x+cos 4x)
=sin,
所以f(x)的最小正周期為,最大值為.
(2)因為f(α)=,所以sin=1.
因為α∈,
所以4α+∈,
即4α+=.故α=.
在本例中,若F(x)=f(x)f(-x)+f2(x),求F(x)的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間.
解:
8、∵f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x
=,
∴F(x)=f(x)f(-x)+f2(x)
=(cos 4x+sin 4x)(cos 4x-sin 4x)+(sin 4x+cos 4x)2
=cos 8x+(1+2sin 4xcos 4x)
=cos 8x+sin 8x+
=+
=sin+,
∴F(x)max=+=.
由-+2kπ≤8x+≤+2kπ,k∈Z,得
-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
故函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.
1.條件求值的一般思路
(1)先化簡所求式子或所給條件;
(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函
9、數(shù)名及角入手);
(3)將已知條件代入所求式子,化簡求值.
2.三角恒等變換的“五遇六想”
(1)遇正切,想化弦;(2)遇多元,想消元;(3)遇差異,想聯(lián)系;(4)遇高次,想降次;(5)遇特角,想求值;(6)想消元,引輔角.
1.已知向量a=,b=,函數(shù)f(x)=2ab-為偶函數(shù),且θ∈[0,π].
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)x∈(0,π),f(x)=1,求x的值.
解:(1)f(x)=2sincos+2cos2-=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin.
由f(x)為偶函數(shù)得θ+=kπ+,k∈Z,
∴θ=kπ+,k∈Z.又θ∈[0,π],∴θ=,
10、
故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2sin=2cos 2x.
(2)由f(x)=1得cos 2x=.
又x∈(0,π),所以2x∈(0,2π),
所以2x=或2x=,
即x=或.
2.設(shè)函數(shù)f(x)=2sin xcos2+cos xsin φ-sin x(0<φ<π)在x=π處取最小值.
(1)求φ的值;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,已知a=1,b=,f(B)=-,求的值.
解:(1)f(x)=2sin xcos2+cos xsin φ-sin x
=sin x+cos xsin φ
=sin xcos φ+cos xsin φ=sin(x+
11、φ),
依題意,sin(π+φ)=-1,∵0<φ<π,∴φ=.
(2)由(1)知f(x)=sin(x+φ)=sin=cos x,
∵f(B)=-,∴cos B=-.
∵0
12、小值.
[自主解答] (1)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx
=--sin 2ωx
=cos 2ωx-sin 2ωx
=-sin.
因為圖像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為,
又ω>0,所以=4,
因此ω=1.
(2)由(1)知f(x)=-sin.
當(dāng)π≤x≤時,≤2x-≤,
所以-≤sin≤1.
因此-1≤f(x)≤.
故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為,-1.
研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的常用方法
(1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性,往往是在定義域內(nèi),先化簡三角函數(shù)式,盡量化為y=Asin(ωx+φ)的形式,
13、然后再求解.
(2)對于形如y=asin ωx+bcos ωx型的三角函數(shù),要通過引入輔助角化為y=sin(ωx+φ)的形式來求.
3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的一段圖像如圖所示.
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖像向右平移個單位,得到y(tǒng)=g(x)的圖像.求直線y=與函數(shù)y=f(x)+g(x)的圖像在(0,π)內(nèi)所有交點的坐標(biāo).
解:(1)由題意知A=2,T=π,于是ω==2,
將y=2sin 2x的圖像向左平移個單位長度,
得f(x)=2sin 2=2sin.
(2)依題意得g(x)=2sin=-2cos.
故y=f(x)+g
14、(x)=2sin-2cos=
2sin.
由2sin=,得sin=.
∵0
15、
∵0<ω<,∴當(dāng)k=1時,ω=.
從而f(x)=sin+,
故a=.
2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,
單調(diào)遞減區(qū)間是,k∈Z.
(2)2sin Acos B-cos Bsin C=sin Bcos C,2sin Acos B=sin(B+C),cos B=,∴B=.
f(A)=sin+,0
16、的值.
[自主解答] (1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,
得2cos2A+3cos A-2=0,
即(2cos A-1)(cos A+2)=0,
解得cos A=或cos A=-2(舍去).
因為0
17、得b2+c2-bc=36.
又b+c=8,所以bc=.
由三角形面積公式S=bcsin A,得△ABC的面積為.
三角形的基本量的求法
(1)先將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,若要把“邊”化為“角”,常利用a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,若要把“角”化為“邊”,常利用sin A=,sin B=,sin C=,cos C=等;
(2)然后利用三角形的內(nèi)角和定理、大邊對大角等知識求出三角形的基本量.
5.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.
(1)求B;
(2)若sin Asin C=,求C.
18、
解:(1)因為(a+b+c)(a-b+c)=ac,
所以a2+c2-b2=-ac.
由余弦定理得cos B==-,
因此B=120.
(2)由(1)知A+C=60,
所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C
=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C
=cos(A+C)+2sin Asin C
=+2=,故A-C=30或A-C=-30,
因此C=15或C=45.
6.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),
又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9.
解得a=3,c=3.
(2)在△ABC中,sin B= =,
由正弦定理得sin A==.
因為a=c,所以A為銳角,所以cos A= =.
因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.