高考數(shù)學文大一輪復習檢測：選修4－5 不等式選講 課時作業(yè)69 Word版含答案

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1、課時作業(yè)69　不等式的證明 1．(1)已知a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證：a3＋b3>a2b＋ab2； (2)已知a，b，c都是正數(shù)，求證：≥abc. 證明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2. 因為a，b都是正數(shù)，所以a＋b>0. 又因為a≠b，所以(a－b)2>0. 于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2. (2)因為b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.?、? 同理b2(a2＋c2)≥2ab2c，?、? c2(a2＋b2)≥2abc2. ①②③相

2、加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2， 從而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)． 由a，b，c都是正數(shù)，得a＋b＋c>0， 因此≥abc. 2．已知函數(shù)f(x)＝2x，x1，x2是任意實數(shù)且x1≠x2，證明： [f(x1)＋f(x2)]>f. 證明：[f(x1)＋f(x2)]－f ＝ ＝[2＋2－22] ＝[2－22－22＋2] ＝[2 (2－2)－2 (2－2)] ＝(2－2)(2－2)＝(2－2)2. 因為x1≠x2,2≠2，所以(2－2)2>0，即[f(x1)＋f(x2)]－f>0，所以[f(x1)＋f(x2)

3、]>f. 3．設a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立． 證明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.當且僅當a＝b＝1時等號成立． (2)假設a2＋a<2與b2＋b<2同時成立， 則由a2＋a<2及a>0得00，b>0，c>0.若函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為2. (1

4、)求a＋b＋c的值； (2)求＋＋的最小值． 解：(1)因為f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，當且僅當－a≤x≤b時，等號成立，又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值為a＋b＋c，所以a＋b＋c＝2. (2)由(1)知a＋b＋c＝2，所以＋＋＝(＋＋)＝[3＋(＋)＋(＋)＋(＋)]≥(3＋2＋2＋2)＝，當且僅當＝，＝，＝，即a＝b＝c＝時，等號成立．所以＋＋的最小值為. 2．(2017昆明檢測)已知函數(shù) f(x)＝. (1)求函數(shù)f(x)的值域； (2)若函數(shù)f(x)的值域是[m，n]，且a2＋b2＝

5、m，c2＋d2＝n，求ac＋bd的取值范圍． 解：(1)設g(x)＝|x＋3|－|x－1|＋5，則g(x)＝，所以g(x)∈[1,9]．所以函數(shù)f(x)的值域是[1,3]． (2)由(1)知a2＋b2＝1，c2＋d2＝3，由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時，取等號，即(ac＋bd)2≤3，解得－≤ac＋bd≤，所以ac＋bd∈[－，]． 3．(2017衡陽二聯(lián))已知函數(shù)f(x)＝|x－3|. (1)若不等式f(x－1)＋f(x)f()． 證明：要證 >f()，只需證|ab－3| >|b－3a|，即證(ab－3)2>(b－3a)2，又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9)．因為|a|<1，|b|<3，所以(ab－3)2>(b－3a)2成立，所以原不等式成立．