《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第十章 ：第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理突破熱點題型》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第十章 ：第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理突破熱點題型（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
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第一節(jié) 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理
[來源:]
考點一
分類加法計數(shù)原理
[來源:]
[例1] (1)若x，y∈N*，且x＋y≤6，則有序自然數(shù)對(x，y)共有________個．
(2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為________．
[自主解答] (1)因為x，y∈N*，且x＋y≤6.
所以當(dāng)x＝1時，y有5個不同的值；
當(dāng)x＝2時，y有4個不同的值；
當(dāng)x＝3時，y有3個不同的值；
當(dāng)x＝4時，y有2個不同的值；
當(dāng)x＝5時，y有1個不同的值．
由分類加法計數(shù)原理知，共有5＋4＋3＋
2、2＋1＝15個符合條件的有序自然數(shù)對．
(2)當(dāng)個位數(shù)為2時，十位數(shù)只能取1；當(dāng)個位數(shù)為3時，十位數(shù)有2種取法；當(dāng)個位數(shù)取4時，十位數(shù)有3種取法；…；當(dāng)個位數(shù)為9時，十位數(shù)有8種取法．依分類加法計數(shù)原理知：共有1＋2＋…＋8＝36個符合條件的兩位數(shù)．
[答案] (1)15 (2)36
【互動探究】
本例(2)中的條件不變，求個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)且為偶數(shù)的個數(shù)．
解：當(dāng)個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個；
當(dāng)個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7,8,9，共3個；
當(dāng)個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9，共5個．
同理可知；
當(dāng)個位數(shù)字是2時，共7個；
當(dāng)個位數(shù)
3、字是0時，共9個．
由分類加法計數(shù)原理知，共有1＋3＋5＋7＋9＝25個符合條件的兩位數(shù)．
【方法規(guī)律】
1．分類加法計數(shù)原理的特點
(1)根據(jù)問題的特點能確定一個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)．
(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類．
2．使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則
有時分類的劃分標(biāo)準(zhǔn)有多個，但不論是以哪一個為標(biāo)準(zhǔn)，都應(yīng)遵循“標(biāo)準(zhǔn)要明確，不重不漏”的原則．
1．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為( )
A．3 B．4 C．6 D．8
解析：選D 法一：①公
4、比為2時，等比數(shù)列可為1,2,4；2,4,8；②公比為3時，等比數(shù)列可為1,3,9；③公比為時，等比數(shù)列可為4,6,9，又4,2,1和8,4,2；9,3,1；9,6,4也是等比數(shù)列，所以共8個．
法二：①當(dāng)q>1時，分別以1,2,4為首項的有1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,9.②當(dāng)0m，n有
5、6種選擇；
第2類：m＝2時，使n>m，n有5種選擇；
第3類：m＝3時，使n>m，n有4種選擇；
第4類：m＝4時，使n>m，n有3種選擇；
第5類：m＝5時，使n>m，n有2種選擇．
由分類加法計數(shù)原理，符合條件的橢圓共有20個．
答案：20
考點二
分步乘法計數(shù)原理
[例2] 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點，則
(1)P可表示平面上________個不同的點．
(2)P可表示平面上________個第二象限的點．
[自主解答] (1)確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：
第1步，確定a的值，共
6、有6種確定方法；
第2步，確定b的值，也有6種確定方法．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到平面上的點的個數(shù)是66＝36.
(2)確定第二象限的點，可分兩步完成：
第1步，確定a，由于a<0，所以有3種確定方法；
第2步，確定b，由于b>0，所以有2種確定方法．
由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限的點的個數(shù)是32＝6.
[答案] (1)36 (2)6
【方法規(guī)律】
利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意
(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即考慮分步的先后順序．
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這個事件．
(3)對完成各步的方法數(shù)要準(zhǔn)確確定．[來源:
7、]
1．從－1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(用數(shù)字作答)．
解析：一個二次函數(shù)對應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知共有332＝18個二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有32＝6個偶函數(shù)．
答案：18 6
2. 如圖所示，某電子器件由3個電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個焊接點A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果焊接點脫落，整個電路就會不通．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么焊接點脫落的
可能情況
8、共有________種．
解析：電路不通可能是一個或多個焊接點脫落，問題比較復(fù)雜．但電路通的情況卻只有一種，即各焊接點全未脫落．因為每個焊接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個焊接點脫落，則電路就不通，故共有26－1＝63種可能情況．
答案：63
高頻考點
考點三 兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用
1．兩個計數(shù)原理的應(yīng)用，是高考命題的一個熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題．
2．高考對兩個計數(shù)原理的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)與數(shù)字有關(guān)的問題；
(2)涂色問題．
[例3] (1)(2013福建高考)滿足a，
9、b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為( )
A．14 B．13 C．12 D．10
(2)(2014煙臺模擬)
如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的地圖涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則涂色方法共有________種．
[自主解答] (1)當(dāng)a＝0時，關(guān)于x的方程為2x＋b＝0，此時有序數(shù)對(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均滿足要求；
當(dāng)a≠0時，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時滿足要求的有序數(shù)對為(－1，－1)，(－1,0)，
10、(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．
綜上，共有13個滿足要求的有序數(shù)對．
(2)因為區(qū)域1與其他4個區(qū)域都相鄰，首先考慮區(qū)域1，有4種涂法，然后再按區(qū)域2,4同色和不同色，分為兩類：
第1類，區(qū)域2,4同色，有3種涂法，此時區(qū)域3,5均有2種涂法，共有4322＝48種涂法；
第2類，區(qū)域2,4不同色，先涂區(qū)域2，有3種方法，再涂區(qū)域4，有2種方法，此時區(qū)域3,5都只有1種涂法，共有43211＝24種涂法．
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有48＋24＝72種滿足條件的涂色方法．
[答案] (1)B (2)72
與兩個計數(shù)原
11、理有關(guān)問題的常見類型及解題策略
(1)與數(shù)字有關(guān)的問題．可分類解決，每類中又可分步完成；也可以直接分步解決；
(2)涂色問題．可按顏色的種數(shù)分類完成；也可以按不同的區(qū)域分步完成．
1．(2014遵義模擬)某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分給同一個部門；另三名電腦編程人員也不能分給同一個部門．則不同的分配方案有( )
A．36種 B．38種 C．108種 D．114種
解析：選A 分兩步完成，第一步分組有CCC種方法；第二步分配到兩個部門有A種方法．由分步乘法原理得：共有CCCA＝36種分配方案．
2．如圖所示，將四棱
12、錐S ABCD的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法共有________種(以數(shù)字作答)．
解析：由題設(shè)，四棱錐S ABCD的頂點S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有543＝60種染色方法．
當(dāng)S，A，B染好時，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當(dāng)S，A，B已染好時，C，D還有7種染法，故有607＝420種不同的染色方法．
答案：420
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————
13、—
2個區(qū)別——兩個計數(shù)原理的區(qū)別
分類加法計數(shù)原理
分步乘法計數(shù)原理
區(qū)別一
每類辦法都能獨立完成這件事．它是獨立的、一次的且每次得到的是最后的結(jié)果，只需一種方法就完成
每一步得到的只是其中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步都不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事
區(qū)別二
各類辦法之間是互斥的，并列的，獨立的
各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)，也不能遺漏
3個注意點——利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點
(1)當(dāng)題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法；
(2)分類時標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律；
(3)復(fù)雜問題一般是先分類再分步．
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第十章 ：第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理突破熱點題型
