高等數學（2015級版）：2_3 高階導數

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1、2.3.2 高階導數的運算法則高階導數的運算法則2.3.1 高階導數的概念高階導數的概念機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.3 高階導數高階導數 第二章 2.3.1 高階導數的概念高階導數的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：變速直線運動機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義.若函數)(xfy 的導數)(xfy可導,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導數的導數稱為三階導數 ,1n階導數的導數稱為 n 階導數 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(x

2、f的二階導數二階導數 , 記作y )(xf 的導數為依次類推 ,分別記作則稱機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa例例1.思考思考: 設, )(為任意常數xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nx)1 ( ,3xaeay 例例2. 設求解解:特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)(

3、)(例例3. 設, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 設,sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.3.2 高階導數的運算法則高階導數的運算法則都有 n 階導數 , 則)

4、()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設函數vunn) 1(推導 目錄 上頁 下頁 返回 結束 vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數學歸納法可證萊布尼茲公式萊布尼茲公式成立 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5.,xyxe求( )ny方法一：解解:1,x 0,x ( ),0(2)nxn( )( )(1)()()nxnxnyx enx e( )()xnxee()xxxxeneexn方法二：(1),xxxyexeex (1)(2),xxxyexeex (2)(3),xxxyexeex ( )()nxye nx內容小結內容小結(1) 逐階求導法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用已知的高階導數公式(4) 利用萊布尼茲公式高階導數的求法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè)P78: 13(1)(3)(5) (6); 14(2)(3)(5)第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束