浙江高考數(shù)學(xué) 理二輪專題訓(xùn)練:第1部分 專題六 第2講 排列、組合與二項(xiàng)式定理選擇、填空題型
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1、 考 點(diǎn) 考 情 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 1.對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列、組合的考查主要有兩種形式:一是直接利用計(jì)數(shù)原理、排列、組合知識(shí)進(jìn)行計(jì)數(shù),如福建T5,北京T12;二是與概率問(wèn)題結(jié)合起來(lái)綜合考查. 2.對(duì)二項(xiàng)式定理的考查主要是求展開式中的某一項(xiàng),某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),各項(xiàng)系數(shù)和等,考查賦值技巧,難度不大,如江西T5,新課標(biāo)全國(guó)卷ⅡT5,安徽T11. 排列、組合問(wèn)題 二項(xiàng)式定理 1.(20xx·福建高考)滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)為( ) A.14 B.1
2、3 C.12 D.10 解析:選B 因?yàn)閍,b∈{-1,0,1,2},可分為兩類:①當(dāng)a=0時(shí),b可能為-1或1或0或2,即b有4種不同的選法;②當(dāng)a≠0時(shí),依題意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.當(dāng)a=-1時(shí),b有4種不同的選法;當(dāng)a=1時(shí),b可能為-1或0或1,即b有3種不同的選法;當(dāng)a=2時(shí),b可能為-1或0,即b有2種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,(a,b)的個(gè)數(shù)為4+4+3+2=13. 2.(20xx·江西高考)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為( ) A.80 B.-80 C.40 D.-40 解析:選C Tr+1=C·(x2)5-
3、r·r=C·(-2)r·x10-5r,令10-5r=0,得r=2,故常數(shù)項(xiàng)為C×(-2)2=40. 3.(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)已知(1+ɑx)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則ɑ=( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 解析:選D 展開式中含x2的系數(shù)為C+aC=5,解得a=-1. 4.(20xx·安徽高考)若8的展開式中x4的系數(shù)為7,則實(shí)數(shù)a=________. 解析:二項(xiàng)式8展開式的通項(xiàng)為Tr+1=Carx,令8-r=4,可得r=3,故Ca3=7,易得a=. 答案: 5.(20xx&
4、#183;北京高考)將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,如果分給同一人的2張參觀券連號(hào),那么不同的分法種數(shù)是________. 解析:按照要求要把序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券分成4組,然后再分配給4人,連號(hào)的情況是1和2,2和3,3和4,4和5,故其方法數(shù)是4A=96. 答案:96 1.兩個(gè)重要公式 (1)排列數(shù)公式 A==n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n,m∈N*,且m≤n). (2)組合數(shù)公式 C== (n,m∈N*,且m≤n). 2.三個(gè)重要性質(zhì)和定理 (1)組合數(shù)性質(zhì) ①C=(n,m∈N*,且m≤n);
5、②C=(n,m∈N*,且m≤n); ③C=1. (2)二項(xiàng)式定理 (a+b)n=Can+Can-1b1+Can-2b2+…+Can-k·bk+…+Cbn,其中通項(xiàng)Tr+1=Can-rbr. (3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) ①C=C,C=C,…,C=C; ②C+C+C+…+C=2n; ③C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1. 熱點(diǎn)一 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 [例1] (1)某人設(shè)計(jì)了一項(xiàng)單人游戲,規(guī)則如下:先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊長(zhǎng)為3個(gè)單位)的頂點(diǎn)A處,然后通過(guò)擲骰子來(lái)確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛐凶叩膯挝唬绻麛S出的點(diǎn)數(shù)為i(i=1,2,…,
6、6),則棋子就按逆時(shí)針?lè)较蛐凶遡個(gè)單位,一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處的所有不同走法共有( ) A.22種 B.24種 C.25種 D.36種 (2)方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有這些方程所表示的曲線中,不同的拋物線共有( ) A.60條 B.62條 C.71條 D.80條 [自主解答] (1)設(shè)拋擲三次骰子的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,c,根據(jù)分析,若a=1,則b+c=11,只能是(5,6),(6,5),2種情況;若a=2,則b+c=10,只能是(4,6),(5,
7、5),(6,4),3種情況;若a=3,則b+c=9,只能是(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),4種情況;若a=4,則b+c=8,只能是(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),5種情況;若a=5,則b+c=7,只能是(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),6種情況;若a=6,則b+c=6,只能是(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),5種情況.故總計(jì)2+3+4+5+6+5=25種可能. (2)當(dāng)a=1時(shí),若c=0,則b2有4,9兩個(gè)取值,共2條拋物線, 若c≠0,則c有4種取值,b2有兩種,共有2×
8、4=8條拋物線; 當(dāng)a=2時(shí),若c=0,b2取1,4,9三種取值,共有3條拋物線, 若c≠0,c取1時(shí),b2有2個(gè)取值,共有2條拋物線, c?。?時(shí),b2有2個(gè)取值,共有2條拋物線, c取3時(shí),b2有3個(gè)取值,共有3條拋物線, c?。?時(shí),b2有3個(gè)取值,共有3條拋物線. 所以共有3+2+2+3+3=13條拋物線. 同理,a=-2,-3,3時(shí),共有拋物線3×13=39條. 由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有拋物線39+13+8+2=62條. [答案] (1)C (2)B ——————————規(guī)律·總結(jié)———————————————— 應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題的方法
9、 (1)在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理時(shí),一般先分類再分步,每一步當(dāng)中又可能用到分類計(jì)數(shù)原理. (2)對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合使用的問(wèn)題,可恰當(dāng)列出示意圖或表格,使問(wèn)題形象化、直觀化. 1.如圖所示,在A,B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1,2,3,4,若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路,則電路不通.今發(fā)現(xiàn)A,B之間電路不通,則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有( ) A.9種 B.11種 C.13種 D.15種 解析:選C 按照焊接點(diǎn)脫落的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類.若脫落1個(gè),有(1),(4),共2種;若脫落2個(gè),有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6種;若脫落3個(gè),有(1,
10、2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4種;若脫落4個(gè),有(1,2,3,4),共1種.綜上,共有2+6+4+1=13種焊接點(diǎn)脫落的情況. 2.某次活動(dòng)中,有30個(gè)人排成6行5列,現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演,要求這3人任意2人不同行也不同列,則不同的選法種數(shù)為________(用數(shù)字作答). 解析:其中最先選出的一個(gè)有30種方法,此時(shí)這個(gè)人所在的行和列共10個(gè)位置不能再選人,還剩一個(gè)5行4列的隊(duì)形,選第二個(gè)人有20種方法,此時(shí)該人所在的行和列不能再選人,還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形,此時(shí)第三個(gè)人的選法有12種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,總的選法種數(shù)是=1 200. 答案:1
11、200 熱點(diǎn)二 排列與組合問(wèn)題 [例2] (1)現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為( ) A.232 B.252 C.472 D.484 (2)(20xx·重慶高考)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________(用數(shù)字作答). [自主解答] (1)法一:從16張不同的卡片中任取3張,共有C==560種,其中有兩張紅色的有C×C種
12、,其中三張卡片顏色相同的有C×4種,所以3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為C-C×C-C×4=472. 法二:若沒有紅色卡片,則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張,若都不同色,則有C×C×C=64種,若2張顏色相同,則有CCCC=144種;若紅色卡片有1張,則剩余2張若不同色,有C×C×C×C=192種,若同色,則有CCC=72種,所以共有64+144+192+72=472(種). (2)直接法分類,3名骨科,內(nèi)科、腦外科各1名;3名腦外科,骨科、內(nèi)科各1名;3名內(nèi)科,骨科、腦外科各1名
13、;內(nèi)科、腦外科各2名,骨科1名;骨科、內(nèi)科各2名,腦外科1名;骨科、腦外科各2名,內(nèi)科1名.所以選派種數(shù)為C·C·C+C·C·C+C·C·C+C·C·C+C·C·C+C·C·C=590. [答案] (1)C (2)590 若本例(1)中增加條件“且黃色卡片至多1張”,則有多少種不同的取法? 解:可分類完成:若取三張卡片,且三張卡片顏色均不同,則有CCCC=256種;若取三張卡片只有兩種顏色,則可為藍(lán)綠一種中選兩張,紅黃一種選一張,共有2CC+CCCC=144種.
14、因此,所有取法種數(shù)為256+144=400. ——————————規(guī)律·總結(jié)———————————————— 1.解決排列組合問(wèn)題應(yīng)遵循的原則 先特殊后一般,先選后排,先分類后分步. 2.解決排列組合問(wèn)題的11個(gè)策略 (1)相鄰問(wèn)題捆綁法;(2)不相鄰問(wèn)題插空法;(3)多排問(wèn)題單排法;(4)定序問(wèn)題倍縮法;(5)多元問(wèn)題分類法;(6)有序分配問(wèn)題分步法;(7)交叉問(wèn)題集合法;(8)至少或至多問(wèn)題間接法;(9)選排問(wèn)題先選后排法;(10)局部與整體問(wèn)題排除法;(11)復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化法. 3.解決排列組合問(wèn)題的四個(gè)角度 解答排列組合應(yīng)用題要從“分析”“分辨”“
15、分類”“分步”的角度入手. (1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論,哪些是“元素”,哪些是“位置”; (2)“分辨”就是辨別是排列還是組合,對(duì)某些元素的位置有無(wú)限制等; (3)“分類”就是對(duì)于較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素往往分成互斥的幾類,然后逐類解決; (4)“分步”就是把問(wèn)題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟,而每一步都是簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題,然后逐步解決. 3.我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中,有5架殲15飛機(jī)準(zhǔn)備著艦.如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰先后著艦,而丙、丁不能相鄰先后著艦,那么不同的著艦方法有( ) A.12種 B.18種 C.24種 D.48種
16、 解析:選C 將甲、乙捆綁,與除丙、丁外的另外一架飛機(jī)進(jìn)行全排列,有A·A種方法,而后將丙、丁進(jìn)行插空,有3個(gè)空,則有A種排法,故共有A·A·A=24種方法. 4.某班班會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言,要求甲、乙2人至少有一人參加,若甲、乙同時(shí)參加,則他們發(fā)言時(shí)順序不能相鄰,那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為( ) A.720 B.520 C.600 D.360 解析:選C 根據(jù)題意,分2種情況討論:若甲、乙其中一人參加,有C·C·A=480種;若甲、乙2人都參加,共有C·C·A=240種發(fā)言
17、順序,其中甲、乙相鄰的情況有C·C·A·A=120種,故有240-120=120種.則不同的發(fā)言順序種數(shù)為480+120=600. 熱點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理 [例3] (1)(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,若13a=7b,則m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 (2)(20xx·陜西高考)設(shè)函數(shù)f(x)=則當(dāng)x>0時(shí),f(f(x))表達(dá)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為( ) A.-20 B.20
18、 C.-15 D.15 (3)若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5為實(shí)數(shù),則a3=________. [自主解答] (1)根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知:(x+y)2m的二項(xiàng)式系數(shù)最大有一項(xiàng),C=a,(x+y)2m+1的二項(xiàng)式系數(shù)最大有兩項(xiàng),C=C=b.又13a=7b,所以13C=7C,即=,解得m=6. (2)依據(jù)分段函數(shù)的解析式,得f(f(x))=f(-)=6,∴Tr+1=C(-1)rxr-3.令r-3=0,則r=3,故常數(shù)項(xiàng)為C(-1)3=-20. (3)f(x)=x5=(1+x-1)5,
19、 它的通項(xiàng)為Tr+1=C(1+x)5-r·(-1)r, T3=C(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,所以a3=10. [答案] (1)B (2)A (3)10 ——————————規(guī)律·總結(jié)———————————————— 應(yīng)用通項(xiàng)公式要注意五點(diǎn) (1)它表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng),只要n與r確定,該項(xiàng)就隨之確定; (2)Tr+1是展開式中的第r+1項(xiàng),而不是第r項(xiàng); (3)公式中a,b的指數(shù)和為n,且a,b不能隨便顛倒位置; (4)要將通項(xiàng)中的系數(shù)和字母分離開,以便于解決問(wèn)題; (5)對(duì)二項(xiàng)式(a-b)n展開式的通項(xiàng)公式要特別注意符號(hào)問(wèn)題.
20、5.若(1-2x)2 013=a0+a1x+…+a2 013x2 013(x∈R),則++…+的值為( ) A.2 B.0 C.-1 D.-2 解析:選C ∵(1-2x)2 013=a0+a1x+…+a2 013x2 013(x∈R),∴令x=0,則a0=1.令x=,則2 013=a0+++…+=0, 其中a0=1,所以++…+=-1. 6.若8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1 120,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為________. 解析:8的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=Cx8-r(-a2)rx-r=C(-a2)rx8-2r,令8-2r=0,解得r=4,所以C(-a2)4=1 120,所以a2=2,故8=8.令x=1,得展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(1-2)8=1. 答案:1
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